Kako se izračunava proporcija. Kako napraviti proporciju? Svaki učenik i odrasla osoba će razumjeti Proporcije 1 1 u obrascu

Omjer (u matematici) je odnos između dva ili više brojeva iste vrste. Omjeri uspoređuju apsolutne vrijednosti ili dijelove cjeline. Omjeri se izračunavaju i pišu na različite načine, ali su osnovni principi isti za sve omjere.

Koraci

Dio 1

Određivanje omjera

Koristeći omjere. Omjeri se koriste kako u nauci tako iu svakodnevnom životu za poređenje vrijednosti. Najjednostavniji omjeri odnose se na samo dva broja, ali postoje omjeri koji uspoređuju tri ili više vrijednosti. U svakoj situaciji u kojoj je prisutno više od jedne količine, omjer se može napisati. Povezivanjem nekih vrijednosti, omjeri mogu, na primjer, sugerirati kako povećati količinu sastojaka u receptu ili tvari u kemijskoj reakciji.

Određivanje omjera. Omjer je odnos između dvije (ili više) vrijednosti iste vrste. Na primjer, ako su vam za pravljenje kolača potrebne 2 šolje brašna i 1 šolja šećera, onda je odnos brašna i šećera 2 prema 1.
- Omjeri se mogu koristiti i u slučajevima kada dvije količine nisu međusobno povezane (kao u primjeru sa tortom). Na primjer, ako u razredu ima 5 djevojčica i 10 dječaka, onda je omjer djevojčica i dječaka 5 prema 10. Ove vrijednosti (broj dječaka i broj djevojčica) ne zavise jedna od druge, tj. je, njihove vrijednosti će se promijeniti ako neko napusti razred ili novi učenik dođe u razred. Omjeri jednostavno upoređuju vrijednosti količina.
Obratite pažnju na različite načine predstavljanja omjera. Odnosi se mogu izraziti riječima ili pomoću matematičkih simbola.
- Vrlo često se omjeri izražavaju riječima (kao što je prikazano gore). Posebno se ovaj oblik predstavljanja omjera koristi u svakodnevnom životu, daleko od nauke.
- Takođe, omjeri se mogu izraziti kroz dvotočku. Kada upoređujete dva broja u omjeru, koristit ćete jednu dvotočku (na primjer, 7:13); kada upoređujete tri ili više vrijednosti, stavite dvotočku između svakog para brojeva (na primjer, 10: 2: 23). U našem primjeru razreda, omjer djevojčica i dječaka možete izraziti ovako: 5 djevojčica: 10 dječaka. Ili ovako: 5:10.
- Manje uobičajeno, omjeri se izražavaju kosom crtom. U primjeru klase može se napisati ovako: 5/10. Ipak, ovo nije razlomak i takav omjer se ne čita kao razlomak; Štaviše, zapamtite da u omjeru brojevi ne predstavljaju dio cjeline.
Dio 2
Koristeći omjere
1. Pojednostavite omjer. Omjer se može pojednostaviti (slično razlomcima) dijeljenjem svakog člana (broja) omjera sa. Međutim, nemojte gubiti iz vida originalne vrijednosti omjera kada to radite.
  - U našem primjeru u razredu ima 5 djevojčica i 10 dječaka; odnos je 5:10. Najveći zajednički djelitelj članova omjera je 5 (pošto su i 5 i 10 djeljivi sa 5). Podijelite svaki omjer sa 5 da dobijete omjer 1 djevojčice prema 2 dječaka (ili 1:2). Međutim, imajte na umu originalne vrijednosti kada pojednostavljujete omjer. U našem primjeru u razredu nisu 3 učenika, već 15. Pojednostavljeni omjer poredi broj dječaka i broj djevojčica. Odnosno, na svaku djevojčicu dolaze 2 dječaka, ali u razredu ne postoje 2 dječaka i 1 djevojčica.
  - Neki odnosi nisu pojednostavljeni. Na primjer, omjer 3:56 nije pojednostavljen jer ovi brojevi nemaju zajedničke djelitelje (3 je prost broj, a 56 nije djeljivo sa 3).
2. Koristite množenje ili dijeljenje da povećate ili smanjite omjer. Uobičajeni zadaci u kojima je potrebno povećati ili smanjiti dvije vrijednosti proporcionalne jedna drugoj. Ako vam je dat omjer i trebate pronaći veći ili manji omjer koji mu odgovara, pomnožite ili podijelite originalni omjer nekim datim brojem.
  - Na primjer, pekar treba utrostručiti količinu sastojaka datu u receptu. Ako recept ima omjer brašna i šećera 2:1 (2:1), pekar će svaki član u omjeru pomnožiti sa 3 kako bi dobio omjer 6:3 (6 šoljica brašna na 3 šolje šećera).
  - S druge strane, ako pekar treba da prepolovi količinu sastojaka datu u receptu, tada će pekar podijeliti svaki pojam u omjeru sa 2 i dobiti omjer 1: ½ (1 šolja brašna na 1/2 šolje šećera ).
3. Pronalaženje nepoznate vrijednosti kada su data dva ekvivalenta. Ovo je problem u kojem morate pronaći nepoznatu varijablu u jednoj relaciji koristeći drugu relaciju, koja je ekvivalentna prvoj. Za rješavanje takvih problema koristite. Zapišite svaki omjer kao običan razlomak, stavite znak jednakosti između njih i pomnožite njihove članove unakrsno.
  - Na primjer, data je grupa učenika, u kojoj su 2 dječaka i 5 djevojčica. Koliki će biti broj dječaka ako se broj djevojčica poveća na 20 (proporcija ostaje ista)? Prvo zapišite dva omjera - 2 dječaka: 5 djevojčica i X dječaci: 20 djevojčica. Sada zapišite ove omjere kao razlomke: 2/5 i x / 20. Pomnožite članove razlomaka unakrsno da dobijete 5x = 40; dakle, x = 40/5 = 8.
dio 3
Uobičajene greške
1. Izbjegavajte sabiranje i oduzimanje u problemima s omjerom riječi. Mnogi problemi sa riječima izgledaju otprilike ovako: „U receptu trebate koristiti 4 gomolja krumpira i 5 korijenskih usjeva šargarepe. Ako želite dodati 8 gomolja krompira, koliko šargarepe vam je potrebno da omjer ostane nepromijenjen?" Prilikom rješavanja takvih zadataka učenici često griješe dodajući istu količinu sastojaka originalnom broju. Međutim, da biste zadržali omjer, morate koristiti množenje. Evo primjera ispravnih i pogrešnih odluka:
  - Netačno: „8 - 4 = 4 - pa smo dodali 4 gomolja krompira. Dakle, trebate uzeti 5 korijenskih usjeva šargarepe i dodati im još 4 ... Stanite! Odnosi se ne računaju na taj način. Vrijedi pokušati ponovo."
  - Tačno je: "8 ÷ 4 = 2 - znači pomnožili smo količinu krompira sa 2. Prema tome, 5 šargarepa se mora pomnožiti sa 2. 5 x 2 = 10 - 10 šargarepa se mora dodati u recept."

Za rješavanje većine zadataka iz matematike u srednjoj školi potrebno je poznavanje proporcija. Ova jednostavna vještina pomoći će vam ne samo da izvodite složene vježbe iz udžbenika, već i da uđete u samu suštinu matematike. Kako napraviti proporciju? Hajde da to sada pogledamo.

Najjednostavniji primjer je problem gdje su poznata tri parametra, a četvrti se mora pronaći. Proporcije su, naravno, različite, ali često morate pronaći neki broj po procentima. Na primjer, dječak je imao ukupno deset jabuka. Četvrti dio dao je svojoj majci. Koliko je jabuka ostalo dječaku? Ovo je najjednostavniji primjer koji će vam omogućiti da sastavite proporciju. Glavna stvar je to učiniti. Prvobitno je bilo deset jabuka. Neka bude 100%. Obilježili smo sve njegove jabuke. Dao je jednu četvrtinu. 1/4 = 25/100. To znači da je otišao: 100% (prvobitno je bilo) - 25% (dao je) = 75%. Ova brojka pokazuje postotak broja preostalih plodova u odnosu na broj prvih dostupnih. Sada imamo tri broja, pomoću kojih je već moguće riješiti proporciju. 10 jabuka - 100%, X jabuke - 75%, pri čemu je x potrebna količina voća. Kako napraviti proporciju? Morate razumjeti šta je to. Matematički, to izgleda ovako. Znak jednakosti se stavlja za vaše razumijevanje.

10 jabuka = 100%;

x jabuke = 75%.

Ispada da je 10 / x = 100% / 75. Ovo je glavno svojstvo proporcija. Uostalom, što je veći x, to je veći procenat ovog broja od originala. Rješavamo ovu proporciju i dobijamo da je x = 7,5 jabuka. Zašto je dječak odlučio dati necijeli iznos nije nam poznato. Sada znate proporcije. Glavna stvar je pronaći dvije relacije, od kojih jedna sadrži nepoznato nepoznato.

Rješavanje proporcija se često svodi na jednostavno množenje, a zatim na dijeljenje. U školama se djeci ne objašnjava zašto je to baš tako. Iako je važno shvatiti da su proporcionalni odnosi matematički klasik, to je sama suština nauke. Da biste riješili proporcije, morate znati rukovati razlomcima. Na primjer, često je potrebno pretvoriti procente u razlomke. To jest, rekord od 95% neće raditi. A ako odmah napišete 95/100, onda možete napraviti solidna smanjenja bez pokretanja glavnog brojanja. Odmah treba reći da ako se ispostavi da je vaša proporcija sa dvije nepoznate, onda se to ne može riješiti. Ovdje vam nijedan profesor ne može pomoći. A vaš zadatak, najvjerovatnije, ima složeniji algoritam ispravnih radnji.

Razmotrimo još jedan primjer gdje nema interesa. Vozač je kupio 5 litara benzina za 150 rubalja. Pitao se koliko će platiti za 30 litara goriva. Da biste riješili ovaj problem, neka x označava potrebnu količinu novca. Ovaj problem možete riješiti sami, a zatim provjerite odgovor. Ako još niste shvatili kako napraviti proporciju, pogledajte. 5 litara benzina je 150 rubalja. Kao u prvom primjeru, zapisat ćemo 5L - 150r. Sada pronađimo treći broj. Naravno, ovo je 30 litara. Slažete se da je par od 30 litara - x rubalja prikladan u ovoj situaciji. Pređimo na matematički jezik.

5 litara - 150 rubalja;

30 litara - x rubalja;

Rješavamo ovu proporciju:

x = 900 rubalja.

Tako smo odlučili. U svom zadatku ne zaboravite provjeriti adekvatnost odgovora. Dešava se da pogrešnom odlukom automobili postižu nerealne brzine od 5000 kilometara na sat i tako dalje. Sada znate proporcije. Možete i to riješiti. Kao što vidite, ovo nije teško.

Odnosom se naziva određeni odnos između entiteta našeg svijeta. To mogu biti brojevi, fizičke veličine, predmeti, proizvodi, pojave, radnje, pa čak i ljudi.

U svakodnevnom životu, kada su omjeri u pitanju, kažemo "Odnos ovoga i onoga"... Na primjer, ako se u vazi nalaze 4 jabuke i 2 kruške, onda kažemo "Odnos jabuke i kruške" "Odnos kruške i jabuke".

U matematici se omjer često koristi kao "Stav tog-i-toga prema tom-i-tom"... Na primjer, omjer četiri jabuke i dvije kruške, koji smo razmatrali gore, u matematici će glasiti kao "Omjer četiri jabuke prema dvije kruške" ili ako zamijenite jabuke i kruške, onda "Odnos dve kruške prema četiri jabuke".

Odnos se izražava kao a To b(gde umesto a i b bilo koje brojeve), ali češće možete pronaći unos koji je sastavljen pomoću dvotočka kao a: b... Ovaj unos možete pročitati na različite načine:

a To b
a odnosi se na b
stav a To b

Zapišimo omjer četiri jabuke i dvije kruške koristeći simbol omjera:

4: 2

Ako zamijenimo mjesta jabuka i krušaka, onda ćemo imati omjer 2:4. Ovaj odnos se može čitati kao "dva do četiri" ili bilo koje "Dvije kruške se odnose na četiri jabuke" .

U nastavku ćemo taj omjer zvati omjerom.

Sadržaj lekcije

Šta je stav?

Relacija je, kao što je ranije spomenuto, zapisana u obliku a: b... Može se napisati i kao razlomak. A znamo da takva notacija u matematici znači podjelu. Tada će rezultat odnosa biti količnik a i b.

Omjer u matematici se naziva količnik dva broja.

Omjer vam omogućava da saznate koliko jednog entiteta pada na jedinicu drugog. Vratimo se omjeru četiri jabuke prema dvije kruške (4:2). Ovaj omjer će nam omogućiti da saznamo koliko jabuka ima po jedinici kruške. Jedinica znači jedna kruška. Prvo, zapišimo omjer 4:2 kao razlomak:

Ovaj omjer je dijeljenje broja 4 sa brojem 2. Ako izvršimo ovo dijeljenje, dobićemo odgovor na pitanje koliko jabuka ima po jedinici kruške

Primljeno 2. Dakle, četiri jabuke i dvije kruške (4:2) koreliraju (međusobno su povezane) tako da postoje dvije jabuke po kruški

Slika pokazuje kako su četiri jabuke i dvije kruške povezane jedna s drugom. Vidi se da su za svaku krušku dvije jabuke.

Odnos se može obrnuti pisanjem kao. Tada dobijamo omjer dvije kruške prema četiri jabuke, odnosno "omjer dvije kruške prema četiri jabuke". Ovaj omjer će pokazati koliko krušaka ima po jedinici jabuke. Jedinica jabuka znači jedna jabuka.

Da biste pronašli vrijednost razlomka, morate zapamtiti kako podijeliti manji broj većim.

Primljeno 0,5. Pretvorimo ovaj decimalni razlomak u običan:

Smanjite rezultirajući razlomak za 5

Dobio odgovor (pola kruške). To znači da su dvije kruške i četiri jabuke (2:4) u korelaciji (međusobno povezane) tako da jedna jabuka čini polovicu kruške

Slika pokazuje kako su dvije kruške i četiri jabuke povezane jedna s drugom. Vidi se da na svaku jabuku dolazi polovina kruške.

Zovu se brojevi koji čine odnos članovi veze... Na primjer, u omjeru 4:2, članovi su brojevi 4 i 2.

Razmotrimo druge primjere odnosa. Da bi se nešto pripremilo, sastavlja se recept. Recept je izgrađen iz odnosa između proizvoda. Na primjer, za pravljenje ovsene kaše obično je potrebna čaša žitarica za dvije čaše mlijeka ili vode. Omjer je 1:2 ("jedan prema dva" ili "jedna čaša žitarica za dvije čaše mlijeka").

Omjer 1:2 pretvaramo u razlomak, dobijamo. Računajući ovaj razlomak, dobijamo 0,5. To znači da su jedna čaša žitarica i dvije čaše mlijeka međusobno povezane (međusobno povezane) tako da jedna čaša mlijeka čini pola čaše žitarica.

Ako obrnete odnos 1:2, dobijate omjer 2:1 („dva prema jedan” ili „dve čaše mleka za jednu čašu žitarica”). Pretvorimo omjer 2:1 u razlomak, dobijemo. Računajući ovaj razlomak, dobijamo 2. Dakle, dvije čaše mlijeka i jedna čaša žitarica su povezane (međusobno povezane) tako da za jednu čašu žitarica idu dvije čaše mlijeka.

Primjer 2. U razredu je 15 učenika. Od toga 5 dječaka, 10 djevojčica. Možete zapisati omjer djevojčica i dječaka 10:5 i pretvoriti taj omjer u razlomak. Računajući ovaj razlomak, dobijamo 2. To jest, djevojčice i dječaci su međusobno povezani na način da na svakog dječaka dolaze dvije djevojčice

Slika pokazuje kako se međusobno odnose deset djevojčica i pet dječaka. Vidi se da na svakog dječaka idu dvije djevojčice.

Omjer se ne može uvijek pretvoriti u razlomak i količnik se može naći. U nekim slučajevima to neće biti logično.

Dakle, ako preokrenete stav, ispada, a to je odnos dječaka prema djevojčicama. Ako izračunate ovaj razlomak, dobit ćete 0,5. Ispostavilo se da se pet dječaka odnosi na deset djevojčica na način da na svaku djevojčicu dolazi pola dječaka. Matematički je to naravno tačno, ali sa stanovišta realnosti nije sasvim razumno, jer je dječak živa osoba i ne možete ga samo tako uzeti i podijeliti, kao krušku ili jabuku.

Izgradnja ispravnog stava važna je vještina rješavanja problema. Dakle, u fizici, omjer prijeđene udaljenosti i vremena je brzina kretanja.

Udaljenost je označena promjenljivom S, vrijeme - kroz varijablu t, brzina - kroz varijablu v... Zatim fraza "Odnos pređene udaljenosti i vremena je brzina kretanja" biće opisan sledećim izrazom:

Pretpostavimo da je auto prešao 100 kilometara za 2 sata. Tada će omjer prijeđenih sto kilometara i dva sata biti brzina automobila:

Uobičajeno je da se brzina naziva udaljenost koju tijelo pređe u jedinici vremena. Jedinica vremena znači 1 sat, 1 minut ili 1 sekundu. A odnos, kao što je ranije spomenuto, omogućava vam da saznate koliko jednog entiteta pada na jedinicu drugog. U našem primjeru, odnos od sto kilometara do dva sata pokazuje koliko je kilometara potrebno za jedan sat kretanja. Vidimo da za svaki sat kretanja ide 50 kilometara.

Stoga se brzina mjeri u km/h, m/min, m/s... Simbol razlomka (/) označava omjer udaljenosti i vremena: kilometara na sat , metara u minuti i metara u sekundi respektivno.

Primjer 2... Odnos vrijednosti proizvoda i njegove količine je cijena jedne jedinice proizvoda

Ako smo uzeli 5 čokoladica iz trgovine i njihova ukupna cijena je bila 100 rubalja, tada možemo odrediti cijenu jedne pločice. Da biste to učinili, morate pronaći omjer od sto rubalja prema broju šipki. Onda dobijemo da postoji 20 rubalja za jednu šipku.

Poređenje količina

Ranije smo naučili da odnos između količina različite prirode formira novu količinu. Dakle, omjer prijeđenog puta i vremena je brzina kretanja. Odnos vrijednosti robe i njene količine je cijena jedne jedinice robe.

Ali omjer se također može koristiti za poređenje vrijednosti. Rezultat takvog odnosa je broj koji pokazuje koliko je puta prva vrijednost veća od druge ili koliki je dio prve vrijednosti od druge.

Da biste saznali koliko je puta prva vrijednost veća od druge, veća vrijednost mora biti upisana u brojiocu omjera, a manja vrijednost u nazivniku.

Da biste saznali koji je dio prve vrijednosti od druge, potrebno je da u brojiocu omjera upišete manju vrijednost, a u nazivnik veću vrijednost.

Razmotrimo brojeve 20 i 2. Hajde da saznamo koliko je puta broj 20 veći od broja 2. Da bismo to uradili, nalazimo omjer broja 20 i broja 2. U brojiocu omjera upisujemo broj 20, a u nazivniku - broj 2

Vrijednost ovog omjera je deset

Omjer broja 20 i broja 2 je broj 10. Ovaj broj pokazuje koliko je puta broj 20 veći od broja 2. Dakle, broj 20 je deset puta veći od broja 2.

Primjer 2. U razredu je 15 učenika. Od toga 5 dječaka, 10 djevojčica. Odredite koliko puta ima više djevojčica nego dječaka.

Zapisujemo odnos devojčica prema dečacima. Broj djevojaka upisujemo u brojilac veze, a broj dječaka u imenilac veze:

Vrijednost ovog omjera je 2. To znači da je u razredu od 15 djevojčica dvostruko više nego dječaka.

Više se ne postavlja pitanje koliko djevojčica ima za jednog dječaka. U ovom slučaju, omjer se koristi za poređenje broja djevojčica sa brojem dječaka.

Primjer 3... Koji je dio broja 2 od broja 20.

Pronalazimo odnos broja 2 i broja 20. U brojiocu odnosa upisujemo broj 2, a u nazivnik - broj 20

Da biste pronašli značenje ovog odnosa, morate se sjetiti

Vrijednost omjera broja 2 i broja 20 je broj 0,1

U ovom slučaju, decimalni razlomak 0,1 može se pretvoriti u običan. Ovaj odgovor će biti lakše razumjeti:

Dakle, broj 2 od broja 20 je jedna desetina.

Možete provjeriti. Da bismo to učinili, nalazimo od broja 20. Ako smo sve uradili ispravno, onda bismo trebali dobiti broj 2

20: 10 = 2

2 × 1 = 2

Dobili smo broj 2. Dakle, deseti dio broja 20 je broj 2. Stoga zaključujemo da je zadatak točno riješen.

Primjer 4. U razredu je 15 ljudi. Od toga 5 dječaka, 10 djevojčica. Odredite koliki udio od ukupnog broja školaraca čine dječaci.

Zapisujemo odnos dječaka prema ukupnom broju školaraca. U brojnik odnosa upisujemo pet dječaka, a u nazivnik ukupan broj učenika. Ukupan broj školaraca je 5 dječaka plus 10 djevojčica, pa u imenilac odnosa upisujemo 15

Da biste pronašli značenje ovog omjera, morate zapamtiti kako podijeliti manji broj većim. U ovom slučaju, broj 5 se mora podijeliti sa brojem 15

Kada podijelite 5 sa 15, dobijete periodični razlomak. Pretvorimo ovaj razlomak u običan

Dobili smo konačan odgovor. Dakle, dječaci čine jednu trećinu razreda.

Na slici se vidi da u odeljenju od 15 učenika 5 dečaka čini trećinu odeljenja.

Ako nađemo od 15 školaraca za provjeru, onda dobijemo 5 dječaka

15: 3 = 5

5 × 1 = 5

Primjer 5. Koliko je puta 35 veće od 5?

Zapisujemo omjer broja 35 i broja 5. U brojiocu omjera potrebno je upisati broj 35, u nazivnik - broj 5, ali ne i obrnuto

Vrijednost ovog omjera je 7. Dakle, broj 35 je sedam puta veći od broja 5.

Primjer 6. U razredu je 15 ljudi. Od toga 5 dječaka, 10 djevojčica. Odredite koliki je udio od ukupnog broja djevojčica.

Zapisujemo odnos djevojčica i ukupnog broja školaraca. U brojnik odnosa upisujemo deset djevojaka, a u nazivnik ukupan broj školaraca. Ukupan broj školaraca je 5 dječaka plus 10 djevojčica, pa u imenilac odnosa upisujemo 15

Da biste pronašli značenje ovog omjera, morate zapamtiti kako podijeliti manji broj većim. U ovom slučaju, broj 10 se mora podijeliti sa brojem 15

Kada podijelite 10 sa 15, dobijete periodični razlomak. Pretvorimo ovaj razlomak u običan

Dobijeni razlomak smanjite za 3

Dobili smo konačan odgovor. Dakle, djevojčice čine dvije trećine razreda.

Slika pokazuje da u odeljenju od 15 učenika dve trećine odeljenja čini 10 devojčica.

Ako nađemo od 15 školaraca za provjeru, onda dobijemo 10 djevojčica

15: 3 = 5

5 × 2 = 10

Primjer 7. Koji dio od 10 cm je 25 cm

Zapisujemo omjer deset centimetara prema dvadeset pet centimetara. U brojiocu omjera upisujemo 10 cm, u nazivnik 25 cm

Da biste pronašli značenje ovog omjera, morate zapamtiti kako podijeliti manji broj većim. U ovom slučaju, broj 10 se mora podijeliti sa brojem 25

Pretvorimo rezultujući decimalni razlomak u običan

Smanjite rezultirajući razlomak za 2

Dobili smo konačan odgovor. To znači da je 10 cm od 25 cm.

Primjer 8. Koliko puta je 25 cm više od 10 cm

Zapisujemo omjer dvadeset pet centimetara prema deset centimetara. U brojnik omjera upisujemo 25 cm, u nazivnik - 10 cm

Odgovor je bio 2,5. Znači 25 cm više od 10 cm 2,5 puta (dva i po puta)

Važna napomena. Prilikom pronalaženja omjera istoimenih fizičkih veličina, ove veličine moraju nužno biti izražene u jednoj mjernoj jedinici, inače će odgovor biti netačan.

Na primjer, ako imamo posla s dvije dužine i želimo znati koliko je puta prva dužina veća od druge, ili koji je dio prve dužine od druge, tada se obje dužine prvo moraju izraziti u jednoj jedinici mjerenje.

Primjer 9. Koliko puta je 150 cm više od 1 metra?

Prvo, napravimo tako da obje dužine budu izražene u istoj mjernoj jedinici. Da bismo to učinili, pretvorimo 1 metar u centimetre. Jedan metar je sto centimetara

1 m = 100 cm

Sada nalazimo omjer od sto pedeset centimetara prema sto centimetara. U brojiocu omjera pišemo 150 centimetara, u nazivniku - 100 centimetara

Nađimo vrijednost ovog omjera

Odgovor je bio 1,5. To znači da je 150 cm 1,5 puta više od 100 cm (jedan i po puta).

A ako nisu pretvorili metre u centimetre i odmah pokušali pronaći omjer od 150 cm prema jednom metru, onda bismo dobili sljedeće:

Ispostavilo bi se da je 150 cm više od jednog metra sto pedeset puta, ali to nije istina. Stoga je imperativ obratiti pažnju na jedinice mjerenja fizičkih veličina koje su uključene u odnos. Ako su ove količine izražene u različitim mjernim jedinicama, onda da biste pronašli omjer ovih veličina, morate prijeći na jednu mjernu jedinicu.

Primjer 10. Prošlog mjeseca plata je bila 25.000 rubalja, a ovog mjeseca plata je porasla na 27.000 rubalja. Odredite koliko je puta plata porasla

Zapisujemo odnos dvadeset sedam hiljada prema dvadeset pet hiljada. Zapisujemo 27000 u brojiocu omjera, 25000 u nazivniku.

Nađimo vrijednost ovog omjera

Odgovor je bio 1.08. To znači da je plata povećana za 1,08 puta. Ubuduće, kada budemo upoznali procente, takve pokazatelje kao što su plate iskazivaćemo u procentima.

Primjer 11... Širina stambene zgrade je 80 metara, a visina 16 metara. Koliko puta je kuća šira od svoje visine?

Zapisujemo omjer širine kuće i njene visine:

Vrijednost ovog omjera je 5. To znači da je širina kuće pet puta veća od njene visine.

Relationship property

Omjer se neće promijeniti ako se njegovi članovi pomnože ili podijele istim brojem.

Ovo je jedno od najvažnijih svojstava odnosa proizilazi iz svojstva posebnog. Znamo da ako se dividenda i djelitelj pomnože ili podijele istim brojem, tada se količnik neće promijeniti. A budući da odnos nije ništa drugo do podjela, svojstvo određenog također radi za njega.

Vratimo se na stavove djevojčica prema dječacima (10:5). Ovakav stav je pokazao da na svakog dječaka dolaze dvije djevojčice. Provjerimo kako funkcionira svojstvo relacije, naime, pokušajmo njegove članove pomnožiti ili podijeliti istim brojem.

U našem primjeru, zgodnije je podijeliti članove veze njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD).

Gcd članova 10 i 5 je broj 5. Stoga se članovi veze mogu podijeliti brojem 5

Imam novi stav. Ovo je omjer dva prema jedan (2:1). Ovaj odnos, kao i prethodni omjer 10:5, pokazuje da su dvije djevojčice na jednog dječaka.

Na slici je prikazan odnos 2:1 (dva prema jedan). Kao i u prošlosti, odnos 10:5 po dječaku imaju dvije djevojčice. Drugim riječima, stav se nije promijenio.

Primjer 2... U jednom razredu ima 10 djevojčica i 5 dječaka. U drugom razredu ima 20 djevojčica i 10 dječaka. Koliko puta ima više djevojčica u prvom razredu nego dječaka? Koliko puta ima više djevojčica u drugom razredu nego dječaka?

U oba razreda je duplo više djevojčica nego dječaka, jer su veze i jednaki istom broju.

Svojstvo odnosa vam omogućava da izgradite različite modele koji imaju slične parametre kao i stvarni objekt. Pretpostavimo da je stambena zgrada široka 30 metara i visoka 10 metara.

Da biste nacrtali sličnu kuću na papiru, morate je nacrtati u istom omjeru 30:10.

Podijelite oba člana ovog omjera brojem 10. Tada ćemo dobiti omjer 3:1. Ovaj omjer je 3, baš kao i prethodni omjer 3

Pretvorimo metre u centimetre. 3 metra je 300 centimetara, a 1 metar je 100 centimetara

3 m = 300 cm

1 m = 100 cm

Imamo omjer 300 cm : 100 cm. Podijelite članove ovog omjera sa 100. Dobijamo omjer od 3 cm : 1 cm. Sada možemo nacrtati kuću širine 3 cm i visine 1 cm.

Naravno, nacrtana kuća je mnogo manja od prave kuće, ali omjer širine i visine ostaje nepromijenjen. To nam je omogućilo da nacrtamo kuću što je moguće bliže stvarnoj.

Stav se može shvatiti i na druge načine. Prvobitno je rečeno da prava kuća ima širinu od 30 metara i visinu od 10 metara. Ukupno je 30 + 10, odnosno 40 metara.

Ovih 40 metara može se shvatiti kao 40 dijelova. Omjer 30:10 znači da postoji 30 komada za širinu i 10 komada za visinu.

Dalje, članovi omjera 30:10 podijeljeni su sa 10. Rezultat je bio omjer 3:1. Ovaj odnos se može shvatiti kao 4 dijela, od kojih su tri za širinu, jedan za visinu. U ovom slučaju obično morate saznati koliko metara ima širina i visina.

Drugim riječima, trebate saznati koliko metara je u 3 dijela, a koliko metara je u 1 dijelu. Prvo morate saznati koliko metara ima jedan dio. Da biste to učinili, ukupno 40 metara mora biti podijeljeno sa 4, jer u omjeru 3: 1 postoje samo četiri dijela

Odredimo koliko metara ima širina:

10 m × 3 = 30 m

Odredimo koliko metara je na visini:

10 m × 1 = 10 m

Više članova veze

Ako je nekoliko članova dato u odnosu, onda se oni mogu shvatiti kao dijelovi nečega.

Primjer 1... Kupljeno 18 jabuka. Ove jabuke podijeljene su između mame, tate i kćeri u omjeru 2:1:3. Koliko je jabuka dobio svaki?

Omjer 2:1:3 znači da mama dobija 2 dijela, tata - 1 dio, kćerka - 3 dijela. Drugim riječima, svaki član omjera 2:1:3 je specifičan dio od 18 jabuka:

Ako zbrojite članove omjera 2:1:3, tada možete saznati koliko ukupno ima dijelova:

2 + 1 + 3 = 6 (dijelovi)

Saznajte koliko je jabuka u jednom dijelu. Da biste to učinili, podijelite 18 jabuka sa 6

18: 6 = 3 (jabuke po kriški)

Sada odredimo koliko je jabuka svaki dobio. Množenjem tri jabuke sa svakim članom omjera 2:1:3, možete odrediti koliko je jabuka dobila mama, koliko je dobio tata, a koliko ćerka.

Hajde da saznamo koliko je jabuka mama dobila:

3 × 2 = 6 (jabuke)

Saznajte koliko je tata dobio jabuka:

3 × 1 = 3 (jabuke)

Hajde da saznamo koliko je jabuka moja ćerka dobila:

3 × 3 = 9 (jabuke)

Primjer 2... Novo srebro (alpaka) je legura nikla, cinka i bakra u omjeru 3:4:13. Koliko kilograma svakog metala trebate uzeti da dobijete 4 kg novog srebra?

4 kilograma novog srebra sadržavat će 3 dijela nikla, 4 dijela cinka i 13 dijelova bakra. Prvo saznajemo koliko će dijelova biti u četiri kilograma srebra:

3 + 4 + 13 = 20 (dijelovi)

Odredimo koliko će kilograma biti u jednom dijelu:

4 kg: 20 = 0,2 kg

Odredimo koliko će kilograma nikla biti sadržano u 4 kg novog srebra. U omjeru od 3:4:13, tri dijela legure su naznačena da sadrže nikl. Dakle, množimo 0,2 sa 3:

0,2 kg × 3 = 0,6 kg nikla

Sada odredimo koliko će kilograma cinka biti sadržano u 4 kg novog srebra. U omjeru 3:4:13, za četiri dijela legure se kaže da sadrže cink. Dakle, množimo 0,2 sa 4:

0,2 kg × 4 = 0,8 kg cinka

Sada odredimo koliko će kilograma bakra biti sadržano u 4 kg novog srebra. U omjeru 3:4:13, za trinaest dijelova legure se kaže da sadrži bakar. Dakle, množimo 0,2 sa 13:

0,2 kg × 13 = 2,6 kg bakra

To znači da da biste dobili 4 kg novog srebra, potrebno je uzeti 0,6 kg nikla, 0,8 kg cinka i 2,6 kg bakra.

Primjer 3... Mesing je legura bakra i cinka, čija je težina 3: 2. Za izradu komada mesinga potrebno je 120 g bakra. Koliko je cinka potrebno da se napravi ovaj komad mesinga?

Odredimo koliko grama legure ima u jednom dijelu. Uslov kaže da je za izradu komada mesinga potrebno 120 g bakra. Takođe se kaže da tri dela legure sadrže bakar. Ako podijelimo 120 sa 3, saznaćemo koliko grama legure ima u jednom dijelu:

120: 3 = 40 grama po porciji

Sada odredimo koliko je cinka potrebno za izradu komada mesinga. Da biste to učinili, pomnožite 40 grama sa 2, jer je u omjeru 3: 2 naznačeno da dva dijela sadrže cink:

40 g × 2 = 80 grama cinka

Primjer 4... Uzeli smo dvije legure zlata i srebra. U jednom je količina ovih metala u omjeru 1:9, a u drugom 2:3. Koliko od svake legure treba uzeti da se dobije 15 kg nove legure, u kojoj bi se nalazilo zlato i srebro. odnos 1:4?

Rješenje

15 kg nove legure trebalo bi da bude u omjeru 1:4. Ovaj odnos sugerira da će jedan dio legure biti zlatni, a četiri dijela srebro. Ukupno ima pet dijelova. Ovo se može shematski prikazati na sljedeći način

Odredimo masu jednog dijela. Da biste to učinili, prvo dodajte sve dijelove (1 i 4), a zatim podijelite masu legure s brojem ovih dijelova

1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg

Jedan dio legure će imati masu od 3 kg. Tada će 15 kg nove legure sadržavati 3 × 1 = 3 kg zlata i srebra 3 × 4 = 12 kg srebra.

Stoga, da bismo dobili leguru težine 15 kg, potrebno nam je 3 kg zlata i 12 kg srebra.

A sada da odgovorimo na pitanje problema - " Koliko od svake legure treba da uzmete? »

Uzet ćemo 10 kg prve legure, pošto su zlato i srebro u njoj u omjeru 1: 9. Odnosno, ova prva legura će nam dati 1 kg zlata i 9 kg srebra.

Uzet ćemo 5 kg druge legure, pošto su zlato i srebro u njoj u omjeru 2: 3. To jest, ova druga legura će nam dati 2 kg zlata i 3 kg srebra.

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj Vkontakte grupi i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Formula proporcija

Proporcija je jednakost dva omjera kada je a: b = c: d

odnos 1 : 10 je jednako omjeru 7 : 70, koji se takođe može napisati kao razlomak: 1 10 = 7 70 glasi: "jedan se odnosi na deset, kao i sedam na sedamdeset"

Osnovna svojstva proporcija

Umnožak ekstremnih članova jednak je proizvodu srednjih članova (unakrsno): ako je a: b = c: d, onda je a⋅d = b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Inverzija proporcije: ako je a: b = c: d onda b: a = d: c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Permutacija srednjih članova: ako je a: b = c: d, onda je a: c = b: d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Permutacija ekstremnih članova: ako je a: b = c: d, onda je d: b = c: a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Rješavanje proporcija s jednom nepoznatom | Jednačina

1 : 10 = x : 70 ili 1 10 = x 70

Da biste pronašli x, trebate pomnožiti dva poznata broja unakrsno i podijeliti sa suprotnom vrijednošću

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Kako izračunati proporciju

Zadatak: potrebno je popiti 1 tabletu aktivnog ugljena na 10 kilograma težine. Koliko tableta treba uzeti ako osoba ima 70 kg?

Napravimo proporciju: 1 tableta - 10 kg x tablete - 70 kg Da biste pronašli x, trebate pomnožiti dva poznata broja unakrsno i podijeliti sa suprotnom vrijednošću: 1 tableta x pilule✕ 10 kg 70 Kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 odgovor: 7 tableta

Zadatak: Vasja napiše dva članka za pet sati. Koliko će članaka napisati za 20 sati?

Napravimo proporciju: 2 članka - 5 sati xčlanci - 20 sati x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 odgovor: 8 članaka

Mogu reći budućim maturantima da mi je sposobnost pravljenja proporcija dobro došla i za proporcionalno smanjivanje slika, i u HTML izgledu web stranice, i u svakodnevnim situacijama.

Proporcije su tako poznata kombinacija, koja je vjerovatno poznata još iz osnovnih razreda srednje škole. U najopštijem smislu, proporcija je jednakost dva ili više odnosa.

Odnosno, ako postoje neki brojevi A, B i C

zatim proporcija

ako postoje četiri broja A, B, C i D

tada ili je takođe proporcija

Najjednostavniji primjer gdje se koristi proporcija je izračunavanje postotaka.

Općenito, upotreba proporcija je toliko široka da je lakše reći gdje se ne koriste.

Proporcije se mogu koristiti za određivanje udaljenosti, masa, zapremine i količine bilo čega, uz jedan važan uslov: proporcionalno, moraju postojati linearne zavisnosti između različitih objekata... U nastavku, koristeći primjer izgradnje modela Bronzanog konjanika, vidjet ćete kako treba izračunati proporcije gdje postoje nelinearne ovisnosti.

Odredite koliko će kilograma riže biti ako uzmete 17 posto ukupne riže u 150 kilograma?

Složimo proporciju riječima: 150 kilograma je ukupna količina pirinča. Dakle, uzmimo to kao 100%. Tada će se 17% od 100% izračunati kao proporcija dva omjera: 100 posto se odnosi na 150 kilograma, kao i 17 posto na nepoznati broj.

Sada se nepoznati broj može izračunati elementarno

Odnosno, naš odgovor je 25,5 kilograma pirinča.

Uz proporcije se vežu i zanimljive zagonetke koje pokazuju da ne treba nepromišljeno primjenjivati proporcije za sve prilike.

Evo jednog od njih, malo izmijenjenog:

Za demonstraciju u uredu kompanije, direktor je naredio izradu modela skulpture "Bronzani konjanik" bez granitnog postolja. Jedan od uslova je da tlocrt mora biti izrađen od istih materijala kao i original, da se poštuju proporcije i da visina rasporeda bude tačno 1 metar. Pitanje: Kolika će biti masa rasporeda?

Prvo, okrenimo se referentnim knjigama.

Jahač je visok 5,35 metara, a težak 8.000 kg.

Ako koristimo prvu misao - da napravimo proporciju: 5,35 metara se odnosi na 8.000 kilograma kao 1 metar na nepoznatu vrijednost, onda možda nećemo ni početi računati, jer će odgovor biti pogrešan.

Sve se radi o maloj nijansi koja se mora uzeti u obzir. Sve je u vezi između mase i visine skulptori nelinearni, odnosno ne možemo reći da ćemo povećanjem, na primjer, kocke za 1 metar (pridržavajući se proporcija tako da ostane kocka), povećati njenu težinu za isti iznos.

Lako je to provjeriti na primjerima:

1. Zalijepite kocku sa ivicom dužine 10 centimetara. Koliko vode će ući tamo? Logično je da je 10 * 10 * 10 = 1000 kubnih centimetara, odnosno 1 litar. Pa, pošto je tamo izlivena voda (gustina je jednaka jednoj), a ne druga tečnost, tada će masa biti jednaka 1 kg.

2. lijepimo sličnu kocku ali s dužinom rebra od 20 cm. Volumen vode koja se tamo izlije bit će jednaka 20 * 20 * 20 = 8000 kubnih centimetara, odnosno 8 litara. Pa, težina je prirodno 8 kg.

Lako je vidjeti da je odnos između mase i promjene dužine ivice kocke nelinearan, odnosno kubičan.

Podsjetimo da je volumen proizvod visine, širine i dubine.

To jest, kada se figura promijeni (u zavisnosti od proporcija / oblika) linearne veličine (visina, širina, dubina), masa / zapremina volumetrijske figure mijenja se kubično.

Mi se svađamo:

Naša linearna veličina se promijenila sa 5,35 metara na 1 metar, tada će se masa (volumen) promijeniti kao kubni korijen od 8000 / x

I dobijamo taj raspored Bronzani konjanik u kancelariji kompanije sa visinom od 1 metar će biti teška 52 kilograma 243 grama.

Ali s druge strane, ako bi zadatak bio ovako postavljen" raspored mora biti napravljen od istih materijala kao i original, proporcije i zapremina 1 kubni metar “Znajući da postoji linearna veza između zapremine i mase, koristili bismo samo standardni omjer, stari volumen prema novom i staru masu prema nepoznatom broju.

Ali naš bot pomaže izračunati proporcije u drugim uobičajenim i praktičnijim slučajevima.

Sigurno će dobro doći svim domaćicama koje spremaju hranu.

Situacije nastaju kada se nađe recept za nevjerovatnu tortu od 10 kg, ali je njena zapremina prevelika za pripremu.. Volio bih da sam manji npr. samo dva kilograma, ali kako izračunati sve nove težine i zapremine sastojaka ?

Tu će vam pomoći bot koji će moći da izračuna nove parametre torte od 2 kg.

Takođe, bot će pomoći u proračunima vrijednim muškarcima koji grade kuću i trebaju izračunati koliko treba uzeti sastojaka za beton ako ima samo 50 kilograma pijeska.

Sintaksa

Za korisnike XMPP klijenta: pro<строка>

gdje niz ima potrebne elemente

broj1 / broj2 - pronalaženje proporcije.

Da se ne bismo uplašili ovako kratkog opisa, ovdje ćemo dati primjer.

200 300 100 3 400/100

Što kaže, na primjer, o sljedećem:

200 grama brašna, 300 mililitara mleka, 100 grama putera, 3 jaja - izlaz palačinki je 400 grama.

Koliko je sastojaka potrebno da ispečete samo 100 grama palačinki?

Kako je to lako primijetiti

400/100 je odnos tipičnog recepta i rezultata koji želimo da dobijemo.

Detaljnije ćemo razmotriti primjere u odgovarajućem odjeljku.

Primjeri

Prijateljica je podijelila divan recept

Testo: 200 grama maka, 8 jaja, 200 šećera u prahu, 50 grama rendanih kiflica, 200 grama mlevenih orašastih plodova, 3 šolje meda.
Mak kuvati 30 minuta na laganoj vatri, samleti tučkom, dodati otopljeni med, mlevene krekere, orahe.
Umutiti jaja sa šećerom u prahu, dodati u masu.
Lagano zamesiti testo, sipati u kalup, peći.
Ohlađenu tortu prerezati na 2 sloja, premazati kiselim džemom, pa kremom.
Ukrasite bobicama od džema.
Krema: 1 šolja pavlake, 1/2 šolje šećera, umutiti.