Podmienená pravdepodobnosť a najjednoduchšie základné vzorce. Podmienená pravdepodobnosť

Podmienená pravdepodobnosť udalosti A, keď nastane udalosť B nazývaný vzťah Tu sa predpokladá, že .

Ako rozumné odôvodnenie tejto definície uvádzame, že keď dôjde k udalosti B začína hrať rolu spoľahlivej udalosti, preto musíme vyžadovať, aby . Úloha podujatia A hrá AB, preto musí byť proporcionálne . (Z definície vyplýva, že koeficient proporcionality sa rovná .)

Teraz predstavme koncept nezávislosť udalostí.

To znamená: pretože udalosť nastala B, pravdepodobnosť udalosti A sa nezmenil.

S prihliadnutím na definíciu podmienenej pravdepodobnosti sa táto definícia zredukuje na vzťah . Splnenie podmienky už nie je potrebné vyžadovať . Dostávame sa teda ku konečnej definícii.

Udalosti A a B sa nazývajú nezávislé, ak P(AB)=P(A)P(B).

Posledný vzťah sa zvyčajne používa na určenie nezávislosti dvoch udalostí.

O niekoľkých udalostiach sa hovorí, že sú kolektívne nezávislé, ak podobné vzťahy platia pre akúkoľvek podmnožinu zvažovaných udalostí. Takže napríklad tri udalosti A, B A C sa nazývajú kolektívne nezávislé, ak sú splnené tieto štyri vzťahy:

Tu je množstvo úloh pre podmienená pravdepodobnosť a nezávislosť udalostí a ich rozhodnutia.

Problém 21. Z plného balíčka 36 kariet sa ťahá jedna karta. Udalosť A- karta je červená, B- Eso karta. Budú nezávislí?

Riešenie. Vykonaním výpočtov podľa klasickej definície pravdepodobnosti to dostaneme . To znamená, že udalosti A A B nezávislý.

Problém 22. Vyriešte rovnaký problém pre balíček, z ktorého bola odstránená Piková dáma.

Riešenie. . Neexistuje žiadna nezávislosť.

Problém 23. Dvaja ľudia sa striedajú a hádžu si mincou. Vyhráva ten, kto ako prvý získa erb. Nájdite pravdepodobnosť výhry pre oboch hráčov.

Riešenie. Môžeme predpokladať, že elementárne udalosti sú konečné postupnosti tvaru (0, 0, 1,…, 0, 1) . Pre postupnosť dĺžky má zodpovedajúca elementárna udalosť pravdepodobnosť Hráč, ktorý začne hádzať mincou ako prvý, vyhrá, ak nastane elementárna udalosť pozostávajúca z nepárneho počtu núl a jednotiek. Pravdepodobnosť jeho výhry je teda rovná

Výhry druhého hráča zodpovedajú párnemu počtu núl a jednotiek. Je to rovné

Z riešenia vyplýva, že hra končí v konečnom čase s pravdepodobnosťou 1 (od ).

Problém 24. Aby ste zničili most, musíte zasiahnuť aspoň 2 bomby. Zhodili 3 bomby. Pravdepodobnosť zásahu bômb je 0, 1; 0,3; 0, 4. Nájdite pravdepodobnosť zničenia mosta.

Riešenie. Nech udalosti A, B, C spočívajú v zásahu 1., 2., 3. bomby, resp. Potom k deštrukcii mosta dôjde až vtedy, keď dôjde k udalosti. Vzhľadom na skutočnosť, že členy v tomto vzorci sú párovo nekompatibilné a faktory v členoch sú nezávislé, požadovaná pravdepodobnosť sa rovná

0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.

Problém 25. Dve nákladné lode musia kotviť na rovnakom móle. Je známe, že každý z nich môže doraziť s rovnakou pravdepodobnosťou v ktorýkoľvek moment určitého dňa a musí sa vyložiť 8 hodín. Nájdite pravdepodobnosť, že loď, ktorá dorazí ako druhá, nebude musieť čakať, kým prvá loď dokončí vykládku.

Riešenie.Čas budeme merať v dňoch a zlomkoch dňa. Potom elementárne udalosti sú dvojice čísel vypĺňajúce jednotkový štvorec, kde X -čas príchodu prvej lode, r– čas príchodu druhej lode. Všetky body štvorca sú rovnako pravdepodobné. To znamená, že pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti (t. j. množiny z jednotkového štvorca) sa rovná ploche oblasti zodpovedajúcej tejto udalosti. Udalosť A pozostáva z bodov jednotky štvorca, pre ktoré je nerovnosť . Táto nerovnosť zodpovedá skutočnosti, že loď, ktorá dorazila ako prvá, sa stihne vyložiť do príchodu druhej lode. Množina týchto bodov tvorí dva pravouhlé rovnoramenné trojuholníky so stranou 2/3. Celková plocha týchto trojuholníkov je 4/9. Teda, .

Problém 26. Na skúšku z teórie pravdepodobnosti bolo 34 lístkov. Žiak jeden lístok z ponúkaných lístkov odstráni dvakrát (bez vrátenia). Pripravil sa študent len ​​na 30 lístkov? Aká je pravdepodobnosť, že skúšku zvládne výberom na prvý raz "neúspešný"lístok?

Riešenie. Náhodný výber spočíva v žrebovaní jedného tiketu dvakrát za sebou a prvý vyžrebovaný tiket sa nevracia. Nechajte udalosť IN je, že ten prvý je odstránený" neúspešný" vstupenka a podujatie A je, že ten druhý je vytiahnutý" úspešný» lístok. Je zrejmé, že udalosti A A IN závisí, keďže lístok získaný prvýkrát sa nevráti do počtu všetkých lístkov. Musíte zistiť pravdepodobnosť udalosti AB.

Podľa vzorca podmienenej pravdepodobnosti; ; , Preto .

V skutočnosti sú vzorce (1) a (2) krátkym záznamom podmienenej pravdepodobnosti na základe kontingenčnej tabuľky vlastností. Vráťme sa k diskutovanému príkladu (obr. 1). Predpokladajme, že sa dozvieme, že rodina plánuje kúpiť širokouhlý televízor. Aká je pravdepodobnosť, že si táto rodina takýto televízor skutočne kúpi?

Ryža. 1. Nákupné správanie širokouhlej TV

IN v tomto prípade musíme vypočítať podmienenú pravdepodobnosť P (nákup dokončený | nákup plánovaný). Keďže vieme, že rodina plánuje kúpu, vzorový priestor netvorí všetkých 1000 rodín, ale iba tie, ktoré plánujú kúpiť širokouhlý televízor. Z 250 takýchto rodín si 200 skutočne kúpilo tento televízor. Pravdepodobnosť, že si rodina skutočne kúpi širokouhlý televízor, ak to plánovala, sa preto dá vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:

P (nákup dokončený | plánovaný nákup) = počet rodín, ktoré plánovali a kúpili si širokouhlý televízor / počet rodín, ktoré plánujú kúpiť širokouhlý televízor = 200 / 250 = 0,8

Vzorec (2) dáva rovnaký výsledok:

kde je udalosť A je, že rodina plánuje kúpu širokouhlého televízora a event IN- že to skutočne kúpi. Nahradením skutočných údajov do vzorca dostaneme:

Rozhodovací strom

Na obr. 1 rodiny sú rozdelené do štyroch kategórií: tí, ktorí si plánovali kúpiť širokouhlý televízor a tí, ktorí si ho nekúpili, ako aj tí, ktorí si takýto televízor kúpili, a tí, ktorí nie. Podobnú klasifikáciu možno vykonať pomocou rozhodovacieho stromu (obr. 2). Strom zobrazený na obr. 2 má dve pobočky zodpovedajúce rodinám, ktoré si plánovali kúpiť širokouhlý televízor, a rodinám, ktoré tak neurobili. Každá z týchto pobočiek sa delí na dve ďalšie vetvy zodpovedajúce domácnostiam, ktoré si kúpili a nezakúpili širokouhlý televízor. Pravdepodobnosti napísané na koncoch dvoch hlavných vetiev sú bezpodmienečné pravdepodobnosti udalostí A A A'. Pravdepodobnosti napísané na koncoch štyroch dodatočných vetiev sú podmienené pravdepodobnosti každej kombinácie udalostí A A IN. Podmienené pravdepodobnosti sa vypočítajú vydelením spoločnej pravdepodobnosti udalostí zodpovedajúcou nepodmienenou pravdepodobnosťou každej z nich.

Ryža. 2. Rozhodovací strom

Napríklad na výpočet pravdepodobnosti, že si rodina kúpi širokouhlý televízor, ak to plánuje urobiť, je potrebné určiť pravdepodobnosť udalosti. nákup naplánovaný a dokončený a potom ho vydeľte pravdepodobnosťou udalosti plánovaná kúpa. Pohyb po rozhodovacom strome znázornenom na obr. 2, dostaneme nasledujúcu (podobnú predchádzajúcej) odpoveď:

Štatistická nezávislosť

V príklade nákupu širokouhlého televízora je pravdepodobnosť, že náhodne vybraná rodina kúpila širokouhlý televízor vzhľadom na to, že to plánovala urobiť, 200/250 = 0,8. Pripomeňme, že bezpodmienečná pravdepodobnosť, že si náhodne vybraná rodina kúpila širokouhlý televízor, je 300/1000 = 0,3. To vedie k veľmi dôležitému záveru. Predchádzajúca informácia, že rodina plánovala nákup, ovplyvňuje pravdepodobnosť samotného nákupu. Inými slovami, tieto dve udalosti na sebe závisia. Na rozdiel od tohto príkladu existujú štatisticky nezávislé udalosti, ktorých pravdepodobnosti na sebe nezávisia. Štatistická nezávislosť je vyjadrená identitou: P(A|B) = P(A), Kde P(A|B)- pravdepodobnosť udalosti A za predpokladu, že udalosť nastala IN, P(A)- bezpodmienečná pravdepodobnosť udalosti A.

Upozorňujeme, že udalosti A A IN P(A|B) = P(A). Ak v kontingenčnej tabuľke charakteristík s veľkosťou 2×2 je táto podmienka splnená aspoň pre jednu kombináciu udalostí A A IN, bude platiť pre akúkoľvek inú kombináciu. V našom príklade udalostí plánovaná kúpa A nákup dokončený nie sú štatisticky nezávislé, pretože informácie o jednej udalosti ovplyvňujú pravdepodobnosť inej.

Pozrime sa na príklad, ktorý ukazuje, ako testovať štatistickú nezávislosť dvoch udalostí. Opýtajme sa 300 rodín, ktoré si kúpili širokouhlý televízor, či boli s jeho kúpou spokojní (obr. 3). Zistite, či miera spokojnosti s nákupom a typ televízora súvisia.

Ryža. 3. Údaje charakterizujúce mieru spokojnosti kupujúcich širokouhlých televízorov

Súdiac podľa týchto údajov,

V rovnakom čase,

P (spokojný zákazník) = 240 / 300 = 0,80

Pravdepodobnosť, že zákazník je spokojný s nákupom a že si rodina kúpila HDTV, sú teda rovnaké a tieto udalosti sú štatisticky nezávislé, pretože spolu nesúvisia.

Pravidlo násobenia pravdepodobnosti

Vzorec na výpočet podmienenej pravdepodobnosti vám umožňuje určiť pravdepodobnosť spoločnej udalosti A a B. Po vyriešení vzorca (1)

vzhľadom na spoločnú pravdepodobnosť P(A a B), získame všeobecné pravidlo pre násobenie pravdepodobností. Pravdepodobnosť udalosti A a B rovná pravdepodobnosti udalosti A za predpokladu, že udalosť nastane IN IN:

(3) P(A a B) = P(A|B) * P(B)

Zoberme si ako príklad 80 rodín, ktoré si kúpili širokouhlý HDTV televízor (obr. 3). Z tabuľky vyplýva, že 64 rodín je s kúpou spokojných a 16 nie. Predpokladajme, že sú z nich náhodne vybrané dve rodiny. Určte pravdepodobnosť, že obaja zákazníci budú spokojní. Pomocou vzorca (3) dostaneme:

P(A a B) = P(A|B) * P(B)

kde je udalosť A je, že druhá rodina je spokojná s ich nákupom, a event IN- že prvá rodina je s ich nákupom spokojná. Pravdepodobnosť, že je prvá rodina spokojná s ich nákupom, je 64/80. Pravdepodobnosť, že bude s nákupom spokojná aj druhá rodina, však závisí od reakcie prvej rodiny. Ak sa prvá rodina po prieskume nevráti do vzorky (výber bez vrátenia), počet respondentov sa zníži na 79. Ak je prvá rodina s nákupom spokojná, pravdepodobnosť, že bude spokojná aj druhá rodina, je 63 /79, keďže vo vzorke zostalo len 63 spokojných rodín s nákupom. Nahradením konkrétnych údajov do vzorca (3) dostaneme nasledujúcu odpoveď:

P(A a B) = (63/79) (64/80) = 0,638.

Pravdepodobnosť, že obe rodiny sú s nákupom spokojné, je teda 63,8 %.

Predpokladajme, že po prieskume sa prvá rodina vráti do vzorky. Určte pravdepodobnosť, že obe rodiny budú s ich nákupom spokojné. V tomto prípade je pravdepodobnosť, že obe rodiny sú s nákupom spokojné, rovnaká, rovná sa 64/80. Preto P(A a B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Pravdepodobnosť, že obe rodiny sú s nákupom spokojné, je teda 64,0 %. Tento príklad ukazuje, že výber druhej rodiny nezávisí od výberu prvej. Nahradením podmienenej pravdepodobnosti vo vzorci (3) P(A|B) pravdepodobnosť P(A), získame vzorec na vynásobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí. Ak udalosti A A IN sú štatisticky nezávislé, pravdepodobnosť udalosti A a B rovná pravdepodobnosti udalosti A, vynásobené pravdepodobnosťou udalosti IN.

(4) P(A a B) = P(A)P(B)

Ak toto pravidlo platí pre udalosti A A IN, čo znamená, že sú štatisticky nezávislé. Existujú teda dva spôsoby, ako určiť štatistickú nezávislosť dvoch udalostí:

1. Diania A A IN sú navzájom štatisticky nezávislé vtedy a len vtedy P(A|B) = P(A).
2. Diania A A B sú navzájom štatisticky nezávislé vtedy a len vtedy P(A a B) = P(A)P(B).

Ak je v kontingenčnej tabuľke 2x2, jedna z týchto podmienok je splnená aspoň pre jednu kombináciu udalostí A A B, bude platiť pre akúkoľvek inú kombináciu.

Bezpodmienečná pravdepodobnosť elementárnej udalosti

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)

kde udalosti B 1, B 2, ... B k sa navzájom vylučujú a vyčerpávajú.

Ukážme si aplikáciu tohto vzorca na príklade z obr. 1. Pomocou vzorca (5) dostaneme:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

Kde P(A)- pravdepodobnosť, že nákup bol plánovaný, P(B 1)- pravdepodobnosť, že sa nákup uskutočnil, P(B 2)- pravdepodobnosť, že nákup nie je dokončený.

BAYESOVA TEOREM

Podmienená pravdepodobnosť udalosti berie do úvahy informáciu, že nastala nejaká iná udalosť. Tento prístup možno použiť na spresnenie pravdepodobnosti s prihliadnutím na novoprijaté informácie, ako aj na výpočet pravdepodobnosti, že pozorovaný účinok je dôsledkom špecifickej príčiny. Postup na spresnenie týchto pravdepodobností sa nazýva Bayesova veta. Prvýkrát ho vyvinul Thomas Bayes v 18. storočí.

Predpokladajme, že vyššie uvedená spoločnosť robí prieskum trhu pre nový model televízora. V minulosti bolo 40 % televízorov vytvorených spoločnosťou úspešných, zatiaľ čo 60 % modelov nebolo uznaných. Pred oznámením vydania nového modelu marketingoví špecialisti starostlivo skúmajú trh a zaznamenávajú dopyt. V minulosti sa predpokladalo, že 80 % úspešných modelov bude úspešných, zatiaľ čo 30 % úspešných predpovedí sa ukázalo ako nesprávne. Marketingové oddelenie poskytlo priaznivú predpoveď pre nový model. Aká je pravdepodobnosť, že bude dopyt po novom modeli televízora?

Bayesovu vetu možno odvodiť z definícií podmienenej pravdepodobnosti (1) a (2). Na výpočet pravdepodobnosti P(B|A) použite vzorec (2):

a namiesto P(A a B) nahraďte hodnotu zo vzorca (3):

P(A a B) = P(A|B) * P(B)

Nahradením vzorca (5) namiesto P(A) dostaneme Bayesovu vetu:

kde udalosti B 1, B 2, ... B k sa navzájom vylučujú a vyčerpávajú.

Poďme sa predstaviť nasledujúce označenia: diania - Televízia je žiadaná, diania' - TV nie je žiadaná, udalosť F - priaznivá prognóza, udalosť F' - zlá prognóza. Predpokladajme, že P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Aplikovaním Bayesovej vety dostaneme:

Pravdepodobnosť dopytu po novom modeli televízora, za predpokladu priaznivá prognóza rovná 0,64. Pravdepodobnosť nedostatku dopytu pri priaznivej prognóze je teda 1–0,64=0,36. Proces výpočtu je znázornený na obr. 4.

Ryža. 4. a) Výpočty s použitím Bayesovho vzorca na odhad pravdepodobnosti dopytu po televízoroch; (b) Rozhodovací strom pri skúmaní dopytu po novom modeli televízora

Pozrime sa na príklad použitia Bayesovej vety pre medicínsku diagnostiku. Pravdepodobnosť, že osoba trpí konkrétnou chorobou, je 0,03. Lekársky test môže overiť, či je to pravda. Ak je človek skutočne chorý, pravdepodobnosť presnej diagnózy (hovorí, že človek je chorý, keď je naozaj chorý) je 0,9. Ak je človek zdravý, pravdepodobnosť falošne pozitívnej diagnózy (hovorí, že človek je chorý, keď je zdravý) je 0,02. Povedzme, že lekársky test dal pozitívny výsledok. Aká je pravdepodobnosť, že je človek skutočne chorý? Aká je pravdepodobnosť presnej diagnózy?

Uveďme nasledujúci zápis: udalosť D - človek je chorý, udalosť D' - človek je zdravý, udalosť T - diagnóza je pozitívna, udalosť T' - diagnóza negatívna. Z podmienok úlohy vyplýva, že P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Použitím vzorca (6) dostaneme:

Pravdepodobnosť, že pri pozitívnej diagnóze je človek skutočne chorý, je 0,582 (pozri aj obr. 5). Upozorňujeme, že menovateľ Bayesovho vzorca sa rovná pravdepodobnosti pozitívnej diagnózy, t.j. 0,0464.

Ako bolo uvedené na začiatku nášho kurzu, máme na mysli, že experiment sa uskutočňuje za určitých pevných podmienok K. Ak sa tieto podmienky zmenia, zmení sa aj pravdepodobnosť udalostí súvisiacich s týmto experimentom. Takáto zmena môže byť vždy chápaná ako objavenie sa nejakej udalosti (inej ako počiatočný súbor podmienok K). Aby ste pochopili, ako v tomto prípade určiť novú (podmienenú) pravdepodobnosť, zvážte zodpovedajúce frekvencie. Nech sa experiment uskutoční N-krát, udalosť B sa vyskytla N(B)-krát a udalosti A a B spolu N(AB)-krát. Potom sa „podmienená“ frekvencia udalosti A medzi tými experimentmi, kde nastala udalosť B, rovná

Berúc do úvahy, že pravdepodobnosť zdedí vlastnosti frekvencií, môžeme uviesť nasledovné

Definícia 1. Podmienená pravdepodobnosť udalosti A za predpokladu, že udalosť nastala , zavolal na číslo

Niekedy sa používa iné označenie

Príklad 1 Symetrická minca sa hodí dvakrát. Je známe, že jeden erb padol (udalosť B). Nájdite pravdepodobnosť udalosti A, ktorá spočíva v tom, že erb vyšiel na prvý hod.

Je ľahké to vypočítať , A . Z toho vyplýva

Je ľahké overiť, že pre pevné B má podmienená pravdepodobnosť tieto vlastnosti:

Podmienená pravdepodobnosť má teda všetky základné vlastnosti pravdepodobnosti.

Nasledujúca veta hrá veľmi dôležitú úlohu.

Veta o násobení. Nech A a B sú dve udalosti a potom

Jej dôkaz vyplýva z definície podmienenej pravdepodobnosti. Výhodou tejto vety je, že niekedy môžeme vypočítať podmienenú pravdepodobnosť priamo a potom ju použiť na výpočet

Príklad 2. V urne je 5 loptičiek – 3 biele a 2 čierne. Bez návratu vyberieme dve loptičky. Nájdite pravdepodobnosť, že obe gule sú biele.

Nech je udalosť, že prvá guľa je biela, a udalosť, že druhá guľa je biela. Je ľahké to vypočítať Potom, čo sme vytiahli jednu guľu a vieme, že je biela, máme 4 guličky a medzi nimi 2 sú biele. Potom . Podľa vety o násobení

Veta o násobení sa dá ľahko rozšíriť na ľubovoľný konečný počet udalostí.

Dôsledok 1. Nech sú teda náhodné udalosti

Ak výskyt udalosti B nezmení pravdepodobnosť udalosti A, t.j. , potom je prirodzené nazývať takéto udalosti nezávislými. V tomto prípade dostaneme teorém o násobení

Posledný vzťah je symetrický vzhľadom na A a B a dáva zmysel pri . Preto to berieme ako definíciu.

Definícia 2. Udalosti A a B sa nazývajú nezávislé ak

Príklad 3 Hodia sa dve symetrické mince. Udalosťou A je, že prvá minca má erb a udalosťou B je, že druhá minca má erb.

Je intuitívne jasné, že takéto udalosti musia byť nezávislé. naozaj, ,,

A a B sú teda v zmysle definície nezávislé. Menej zrejmé je, že udalosti A a C sú nezávislé, kde C znamená, že bol nakreslený iba jeden erb (dokážte to!).

Je ťažšie určiť nezávislosť viac ako dvoch udalostí.

Definícia 3. Udalosti sa nazývajú nezávislé Spolu, ak na všetky udalosti z uvažovaných je spravodlivé

Ukážme si na príkladoch, že párová nezávislosť a splnenie poslednej rovnosti pre zoznam všetkých udalostí na nezávislosť v súhrne nestačí.

Príklad 4. Pravidelný štvorsten je namaľovaný tromi farbami: jedna strana je modrá, druhá je červená, tretia je zelená a štvrtá má všetky tri farby. Tento štvorsten sa prehodí a zaznamená sa, na ktorej strane pristane.

Nech to znamená vzhľad modrej farby, - červená, - zelená. potom ,,

Odtiaľ to máme. Rovnako aj pre ostatné páry. Máme teda párovú nezávislosť. ale

Úloha 1. Vymyslite príklad experimentu a troch udalostí ,,, pre ktoré , ale nie sú párovo nezávislé.

Nasledujúce môžeme uviesť všeobecnejšie

Definícia 4. Nech sú niektoré triedy udalostí.

Nazývajú sa nezávislé, ak sú nejaké udalosti v súhrne nezávislé.

Typická situácia je opísaná v nasledujúcom príklade.

Príklad 5. Symetrická kocka sa hodí dvakrát. označuje súbor udalostí spojených s výsledkom prvého hodu. sa určí podobne pre výsledok druhého hodu. Potom sú nezávislé.

Nasledujúci výsledok je užitočný pri mnohých problémoch.

veta 1. Ak sú udalosti A a B nezávislé, potom sú nezávislé ľubovoľné dve z nasledujúcich: .

Dôkaz. Dokážme nezávislosť.

Navrhuje sa nezávisle preukázať nezávislosť zostávajúcich dvojíc udalostí.

V mnohých situáciách sa stretávame s experimentmi, ktoré možno rozdeliť do dvoch (alebo viacerých) etáp. V prvej fáze máme niekoľko možností a pýtame sa niečo na to, čo sa stalo na konci – v druhej fáze. V tomto prípade je výsledok uvedený nižšie mimoriadne užitočný. Začnime nasledujúcou definíciou.

Definícia 5. Udalosti tvoria ucelenú skupinu udalostí (rozdelenie priestoru) ak

Veta 1. Nech udalosti tvoria kompletnú skupinu udalostí pre všetkých a je to ľubovoľná udalosť. Potom - vzorec celkovej pravdepodobnosti.

Dôkaz. Keďže eventy tvoria ucelenú skupinu, máme

Odtiaľto sa dostaneme

Kde sme použili násobiacu vetu.

Príklad 6. V určitej továrni sa 30% výrobkov vyrába strojom A, 25% výrobkov sa vyrába v stroji B a zvyšok výrobkov sa vyrába v stroji C. Stroj A plytvá 1% svojej produkcie, stroj A - 1,2 % a stroj C - 2 %. Zo všetkých vyrobených produktov bol náhodne vybraný jeden produkt. Aká je pravdepodobnosť, že je chybný?

Označme prípad, že vybraný dielec je vyrobený na stroji A, - na stroji B, - na stroji C. Označme D prípad, že vybraný dielec je chybný. Udalosti tvoria ucelenú skupinu udalostí. Podľa podmienok problému

Prednáška 4

Princíp praktickej nemožnosti nepravdepodobných udalostí

Ak má náhodná udalosť veľmi nízku pravdepodobnosť, potom môžeme prakticky predpokladať, že táto udalosť nenastane ani v jednom pokuse. Všetko závisí od konkrétnej úlohy. Ak je pravdepodobnosť, že sa padák neotvorí, 0,01, potom takýto padák nemožno použiť. Ak vlak mešká s pravdepodobnosťou 0,01, tak si môžete byť istý, že príde načas.

Dostatočne malá pravdepodobnosť, pri ktorej možno udalosť v danom probléme považovať za prakticky nemožnú, sa nazýva úroveň významnosti. V praxi sa zvyčajne akceptujú hladiny významnosti 0,01 až 0,05.

Ak má náhodná udalosť pravdepodobnosť veľmi blízku jednej, potom môžeme prakticky predpokladať, že táto udalosť nastane v jedinom pokuse.

Podmienená pravdepodobnosť

Produkt dvoch udalostí A A B udalosť nazývajte AB, spočívajúcu v spoločnom vystúpení (kombinácii) týchto udalostí. Napríklad ak A- diel je vhodný, IN- diel je potom natretý AB- diel je použiteľný a lakovaný.

Produkt viacerých udalostí nazvať udalosť pozostávajúcu zo spoločného výskytu všetkých týchto udalostí yy Napríklad ak A, B, C- objavenie sa „erbu“ v prvom, druhom a treťom hode mince, potom ABC- strata „erbu“ vo všetkých troch testoch.

V úvode je náhodná udalosť definovaná ako udalosť, ktorá, keď je splnená množina podmienok, S môže a nemusí sa stať.

Ak pri výpočte pravdepodobnosti udalosti nie sú uložené žiadne iné obmedzenia okrem podmienok S, potom sa takáto pravdepodobnosť nazývabezpodmienečné; ak sú uložené ďalšie dodatočné podmienky, potom sa volá pravdepodobnosť udalosti podmienené.

Často sa napríklad počíta pravdepodobnosť udalosti B pri dodatočná podmienkaže k udalosti došlo A. Bezpodmienečná pravdepodobnosť, prísne vzaté, je podmienená, pretože sa predpokladá splnenie podmienok S.

Podmienená pravdepodobnosť P A (B) alebo volajte pravdepodobnosť udalosti B, vypočítanú za predpokladu, že udalosť A už nastala

Vypočíta sa podmienená pravdepodobnosť podľa vzorca

Tento vzorec možno dokázať na základe klasickej definície pravdepodobnosti.

Príklad 3 V urne sú 3 biele a 3 čierne gule. Po jednej guľôčke sa z urny vyberie dvakrát bez toho, aby sa vymenili. Nájdite pravdepodobnosť výskytu bielej gule počas druhého pokusu (udalosť IN), ak bola pri prvom pokuse vytiahnutá čierna guľa (príp A).

Riešenie. Po prvom teste zostalo v urne 5 loptičiek, z toho 3 biele. Požadovaná podmienená pravdepodobnosť R A ( IN) = 3/5.

Rovnaký výsledok možno získať pomocou vzorca

R A ( IN) =P (AB)/P(A) ( P (A) > 0).

Pravdepodobnosť, že sa na prvom pokuse objaví biela guľa

P(A) = 3/6 =1/2.

Poďme nájsť pravdepodobnosť P(AB), že v prvom teste sa objaví čierna guľa av druhom - biela podľa vzorca (3.1). Celkový počet výsledky - spoločný vzhľad dvoch loptičiek bez ohľadu na farbu sa rovná počtu umiestnení = 6 5 = 30. Z tohto počtu výsledkov je udalosť AB uprednostňovaná 3 3 = 9 výsledkami. teda P (AB) =9/30 = 3/10.

Podmienená pravdepodobnosť P A ( IN) =P(AB)/R(A) = (3/10)/(1/2) = 3/5. Získal sa rovnaký výsledok.

Vzorec celkovej pravdepodobnosti vám umožňuje nájsť pravdepodobnosť udalosti A, ktorý sa môže vyskytnúť len pri každom z n vzájomne sa vylučujúce udalosti, ktoré tvoria ucelený systém, ak sú známe ich pravdepodobnosti a podmienené pravdepodobnosti diania A vzhľadom na každú zo systémových udalostí sú rovnaké.

Udalosti sa tiež nazývajú hypotézy; navzájom sa vylučujú. Preto v literatúre nájdete aj ich označenie nie podľa písmen B a list H(hypotéza).

Na vyriešenie problémov s takýmito podmienkami je potrebné zvážiť 3, 4, 5 alebo vo všeobecnom prípade n možnosť výskytu udalosti A- s každou udalosťou.

Pomocou viet o sčítaní a násobení pravdepodobností získame súčet súčinov pravdepodobnosti každej z udalostí systému podľa podmienená pravdepodobnosť diania A o každej udalosti systému. Teda pravdepodobnosť udalosti A možno vypočítať pomocou vzorca

alebo všeobecne

,

ktorá sa volá vzorec celkovej pravdepodobnosti .

Vzorec celkovej pravdepodobnosti: príklady riešenia problému

Príklad 1 Sú tam tri identicky vyzerajúce urny: prvá má 2 biele gule a 3 čierne, druhá má 4 biele a jednu čiernu, tretia má tri biele gule. Niekto sa náhodne priblíži k jednej z urien a vyberie z nej jednu loptičku. Využiť vzorec celkovej pravdepodobnosti, nájdite pravdepodobnosť, že táto guľa bude biela.

Riešenie. Udalosť A- vzhľad bielej gule. Predkladáme tri hypotézy:

Vyberie sa prvá urna;

Vyberie sa druhá urna;

Vyberie sa tretia urna.

Podmienené pravdepodobnosti udalosti A o každej z hypotéz:

, , .

Použijeme vzorec celkovej pravdepodobnosti, výsledkom čoho je požadovaná pravdepodobnosť:

.

Príklad 2 V prvom závode sa z každých 100 žiaroviek vyrobí v priemere 90 štandardných žiaroviek, v druhom - 95, v treťom - 85 a výrobky týchto závodov tvoria 50 %, 30 % resp. 20 % všetkých žiaroviek dodaných do obchodov v určitej oblasti. Zistite pravdepodobnosť nákupu štandardnej žiarovky.

Riešenie. Označme pravdepodobnosť nákupu štandardnej žiarovky podľa A a udalosti, že zakúpená žiarovka bola vyrobená v prvej, druhej a tretej továrni, resp. Podľa podmienky sú známe pravdepodobnosti týchto udalostí: , , a podmienené pravdepodobnosti udalosti A o každom z nich: , , . Toto sú pravdepodobnosť nákupu štandardnej žiarovky za predpokladu, že bola vyrobená v prvom, druhom a treťom závode.

Udalosť A nastane, ak dôjde k udalosti K- žiarovka je vyrobená v prvom závode a je štandardná, alebo event L- žiarovka sa vyrába v druhom závode a je štandardná, alebo event M- žiarovka bola vyrobená v treťom závode a je štandardná. Ďalšie možnosti udalosti A Nie Preto udalosť A je súhrn udalostí K, L A M, ktoré sú nezlučiteľné. Pomocou vety o sčítaní pravdepodobnosti si predstavíme pravdepodobnosť udalosti A ako

a vetou o násobení pravdepodobnosti dostaneme

teda špeciálny prípad vzorca celkovej pravdepodobnosti.

Nahradením hodnôt pravdepodobnosti na ľavej strane vzorca získame pravdepodobnosť udalosti A :

Príklad 3 Lietadlo pristáva na letisku. Ak to počasie dovolí, pilot pristáva s lietadlom, pričom okrem prístrojov využíva aj vizuálne pozorovanie. V tomto prípade sa pravdepodobnosť bezpečného pristátia rovná . Ak je letisko pokryté nízkou oblačnosťou, potom pilot pristáva s lietadlom, vedený iba prístrojmi. V tomto prípade sa pravdepodobnosť bezpečného pristátia rovná; . Zariadenia, ktoré poskytujú slepé pristátie, sú spoľahlivé (pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky) P. V prítomnosti nízkej oblačnosti a neúspešných slepých pristávacích prístrojov je pravdepodobnosť úspešného pristátia rovná; . Štatistiky ukazujú, že v k% pristátí je letisko pokryté nízkou oblačnosťou. Nájsť celková pravdepodobnosť udalosti A- bezpečné pristátie lietadla.

Riešenie. hypotézy:

Nie je tam nízka oblačnosť;

Je nízka oblačnosť.

Pravdepodobnosť týchto hypotéz (udalostí):

;

Podmienená pravdepodobnosť.

Podmienenú pravdepodobnosť opäť nájdeme pomocou vzorca celkovej pravdepodobnosti s hypotézami

Slepé pristávacie zariadenia sú funkčné;

Slepé pristávacie prístroje zlyhali.

Pravdepodobnosť týchto hypotéz:

Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti

Príklad 4. Zariadenie môže pracovať v dvoch režimoch: normálny a abnormálny. Normálny režim sa pozoruje v 80% všetkých prípadov prevádzky zariadenia a abnormálny režim - v 20% prípadov. Pravdepodobnosť zlyhania zariadenia v určitom čase t rovná 0,1; v abnormálnych 0,7. Nájsť plná pravdepodobnosť zlyhanie zariadenia v priebehu času t.

Riešenie. Opäť označujeme pravdepodobnosť zlyhania zariadenia prostredníctvom A. Takže pokiaľ ide o prevádzku zariadenia v každom režime (udalosti), pravdepodobnosti sú známe podľa podmienky: pre normálny režim je to 80% (), pre abnormálny režim - 20% (). Pravdepodobnosť udalosti A(to znamená zlyhanie zariadenia) v závislosti od prvej udalosti (normálny režim) sa rovná 0,1 (); v závislosti od druhej udalosti (abnormálny režim) - 0,7 ( ). Tieto hodnoty dosadíme do vzorca celkovej pravdepodobnosti (tj súčtu súčinov pravdepodobnosti každej udalosti systému podmienenou pravdepodobnosťou udalosti A ohľadom každej udalosti systému) a pred nami je požadovaný výsledok.