एक सपाट पैटर्न कैसे बनाएं - निर्दिष्ट आयामों के शंकु या छंटनी वाले शंकु के लिए एक पैटर्न। सरल स्वीप गणना

ज्यामिति में, एक छंटनी शंकु एक शरीर है जो आयताकार ट्रेपेज़ॉइड के रोटेशन के द्वारा इसके पार्श्व पक्ष के बारे में बनता है, जो आधार के लंबवत है। उनकी गिनती कैसे होती है काटे गए शंकु की मात्रा, हर कोई स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम से जानता है, लेकिन व्यवहार में इस ज्ञान का उपयोग अक्सर विभिन्न मशीनों और तंत्रों के डिजाइनरों द्वारा किया जाता है, कुछ उपभोक्ता वस्तुओं के डेवलपर्स के साथ-साथ आर्किटेक्ट भी।

एक छंटनी शंकु की मात्रा की गणना

एक काटे गए शंकु की मात्रा की गणना करने का सूत्र

काटे गए शंकु की मात्रा सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

वी

πh (R 2 + R × r + r 2)

ज - शंकु ऊंचाई

आर - ऊपरी आधार की त्रिज्या

आर - नीचे के आधार की त्रिज्या

वी - काटे गए शंकु की मात्रा

π - 3,14

जैसे ज्यामितीय निकायों के साथ काटे गए शंकु, रोजमर्रा की जिंदगी में, हर कोई बहुत बार टकराता है, अगर लगातार नहीं। कंटेनरों की एक विस्तृत विविधता, व्यापक रूप से रोजमर्रा की जिंदगी में उपयोग की जाती है, उनका आकार होता है: बाल्टी, चश्मा, कुछ कप। यह बिना कहे चला जाता है कि जिन डिजाइनरों ने उन्हें विकसित किया था, उन्होंने संभवतः उस सूत्र का उपयोग किया था जिसके द्वारा गणना की गई थी काटे गए शंकु की मात्रा, क्योंकि इस मामले में यह मूल्य बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह वह है जो उत्पाद की क्षमता के रूप में इस तरह के एक महत्वपूर्ण विशेषता को निर्धारित करता है।

इंजीनियरिंग संरचनाएं, जो हैं काटे गए शंकु, अक्सर बड़े औद्योगिक उद्यमों, साथ ही थर्मल और परमाणु ऊर्जा संयंत्रों में देखा जा सकता है। यह कूलिंग टावरों का आकार है - वायुमंडलीय हवा के एक काउंटर प्रवाह को इंजेक्ट करके पानी की बड़ी मात्रा को ठंडा करने के लिए डिज़ाइन किए गए उपकरण। सबसे अधिक बार, इन डिजाइनों का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां कम समय में बड़ी मात्रा में तरल का तापमान कम करने की आवश्यकता होती है। इन संरचनाओं के डेवलपर्स को निर्धारित करना आवश्यक है काटे गए शंकु की मात्रा गणना के लिए सूत्र जो काफी सरल है और उन सभी के लिए जाना जाता है जो एक समय में हाई स्कूल में अच्छी तरह से अध्ययन करते थे।

इस ज्यामितीय आकृति वाले हिस्से अक्सर विभिन्न तकनीकी उपकरणों के डिजाइन में पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, सिस्टम में उपयोग किए जाने वाले गियर, जहां एक गतिज गियर की दिशा को बदलने के लिए आवश्यक है, अक्सर बेवल गियर का उपयोग करके लागू किया जाता है। ये हिस्से कई प्रकार के गियरबॉक्स और आधुनिक वाहनों में उपयोग किए जाने वाले स्वचालित और मैनुअल ट्रांसमिशन के अभिन्न अंग हैं।

एक कटे हुए शंकु के आकार में कुछ काटने के उपकरण हैं जो व्यापक रूप से उत्पादन में उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, मिलिंग कटर। उनकी मदद से, एक निश्चित कोण पर झुका हुआ सतहों को संसाधित करना संभव है। धातु और लकड़ी के उपकरणों के कटर को तेज करने के लिए, अपघर्षक पहियों का अक्सर उपयोग किया जाता है, जो कि शंकुधारी टुकड़े भी होते हैं। इसके अलावा, काटे गए शंकु की मात्रा लैथ और मिलिंग मशीनों के डिजाइनरों को निर्धारित करना आवश्यक है, जिसमें एक पतला टांग (ड्रिल, रिमर्स, आदि) से लैस एक काटने के उपकरण का बन्धन शामिल है।

शंकु की एक सपाट सतह एक समतल आकृति होती है जो एक निश्चित समतल के साथ शंकु की पार्श्व सतह और आधार को जोड़कर प्राप्त की जाती है।

स्कैनिंग विकल्प:

चपटा गोलाकार शंकु

एक सीधे गोलाकार शंकु की पार्श्व सतह का स्वीप एक गोलाकार क्षेत्र है, जिसका त्रिज्या शंक्वाकार सतह l के जेनरेट्रिक्स की लंबाई के बराबर है, और केंद्रीय कोण φ \u003d 360 * * सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है। एल, जहां आर शंकु के आधार की परिधि का त्रिज्या है।

वर्णनात्मक ज्यामिति की कई समस्याओं में, पसंदीदा समाधान एक शंकु का सन्निकटन (प्रतिस्थापन) है, जिसमें एक पिरामिड खुदा हुआ है और एक अनुमानित स्वीप का निर्माण होता है, जिस पर शंक्वाकार सतह पर पड़ी रेखाएँ खींचना सुविधाजनक होता है।

निर्माण एल्गोरिथम

1. हम एक बहुभुज पिरामिड को शंक्वाकार सतह में फिट करते हैं। जितना अधिक पक्ष अंकित पिरामिड होता है, वास्तविक और अनुमानित स्कैन के बीच उतना ही सटीक होता है।
2. हम त्रिकोण विधि का उपयोग करके पिरामिड की साइड सतह का विकास करते हैं। हम शंकु के आधार से संबंधित बिंदुओं को एक चिकनी वक्र के साथ जोड़ते हैं।

उदाहरण

नीचे दिए गए आंकड़े में, एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड SABCDEF को एक सीधा गोलाकार शंकु में अंकित किया गया है, और इसकी पार्श्व सतह के एक अनुमानित स्वीप में छह समद्विबाहु त्रिभुज हैं - पिरामिड के मुख।

एक त्रिभुज S 0 A 0 B 0 पर विचार करें। इसके पक्षों की लंबाई एस 0 ए 0 और एस 0 बी 0 0 शंक्वाकार सतह के जनरेटर एल के बराबर है। मान A 0 B 0 लंबाई A'B 'से \u200b\u200bमेल खाता है। ड्राइंग के एक मनमाने स्थान पर एक त्रिभुज S 0 A 0 B 0 का निर्माण करने के लिए, S 0 A 0 \u003d l सेगमेंट को अलग रखें, इसके बाद बिंदु S 0 और A 0 से हम S 0 B 0 \u003d के त्रिज्या वाले वृत्त बनाते हैं। l और A 0 B 0 \u003d A'B 'क्रमशः। हम वृत्त B के चौराहे के बिंदु को A 0 और S 0 के बिंदुओं से जोड़ते हैं।

SABCDEF पिरामिड के चेहरे S 0 B 0 C 0 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 त्रिभुज S 0 0 के समान बने हैं। बी ०।

हम ए, बी, सी, डी, ई और एफ को एक चिकनी वक्र के साथ शंकु के आधार पर जोड़ते हैं - एक सर्कल का एक चाप जिसका त्रिज्या एल के बराबर है।

ओब्लिक कोन स्वीप

सन्निकटन (सन्निकटन) विधि द्वारा एक इच्छुक शंकु के पार्श्व सतह के स्वीप के निर्माण की प्रक्रिया पर विचार करें।

कलन विधि

1. हम शंकु के आधार के घेरे में षट्भुज 123456 को जोड़ते हैं। शीर्ष 1 के साथ अंक 1, 2, 3, 4, 5 और 6 को जोड़ते हैं। एस। पिरामिड S123456, इस तरह से निर्मित, कुछ हद तक सन्निकटन के लिए एक प्रतिस्थापन है। शंक्वाकार सतह और आगे के निर्माण में इस क्षमता में उपयोग किया जाता है।
2. हम प्रोजेक्टिंग लाइन के चारों ओर घूमने की विधि का उपयोग करते हुए पिरामिड के किनारों के प्राकृतिक मूल्यों को निर्धारित करते हैं: उदाहरण में, i- अक्ष का उपयोग किया जाता है, अनुमानों के क्षैतिज विमान के लंबवत और वर्टीकल एस के माध्यम से गुजरता है।
   तो, रिब S5 के रोटेशन के परिणामस्वरूप, इसका नया क्षैतिज प्रक्षेपण S'5 '' 1 एक स्थिति लेता है, जिस पर यह ललाट तल π 2 के समानांतर होता है। तदनुसार, S''5 '' '1 वास्तविक आकार S5 है।
3. हम पिरामिड के S123456 की साइड सतह का विकास करते हैं, जिसमें छह त्रिकोण होते हैं: S 0 1 0 6 6 0, S 0 6 0 5 0 0, S 0 5 0 4 0, S 0 4 0 3 0, S 0 3 0 २ ०, एस ० २ ० १ १ ०। प्रत्येक त्रिभुज का निर्माण तीन तरफ से किया जाता है। उदाहरण के लिए, example S 0 1 0 6 0 लंबाई S 0 1 0 \u003d S''1 '' '0, S 0 6 0 \u003d S''6' 1, 1 0 6 0 \u003d 1'6 '।

अनुमानित स्कैन और वास्तविक के बीच पत्राचार की डिग्री खुदा हुआ पिरामिड के चेहरे की संख्या पर निर्भर करती है। ड्राइंग पढ़ने में आसानी के आधार पर चेहरों की संख्या का चयन किया जाता है, इसकी सटीकता के लिए आवश्यकताएं, प्रमुख बिंदुओं और लाइनों की उपस्थिति जिसे स्कैन में स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है।

एक शंकु सतह से एक सपाट पैटर्न में एक पंक्ति को स्थानांतरित करना

शंकु की सतह पर पड़ी लाइन एन, एक निश्चित समतल (नीचे आंकड़ा) के साथ अपने चौराहे के परिणामस्वरूप बनाई जाती है। स्वीप पर लाइन एन के निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म पर विचार करें।

कलन विधि

1. अंक ए, बी और सी के अनुमानों का पता लगाएं जिस पर n n पिरामिड में S123456 के पिरामिड के किनारों को काटती है।
2. प्रोजेक्टिंग लाइन के चारों ओर चक्कर लगाकर सेगमेंट के वास्तविक आकार SA, SB, SC को निर्धारित करें। इस उदाहरण में, SA \u003d S''A '' '' SB \u003d S''B '' '1, SC \u003d S''C' '' 1।
3. हम पिरामिड के संबंधित किनारों पर A 0, B 0, C 0 बिंदुओं की स्थिति का पता लगाते हैं, जो S 0 A 0 \u003d S `` A ', S 0 B 0 \u003d S `B' '1 खंडों को स्थगित करते हैं। , एस 0 सी 0 \u003d एस`` सी '1।
4. एक चिकनी रेखा के साथ अंक ए 0, बी 0, सी 0 कनेक्ट करें।

काटे गए शंकु फ्लैट पैटर्न

नीचे वर्णित एक सीधा गोलाकार छंटनी शंकु के स्वीप के निर्माण की विधि समानता के सिद्धांत पर आधारित है।

कभी-कभी कार्य उठता है - चिमनी या चिमनी के लिए एक सुरक्षात्मक छाता बनाने के लिए, वेंटिलेशन के लिए एक निकास डिफ्लेक्टर। लेकिन इससे पहले कि आप निर्माण शुरू करें, आपको सामग्री के लिए एक पैटर्न (या स्कैन) बनाने की आवश्यकता है। इस तरह के स्वीप की गणना के लिए इंटरनेट पर सभी प्रकार के कार्यक्रम हैं। हालाँकि, समस्या को हल करना इतना आसान है कि आप इन प्रोग्रामों को खोजने, डाउनलोड करने और उनसे निपटने के लिए कैलकुलेटर (अपने कंप्यूटर में) का उपयोग करके जल्दी से गणना करेंगे।

चलो एक सरल विकल्प से शुरू करते हैं - एक साधारण शंकु स्वीप। एक पैटर्न की गणना के सिद्धांत को समझाने का सबसे आसान तरीका एक उदाहरण के साथ है।

मान लीजिए कि हमें डी सेमी के व्यास और एच सेंटीमीटर की ऊंचाई के साथ एक शंकु बनाने की आवश्यकता है। यह पूरी तरह से स्पष्ट है कि कट आउट खंड वाला एक सर्कल रिक्त के रूप में कार्य करेगा। दो मापदंडों को जाना जाता है - व्यास और ऊंचाई। पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम वर्कपीस सर्कल के व्यास की गणना करते हैं (त्रिज्या के साथ भ्रमित न करें) ख़त्म होना शंकु)। आधा व्यास (त्रिज्या) और ऊंचाई एक समकोण त्रिभुज बनाती है। इसलिए:

तो अब हम वर्कपीस की त्रिज्या जानते हैं और सर्कल को काट सकते हैं।

आइए सर्कल से काटे जाने वाले सेक्टर के कोण की गणना करें। हम निम्नानुसार तर्क देते हैं: वर्कपीस का व्यास 2R है, जिसका अर्थ है कि परिधि Pi * 2 * R - I. 6.28 * आर। आइए हम इसे L से दर्शाते हैं। सर्कल पूरा हो गया है, अर्थात 360 डिग्री। और तैयार शंकु की परिधि Pi * D है। हम इसे Lm द्वारा निरूपित करते हैं। यह वर्कपीस की परिधि से स्वाभाविक रूप से कम है। हमें इन लंबाई के बीच के अंतर के बराबर एक आर्क लंबाई के साथ एक खंड में कटौती करने की आवश्यकता है। आइए अनुपात नियम लागू करें। यदि 360 डिग्री हमें वर्कपीस की पूरी परिधि देता है, तो वांछित कोण को समाप्त शंकु की परिधि देना चाहिए।

अनुपात सूत्र से हम कोण X का आकार प्राप्त करते हैं। और कट-आउट सेक्टर 360 - X को घटाकर पाया जाता है।

एक कोण (360-X) के साथ एक सेक्टर को त्रिज्या आर के साथ एक गोल रिक्त से बाहर होना चाहिए। ओवरलैप सामग्री की एक छोटी पट्टी (यदि शंकु माउंट ओवरलैप होगा) को छोड़ना सुनिश्चित करें। कट सेक्टर के किनारों को जोड़ने के बाद, हमें दिए गए आकार का एक शंकु प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए: हमें 100 मिमी की ऊंचाई (एच) और 250 मिमी के व्यास (डी) के साथ एक छाता चिमनी के लिए एक शंकु की आवश्यकता है। पाइथागोरस सूत्र के अनुसार, हम वर्कपीस त्रिज्या - 160 मिमी प्राप्त करते हैं। और क्रमशः वर्कपीस की परिधि 160 x 6.28 \u003d 1005 मिमी है। उसी समय, हमें जिस शंकु की आवश्यकता है उसकी परिधि 250 x 3.14 \u003d 785 मिमी है।

तब हमें पता चलता है कि कोणों का अनुपात होगा: 785/1005 x 360 \u003d 281 डिग्री। तदनुसार, सेक्टर 360 - 281 \u003d 79 डिग्री में कटौती करना आवश्यक है।

एक छंटनी शंकु के लिए रिक्त पैटर्न की गणना।

इस तरह के हिस्से की आवश्यकता कभी-कभी एक व्यास से दूसरे व्यास में या वोल्पर-ग्रिगोरोविच या खानज़ेनकोव डिफ्लेक्टर के लिए एडेप्टर के निर्माण में होती है। उनका उपयोग चिमनी या वेंटिलेशन पाइप में कर्षण को बेहतर बनाने के लिए किया जाता है।

कार्य इस तथ्य से थोड़ा जटिल है कि हम पूरे शंकु की ऊंचाई को नहीं जानते हैं, लेकिन केवल इसका छोटा हिस्सा है। सामान्य तौर पर, यहां तीन प्रारंभिक संख्याएं होती हैं: काटे गए शंकु एच की ऊंचाई, निचले छेद का व्यास (आधार) डी, और ऊपरी छेद डीएम का व्यास (पूर्ण शंकु के अनुभाग में)। लेकिन हम पाइथागोरस प्रमेय और समानता पर आधारित समान सरल गणितीय निर्माणों का सहारा लेंगे।

वास्तव में, यह स्पष्ट है कि मान (D-Dm) / 2 (व्यास में आधा अंतर), त्रिक शंकु H की ऊँचाई से उसी तरह संबंधित होगा जैसे कि आधार शंकु की ऊँचाई पूरे शंकु की ऊंचाई पर, जैसे कि इसे छोटा नहीं किया गया था। इस अनुपात से कुल ऊँचाई (P) ज्ञात कीजिए।

(डी - डीएम) / 2 एच \u003d डी / 2 पी

इसलिए पी \u003d डी एक्स एच / (डी-डीएम)।

अब, शंकु की कुल ऊंचाई को जानते हुए, हम पिछली समस्या के समाधान को कम कर सकते हैं। वर्कपीस के स्वीप की गणना करें जैसे कि एक पूर्ण शंकु के लिए, और फिर "ऊपरी" इसके "अनावश्यक" भाग से हमारे लिए "घटाना"। और हम सीधे वर्कपीस की त्रिज्या की गणना कर सकते हैं।

हम पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा वर्कपीस के एक बड़े दायरे को प्राप्त करते हैं - आरज़। यह हाइट पी और डी / 2 के वर्गों के योग का वर्गमूल है।

छोटा त्रिज्या Rm वर्ग (P-H) और Dm / 2 के योग का वर्गमूल है।

हमारी वर्कपीस की परिधि 2 x Pi x Rz या 6.28 x Rz है। और शंकु के आधार की परिधि Pi x D, या 3.14 x D. है। उनकी लंबाई का अनुपात सेक्टरों के कोणों का अनुपात देगा, अगर हम मान लें कि वर्कपीस में कुल कोण 360 डिग्री है।

उन। X / 360 \u003d 3.14 x D / 6.28 x Rz

इसलिए X \u003d 180 x D / Rz (यह कोण है जिसे आधार की परिधि प्राप्त करने के लिए छोड़ दिया जाना चाहिए)। और आपको क्रमशः बाहर काटने की आवश्यकता है, 360 - एक्स।

उदाहरण के लिए: हमें एक छोटा शंकु 250 मिमी ऊँचा, आधार व्यास 300 मिमी, शीर्ष छेद व्यास 200 मिमी बनाना होगा।

हम पूर्ण शंकु पी की ऊंचाई पाते हैं: 300 x 250 / (300 - 200) \u003d 600 मिमी

टी। पाइथागोरस के अनुसार, हम वर्कपीस के बाहरी त्रिज्या को देखते हैं Rz: वर्गमूल की (300/2) ^ 2 + 6002 \u003d 618.5 मिमी

उसी प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम छोटे त्रिज्या Rm पाते हैं: (600 - 250) का वर्गमूल ^ 2 + (200/2) ^ 2 \u003d 364 मिमी।

हमारे वर्कपीस के क्षेत्र का कोण निर्धारित करें: 180 x 300 / 618.5 \u003d 87.3 डिग्री।

सामग्री पर हम 618.5 मिमी के त्रिज्या के साथ एक चाप खींचते हैं, फिर उसी केंद्र से - 364 मिमी के त्रिज्या के साथ एक चाप। आर्क कोण के खुलने का लगभग 90-100 डिग्री हो सकता है। 87.3 डिग्री के शुरुआती कोण के साथ रेडी ड्रा करें। हमारा कोरा तैयार है। ओवरलैप होने पर किनारों से जुड़ने के लिए भत्ता देना न भूलें।

ठिकानों की ऊंचाई और त्रिज्या दर्ज करें:

एक फफूंद को परिभाषित करना

आधार के समानांतर एक विमान के साथ इस तरह के शंकु को पार करके एक साधारण शंकु से एक छोटा शंकु प्राप्त किया जा सकता है। फिर वह आकृति जो दो विमानों (यह विमान और सामान्य शंकु के आधार) के बीच स्थित होती है, एक छोटा शंकु कहलाएगा।

वह रखता है दो आधार, जो एक गोलाकार शंकु के लिए वृत्त हैं, और उनमें से एक दूसरे की तुलना में बड़ा है। इसके अलावा छंटनी शंकु है ऊँचाईं - उनमें से प्रत्येक के लिए दो आधारों और लंबवत को जोड़ने वाला एक खंड।

ऑनलाइन कैलकुलेटर

कटा हुआ शंकु हो सकता है प्रत्यक्ष, फिर एक आधार के केंद्र को दूसरे के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। यदि शंकु झुका हुआ, तब ऐसा प्रक्षेपण नहीं होता है।

एक सीधे परिपत्र शंकु पर विचार करें। किसी दिए गए आंकड़े की मात्रा की गणना कई तरीकों से की जा सकती है।

आधारों की त्रिज्या और उनके बीच की दूरी के संदर्भ में एक काटे गए शंकु की मात्रा के लिए सूत्र

यदि हमें एक गोलाकार छंटनी शंकु दिया जाता है, तो हम सूत्र द्वारा इसकी मात्रा पा सकते हैं:

काटे गए शंकु की मात्रा

V \u003d 1 3 \u003d ⋅ ⋅ h r (r 1 2 + r 1 3 r 2 + r 2 2) V \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ pi \\ cdot h \\ cdot (r_1) 2 + r_1 \\ _ cdot r_2 + r_2 ^ 2)वी \u003d3 1 ​ ⋅ π ⋅ ज ⋅(आर 1 2 ​ + आर 1 ​ ⋅ आर 2 ​ + आर 2 2 ​ )

आर 1, आर 2 आर 1, आर 2 आर 1 ​ , आर 2 ​ - शंकु के ठिकानों की त्रिज्या;
ज ज ज - इन आधारों के बीच की दूरी (छंटनी शंकु की ऊंचाई)।

आइए एक उदाहरण देखें।

समस्या 1

काटे गए शंकु की मात्रा ज्ञात करें यदि यह ज्ञात है कि छोटे आधार का क्षेत्र है 64 cm सेमी 2 64 \\ pi \\ पाठ (सेमी) ^ 2६ ४ π सेमी2 , विशाल - 169 cm सेमी 2 169 \\ pi \\ पाठ (सेमी) ^ 2१ ६ ९ π सेमी2 , और इसकी ऊंचाई है 14 सेमी 14 \\ पाठ (सेमी) 1 4 सेमी.

फेसला

S 1 \u003d 64 _1 S_1 \u003d 64 \\ pi एस 1 ​ = ६ ४ π
S 2 \u003d 169 π S_2 \u003d 169 \\ pi एस 2 ​ = १ ६ ९ π
ज \u003d १४ ज \u003d १४ ज \u003d1 4

छोटे आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए:

S 1 \u003d π 1 r 1 2 S_1 \u003d \\ pi \\ cdot r_1 ^ 2एस 1 ​ = π ⋅ आर 1 2 ​

64 \\ \u003d π 1 r 1 2 64 \\ pi \u003d \\ pi \\ cdot r_1 ^ 26 4 π \u003dπ ⋅ आर 1 2 ​

64 \u003d r 1 2 64 \u003d r_1 ^ 2 6 4 = आर 1 2 ​

आर 1 \u003d 8 आर 1 \u003d 8 आर 1 ​ = 8

इसी तरह, एक बड़े आधार के लिए:

S 2 \u003d π 2 r 2 2 S_2 \u003d \\ pi \\ cdot r_2 ^ 2एस 2 ​ = π ⋅ आर 2 2 ​

169 π \u003d π 2 r 2 2 169 \\ pi \u003d \\ pi \\ cdot r_2 ^ 2१ ६ ९ 6 \u003dπ ⋅ आर 2 2 ​

169 \u003d r 2 2 169 \u003d r_2 ^ 2 1 6 9 = आर 2 2 ​

आर 2 \u003d 13 आर 2 \u003d 13 आर 2 ​ = 1 3

आइए शंकु की मात्रा की गणना करें:

V \u003d 1 3 \u003d ⋅ ⋅ h r (r 1 2 + r 1 3 r 2 + r 2 2) \u003d 1 3 \u003d ⋅ ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 + 13 + 1 3 2) ⋅ 4938 cm 3 V \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ pi \\ cdot h \\ cdot (r_1 ^ 2 + r_1 \\ cdot r_2 + r_2 ^ 2) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ pdot \\ cdot14 \\ cdot (8) ^ 2 + 8 \\ cdot 13 + 13 ^ 2) \\ approx4938 \\ पाठ (सेमी) ^ 3वी \u003d3 1 ​ ⋅ π ⋅ ज ⋅(आर 1 2 ​ + आर 1 ​ ⋅ आर 2 ​ + आर 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 सेमी3

उत्तर

4938 सेमी 3। 4938 \\ पाठ (सेमी) ^ 3।4 9 3 8 सेमी3 .

आधारों के क्षेत्रों और शीर्ष पर उनकी दूरी के संदर्भ में एक छंटनी शंकु की मात्रा के लिए सूत्र

मान लीजिए कि हमारे पास एक छोटा शंकु है। आइए मानसिक रूप से लापता टुकड़े को इसमें जोड़ें, जिससे यह एक शीर्ष के साथ "नियमित शंकु" बना। फिर छंटे हुए शंकु की मात्रा को दो शंकु के संस्करणों के बीच अंतर के आधार के रूप में और शंकु के शीर्ष पर उनकी दूरी (ऊंचाई) के रूप में पाया जा सकता है।

काटे गए शंकु की मात्रा

V \u003d 1 3 ⋅ S - H - 1 3 ⋅ s 1 h \u003d 1 3 ⋅ (S ⋅ H - s - h) V \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot S \\ cdot H- \\rac (1) (3) \\ cdot s \\ cdot h \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot (S \\ cdot Hs \\ cdot h)वी \u003d3 1 ​ ⋅ S ⋅एच -3 1 ​ ⋅ s ⋅ज \u003d3 1 ​ ⋅ (एस ⋅एच -s ⋅ज)

एस एस एस - बड़े शंकु के आधार का क्षेत्र;
ज ज ज - इस (बड़े) शंकु की ऊंचाई;
s है एस - छोटे शंकु के आधार का क्षेत्र;
ज ज ज - इस (छोटे) शंकु की ऊंचाई;

समस्या २

पूर्ण शंकु की ऊंचाई होने पर, काटे गए शंकु की मात्रा निर्धारित करें ज ज ज बराबर होता है 10 सेमी 10 \\ पाठ (सेमी) 1 0 सेमीनिचले आधार की त्रिज्या आर आरआर - 5 सेमी 5 \\ पाठ (सेमी)5 सेमी, ऊपर आर आरआर - 4 सेमी 4 \\ पाठ (सेमी)4 सेमी, और काटे गए शंकु की ऊंचाई है 8 सेमी 8 \\ पाठ (सेमी)8 सेमी.

फेसला

आर \u003d ५ आर \u003d ५आर= 5
r \u003d 4 r \u003d 4आर= 4
एच \u003d 10 एच \u003d १०ज= 1 0
एच - एच \u003d - एच-एच \u003d Hज− ज= 8 ,
कहा पे ज जज - छोटे शंकु की ऊंचाई।

शंकु के दोनों आधारों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

$एस=\pi \cdot {आर}^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$एस=\pi \cdot {आर}^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

छोटे शंकु की ऊंचाई ज्ञात कीजिए ज जज:

$ज-ज=8$

$ज=ज-8$

$ज=10-8$

$ज=2$

आयतन सूत्र के बराबर है:

$वी=31\cdot (एस\cdot ज-एस\cdot ज)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{सेमी3}$

उत्तर

$228\text{सेमी3 .}$