धनात्मक संख्याओं का गुणा और भाग एक नियम है। विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं का विभाजन: नियम और उदाहरण

इस लेख में, हम एक ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने की परिभाषा देंगे, एक नियम बनाएँगे और उसका औचित्य सिद्ध करेंगे, ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण देंगे और उनके समाधान की प्रक्रिया का विश्लेषण करेंगे।

ऋणात्मक संख्याओं का विभाजन। नियम

आइए हम डिवीजन ऑपरेशन के सार को याद करें। यह क्रिया एक ज्ञात उत्पाद और एक ज्ञात अन्य गुणक द्वारा अज्ञात गुणक को खोजने के लिए है। संख्या c को संख्याओं a और b के विभाजन का भागफल कहा जाता है, यदि गुणनफल c · b = a सत्य है। इसके अलावा, ए बी = सी।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियम

एक ऋणात्मक संख्या को दूसरी ऋणात्मक संख्या से भाग देने वाला भागफल इन संख्याओं के निरपेक्ष मानों को भाग देने वाले भागफल के बराबर होता है।

मान लीजिए a और b ऋणात्मक संख्याएँ हैं। फिर

ए बी = ए ÷ बी।

यह नियम दो ऋणात्मक संख्याओं के विभाजन को धनात्मक संख्याओं के विभाजन में घटा देता है। यह न केवल पूर्णांकों के लिए, बल्कि परिमेय और वास्तविक संख्याओं के लिए भी सत्य है। एक ऋणात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने का परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होता है।

यहाँ इस नियम का एक और सूत्रीकरण है, जो परिमेय और वास्तविक संख्याओं के लिए उपयुक्त है। यह पारस्परिक संख्याओं का उपयोग करके दिया जाता है और पढ़ता है: एक ऋणात्मक संख्या को अपरिभाषित संख्या से विभाजित करने के लिए, संख्या बी -1 से गुणा करें, बी का पारस्परिक।

ए बी = ए बी -1।

वही नियम, जो भाग को गुणा में घटाता है, विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को विभाजित करने के लिए भी इस्तेमाल किया जा सकता है।

समानता a b = a b - 1 को वास्तविक संख्याओं के गुणन के गुण और परस्पर प्रतिलोम संख्याओं की परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। आइए समानताएं लिखें:

ए बी - 1 बी = ए बी - 1 बी = ए 1 = ए।

विभाजन संक्रिया की परिभाषा के आधार पर, यह समानता यह सिद्ध करती है कि किसी संख्या को किसी संख्या b से भाग देने पर एक भागफल होता है।
आइए उदाहरणों की जांच के लिए आगे बढ़ें।

आइए साधारण मामलों से शुरू करें और अधिक जटिल मामलों की ओर बढ़ें।

उदाहरण 1. ऋणात्मक संख्याओं को कैसे विभाजित करें

भाग - 18 से - 3।
भाजक और भाज्य का गुणांक क्रमशः 3 और 18 है। आइए लिखते हैं:

18 एच - 3 = - 18 एच - 3 = 18 एच 3 = 6।

उदाहरण 2. ऋणात्मक संख्याओं को कैसे विभाजित करें

विभाजित करें - 5 से - 2।
इसी तरह, हम नियम के अनुसार लिखते हैं:

5 - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2.

यदि हम नियम के दूसरे सूत्रीकरण का प्रयोग पारस्परिक रूप से करते हैं तो वही परिणाम प्राप्त होगा।

5 - 2 = - 5 · - 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2.

परिमेय भिन्नों को विभाजित करके उन्हें साधारण भिन्नों के रूप में निरूपित करना सबसे सुविधाजनक होता है। हालाँकि, अंतिम दशमलव अंशों को भी विभाजित किया जा सकता है।

उदाहरण 3. ऋणात्मक संख्याओं को कैसे विभाजित करें

विभाजित करें - 0.004 द्वारा - 0.25।

सबसे पहले, हम इन नंबरों के मॉड्यूल लिखते हैं: 0, 004 और 0, 25।

अब आप दो तरीकों में से एक चुन सकते हैं:

1. दशमलव भिन्नों को अनुदैर्ध्य रूप से विभाजित करें।
2. भिन्नों पर जाएं और विभाजित करें।

आइए दोनों विधियों को देखें।

1. दशमलव भिन्नों का कॉलम विभाजन करते हुए, अल्पविराम को दो अंकों के दाईं ओर ले जाएँ।

उत्तर :- 0.004 0.25 = 0.016

2. अब हम दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्न में बदलने के साथ समाधान देते हैं।

0.004 = 4 1000; 0.25 = 25 100 0.004 ÷ 0.25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 100 25 = 4 250 = 0.016

परिणाम एक ही हैं।

अंत में, हम ध्यान दें कि यदि लाभांश और भाजक अपरिमेय संख्याएं हैं और जड़ों, शक्तियों, लघुगणक, आदि के रूप में निर्दिष्ट हैं, तो विभाजन का परिणाम एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाता है, जिसका अनुमानित मूल्य यदि आवश्यक हो तो गणना की जाती है।

उदाहरण 4. ऋणात्मक संख्याओं को कैसे विभाजित करें

आइए संख्याओं - 0, 5 और - 5 को विभाजित करने के भागफल की गणना करें।

0.5 - 5 = - 0.5 - 5 = 0.5 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10।

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इस लेख में, हम ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम बनाएँगे और समझाएँगे। ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने की प्रक्रिया पर विस्तार से चर्चा की जाएगी। उदाहरण सभी संभावित मामलों को दिखाते हैं।

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करना

परिभाषा 1

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियमयह है कि दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल को गुणा करना होगा। यह नियम इस प्रकार लिखा गया है: किसी भी ऋणात्मक संख्या - a, - b के लिए, यह समानता सत्य मानी जाती है।

(- ए) (- बी) = ए बी।

ऊपर दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम है। इसके आधार पर, हम व्यंजक सिद्ध करते हैं: (- a) (- b) = a b। विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं का लेख गुणन बताता है कि समानताएँ a (- b) = - a b उचित हैं, साथ ही (- a) b = - a b। यह विपरीत संख्याओं के गुण से इस प्रकार निकलता है, जिसके कारण समानताएँ इस प्रकार लिखी जाएँगी:

(- a) (- b) = (- a (- b)) = - (- (a b)) = a b।

यहां आप ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम का प्रमाण स्पष्ट रूप से देख सकते हैं। उदाहरणों के आधार पर, यह स्पष्ट है कि दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल एक धनात्मक संख्या होती है। संख्याओं के निरपेक्ष मानों को गुणा करते समय, परिणाम हमेशा एक सकारात्मक संख्या होता है।

यह नियम वास्तविक संख्याओं, परिमेय संख्याओं और पूर्ण संख्याओं के गुणन पर लागू होता है।

अब आइए दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के उदाहरणों पर करीब से नज़र डालें। गणना करते समय, आपको ऊपर लिखे नियम का उपयोग करना चाहिए।

उदाहरण 1

संख्याओं को गुणा करें - 3 और - 5।

समाधान।

मोडुलो डेटा गुणा किया जा रहा है, दो संख्याएं सकारात्मक संख्या 3 और 5 के बराबर हैं। उनके उत्पाद का परिणाम 15 होता है। यह इस प्रकार है कि दी गई संख्याओं का गुणनफल 15 . है

आइए हम संक्षेप में ऋणात्मक संख्याओं के गुणन को ही लिखें:

(- 3) (- 5) = 3 5 = 15

उत्तर: (- 3) (- 5) = 15.

नकारात्मक परिमेय संख्याओं को गुणा करते समय, विश्लेषण किए गए नियम को लागू करते हुए, आप अंशों को गुणा करने, मिश्रित संख्याओं को गुणा करने, दशमलव अंशों को गुणा करने के लिए स्वयं को जुटा सकते हैं।

उदाहरण 2

उत्पाद की गणना करें (- 0, 125) · (- 6)।

समाधान।

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम का प्रयोग करते हुए, हम पाते हैं कि (- 0, 125) (- 6) = 0, 125 6. परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको दशमलव अंश को स्तंभों की प्राकृतिक संख्या से गुणा करना होगा। यह इस तरह दिख रहा है:

हमने पाया कि व्यंजक (- 0, 125) · (- 6) = 0, 125 · 6 = 0.75 का रूप लेगा।

उत्तर: (- 0, 125) (- 6) = 0, 75।

यदि गुणनखंड अपरिमेय संख्याएँ हैं, तो उनके गुणनफल को संख्यात्मक व्यंजक के रूप में लिखा जा सकता है। आवश्यकता होने पर ही मूल्य की गणना की जाती है।

उदाहरण 3

ऋणात्मक - 2 को गैर-ऋणात्मक लघुगणक 5 1 3 से गुणा करना आवश्यक है।

समाधान

हमें दी गई संख्याओं के मॉड्यूल मिलते हैं:

2 = 2 और लघुगणक 5 1 3 = - लघुगणक 5 3 = लघुगणक 5 3।

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियमों का पालन करते हुए, हमें परिणाम मिलता है - 2 · लॉग 5 1 3 = - 2 · लॉग 5 3 = 2 · लॉग 5 3। यह अभिव्यक्ति उत्तर है।

उत्तर: - 2 लघुगणक 5 1 3 = - 2 लघुगणक 5 3 = 2 लघुगणक 5 3.

विषय का अध्ययन जारी रखने के लिए, आपको वास्तविक संख्याओं को गुणा करने वाले अनुभाग को दोहराना होगा।

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§ 1 धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का गुणन

इस पाठ में हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को गुणा और भाग करने के नियमों से परिचित होंगे।

यह ज्ञात है कि किसी भी उत्पाद को समान शब्दों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

पद -1 को 6 बार जोड़ने की आवश्यकता है:

(-1)+(-1)+(-1) +(-1) +(-1) + (-1) =-6

तो -1 और 6 का गुणनफल -6 के बराबर है।

संख्याएँ 6 और -6 विपरीत संख्याएँ हैं।

इस प्रकार, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

जब आप -1 को किसी प्राकृत संख्या से गुणा करते हैं, तो आपको विपरीत संख्या प्राप्त होती है।

ऋणात्मक संख्याओं के साथ-साथ धनात्मक संख्याओं के लिए, गुणन का विस्थापन नियम पूरा होता है:

यदि किसी प्राकृत संख्या को -1 से गुणा किया जाए तो विपरीत संख्या भी प्राप्त होगी।

जब आप किसी गैर-ऋणात्मक संख्या को 1 से गुणा करते हैं, तो आपको वही संख्या प्राप्त होती है।

उदाहरण के लिए:

ऋणात्मक संख्याओं के लिए, यह कथन भी सत्य है: -5 1 = -5; -2 1 = -2।

जब आप किसी संख्या को 1 से गुणा करते हैं तो आपको वही संख्या प्राप्त होती है।

हम पहले ही देख चुके हैं कि किसी प्राकृत संख्या से ऋणात्मक 1 को गुणा करने पर विपरीत संख्या प्राप्त होती है। ऋणात्मक संख्या को गुणा करने पर यह कथन भी सत्य होता है।

उदाहरण के लिए: (-1) (-4) = 4।

साथ ही -1 0 = 0, संख्या 0 स्वयं के विपरीत है।

जब आप किसी संख्या को माइनस 1 से गुणा करते हैं, तो आपको विपरीत संख्या प्राप्त होती है।

आइए गुणन के अन्य मामलों पर चलते हैं। संख्याओं -3 और 7 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

-3 के ऋणात्मक गुणनखंड को -1 और 3 के गुणनफल से बदला जा सकता है। तब गुणन का संयोजन नियम लागू किया जा सकता है:

1 21 = -21, यानी। माइनस 3 और 7 का गुणनफल माइनस 21 के बराबर है।

दो संख्याओं को अलग-अलग संकेतों से गुणा करने पर, एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, जिसका मापांक कारकों के मापांक के गुणनफल के बराबर होता है।

और समान चिन्हों वाली संख्याओं का गुणनफल किसके बराबर होगा?

हम जानते हैं कि जब आप दो धनात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो आपको एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है। दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

किसी एक कारक को माइनस 1 के गुणनखंड वाले उत्पाद से बदलें।

हम अपना नियम लागू करते हैं, दो संख्याओं को अलग-अलग चिह्नों से गुणा करने पर एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, जिसका मापांक गुणनखंडों के गुणनफल के बराबर होता है,

आपको -80 मिलता है।

आइए एक नियम बनाएं:

जब समान चिन्ह वाली दो संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, जिसका मापांक गुणनखंडों के मापांक के गुणनफल के बराबर होता है।

§ 2 धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का विभाजन

चलो विभाजन पर चलते हैं।

चयन द्वारा, हम निम्नलिखित समीकरणों के मूल ज्ञात करते हैं:

y (-2) = 10. 5 2 = 10, तो x = 5; 5 (-2) = -10, तो a = 5; -5 (-2) = 10, तो y = -5।

आइए समीकरणों के हल लिखें। प्रत्येक समीकरण में कारक अज्ञात है। हम ज्ञात कारक द्वारा उत्पाद को विभाजित करके अज्ञात कारक पाते हैं; हम पहले ही अज्ञात कारकों के मूल्यों का चयन कर चुके हैं।

आइए विश्लेषण करें।

समान संकेतों के साथ संख्याओं को विभाजित करते समय (और ये पहले और दूसरे समीकरण हैं), एक सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है, जिसका मापांक भाज्य और भाजक के मापांक के भागफल के बराबर होता है।

विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को विभाजित करते समय (यह तीसरा समीकरण है), एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, जिसका मापांक भाज्य और भाजक के मापांक के भागफल के बराबर होता है। वे। जब धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित किया जाता है, तो भागफल चिह्न उसी नियम के अनुसार निर्धारित किया जाता है जिस प्रकार उत्पाद चिह्न होता है। और भागफल का मापांक भाज्य और भाजक के मापांक के भागफल के बराबर होता है।

इस प्रकार, हमने सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को गुणा और विभाजित करने के लिए नियम तैयार किए हैं।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. गणित। ग्रेड 6: पाठ्यपुस्तक II के लिए पाठ योजनाएँ। जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच // एल.ए. द्वारा संकलित। टोपिलिन। - निमोसिन, 2009।
2. गणित। ग्रेड 6: शिक्षण संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक। आई.आई. जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच। - एम।: निमोसिना, 2013।
3. गणित। ग्रेड 6: शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक। / एन। हां। विलेनकिन, वी.आई. झोखोव, ए.एस. चेस्नोकोव, एस.आई. श्वार्जबर्ड। - एम।: निमोसिना, 2013।
4. गणित संदर्भ - http://lyudmilanik.com.ua
5. हाई स्कूल के छात्रों के लिए हैंडबुक http://shkolo.ru

यह लेख का विस्तृत अवलोकन प्रदान करता है विभिन्न चिन्हों के साथ संख्याओं का विभाजन... सबसे पहले, संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने का एक नियम है। नीचे धनात्मक संख्याओं को ऋणात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को धनात्मक से विभाजित करने के उदाहरण दिए गए हैं।

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विभिन्न चिन्हों से संख्याओं को विभाजित करने का नियम

पूर्णांकों को विभाजित करने वाले लेख में पूर्णांकों को भिन्न-भिन्न चिह्नों से विभाजित करने का नियम प्राप्त किया गया था। उपरोक्त आलेख के सभी तर्कों को दोहराकर इसे परिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं दोनों तक बढ़ाया जा सकता है।

इसलिए, विभिन्न चिन्हों से संख्याओं को विभाजित करने का नियमनिम्नलिखित सूत्रीकरण है: एक धनात्मक संख्या को ऋणात्मक या ऋणात्मक संख्या से धनात्मक संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के मापांक द्वारा लाभांश को विभाजित करना होगा, और परिणामी संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा।

आइए इस विभाजन नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखें। यदि संख्याओं a और b के अलग-अलग चिह्न हैं, तो निम्न सूत्र मान्य है ए: बी = - | ए |: | बी | .

बताए गए नियम से यह स्पष्ट है कि संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने का परिणाम ऋणात्मक संख्या है। वास्तव में, चूंकि भाजक का मापांक और भाजक का मापांक संख्या से अधिक धनात्मक होता है, तो उनका भागफल एक धनात्मक संख्या होती है, और ऋण चिह्न इस संख्या को ऋणात्मक बनाता है।

ध्यान दें कि माना गया नियम सकारात्मक संख्याओं के विभाजन के लिए विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं के विभाजन को कम करता है।

आप अलग-अलग संकेतों के साथ संख्याओं को विभाजित करने के लिए नियम का एक और सूत्रीकरण दे सकते हैं: संख्या a को संख्या b से विभाजित करने के लिए, आपको संख्या a को संख्या b −1, संख्या b के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा। अर्थात्, ए: बी = ए बी -1 .

इस नियम का उपयोग तब किया जा सकता है जब पूर्णांकों के समुच्चय से आगे जाना संभव हो (क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक का व्युत्क्रम नहीं होता है)। दूसरे शब्दों में, यह परिमेय संख्याओं के समुच्चय के साथ-साथ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर भी लागू होता है।

यह स्पष्ट है कि संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने का यह नियम आपको भाग से गुणा तक जाने की अनुमति देता है।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करते समय भी यही नियम लागू होता है।

यह विचार करना बाकी है कि उदाहरणों को हल करते समय संख्याओं को विभिन्न संकेतों से विभाजित करने का यह नियम कैसे लागू होता है।

विभिन्न चिन्हों से संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण

कई विशिष्ट के समाधान पर विचार करें विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं के विभाजन के उदाहरणपिछले पैराग्राफ से नियमों को लागू करने के सिद्धांत को जानने के लिए।

उदाहरण।

ऋणात्मक संख्या −35 को धनात्मक संख्या 7 से भाग दें।

समाधान।

संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने का नियम यह निर्धारित करता है कि आप पहले लाभांश और भाजक के मॉड्यूल खोजें। -35 का मापांक 35 है, और 7 का मापांक 7 है। अब हमें भाजक के मापांक से भाजक के मापांक को विभाजित करने की आवश्यकता है, अर्थात हमें 35 को 7 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह याद करते हुए कि प्राकृत संख्याओं का विभाजन कैसे किया जाता है, हमें 35:7 = 5 प्राप्त होता है। विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं को विभाजित करने के नियम का अंतिम चरण रहता है - परिणामी संख्या के सामने एक माइनस रखें, हमारे पास -5 है।

ये है पूरा समाधान:.

संख्याओं को भिन्न-भिन्न चिह्नों से विभाजित करने के नियम के भिन्न-भिन्न सूत्रीकरण से आगे बढ़ना संभव था। इस स्थिति में, हम पहले भाजक 7 का व्युत्क्रम ज्ञात करते हैं। यह संख्या सार्व भिन्न 1/7 है। इस तरह, । यह विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं का गुणन करना बाकी है:। जाहिर है, हम एक ही परिणाम पर पहुंचे।

उत्तर:

(−35):7=−5 .

उदाहरण।

भागफल 8 की गणना करें: (- 60)।

समाधान।

विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को विभाजित करने के नियम से, हमारे पास है 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) ... परिणामी अभिव्यक्ति एक नकारात्मक साधारण अंश से मेल खाती है (विभाजन चिह्न को एक अंश की रेखा के रूप में देखें), आप अंश को 4 से कम कर सकते हैं, हम प्राप्त करते हैं .

आइए संक्षेप में संपूर्ण समाधान लिखें:।

उत्तर:

.

भिन्नात्मक परिमेय संख्याओं को विभिन्न संकेतों से विभाजित करते समय, उनके लाभांश और भाजक को आमतौर पर साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि किसी अन्य अंकन में संख्याओं के साथ विभाजन करना हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है (उदाहरण के लिए, दशमलव में)।

उदाहरण।

समाधान।

लाभांश का मापांक बराबर है, और भाजक का मापांक 0, (23) है। भाजक के मापांक द्वारा विभाज्य के मापांक को विभाजित करने के लिए, हम साधारण भिन्नों की ओर मुड़ते हैं।

आइए मिश्रित संख्या का एक साधारण अंश में अनुवाद करें: , साथ ही साथ

खुला पाठ विषय: "ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं का गुणन"

दिनांक: 17.03.2017

शिक्षक: वी.वी. कुत्सो

कक्षा: 6 ग्राम

पाठ का उद्देश्य और उद्देश्य:

दो ऋणात्मक संख्याओं और संख्याओं को भिन्न चिह्नों से गुणा करने के नियमों का परिचय दे सकेंगे;

गणितीय भाषण, कार्यशील स्मृति, स्वैच्छिक ध्यान, दृश्य-सक्रिय सोच के विकास को बढ़ावा देना;

बौद्धिक, व्यक्तिगत, भावनात्मक विकास की आंतरिक प्रक्रियाओं का गठन।

ललाट कार्य, व्यक्तिगत और समूह कार्य में व्यवहार की संस्कृति को बढ़ावा देना।

पाठ प्रकार: नए ज्ञान की प्राथमिक प्रस्तुति में एक पाठ

प्रशिक्षण के रूप: ललाट, जोड़े में काम, समूहों में काम, व्यक्तिगत काम।

शिक्षण विधियों: मौखिक (बातचीत, संवाद); दृश्य (उपदेशात्मक सामग्री के साथ काम); निगमनात्मक (विश्लेषण, ज्ञान का अनुप्रयोग, सामान्यीकरण, परियोजना गतिविधियाँ)।

अवधारणाएं और शर्तें : मापांक संख्या, धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ, गुणन।

नियोजित परिणाम सीख रहा हूँ

-विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को गुणा करने में सक्षम हों, ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करें;

अभ्यासों को हल करते समय धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम लागू करें, दशमलव और साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियमों को समेकित करें।

नियामक - शिक्षक की सहायता से पाठ में लक्ष्य को परिभाषित और तैयार करने में सक्षम हो; पाठ में क्रियाओं के क्रम का उच्चारण करना; सामूहिक रूप से तैयार योजना के अनुसार काम करना; कार्रवाई की शुद्धता का मूल्यांकन करें। कार्य के अनुसार अपनी कार्रवाई की योजना बनाएं; इसके मूल्यांकन के आधार पर और की गई गलतियों को ध्यान में रखते हुए कार्रवाई के पूरा होने के बाद आवश्यक समायोजन करें; अपना अनुमान लगाएं।संचारी - अपने विचारों को मौखिक रूप से तैयार करने में सक्षम हो; दूसरों के भाषण को सुनें और समझें; स्कूल में आचरण और संचार के नियमों पर संयुक्त रूप से सहमत हों और उनका पालन करें।

संज्ञानात्मक - अपने ज्ञान की प्रणाली में नेविगेट करने में सक्षम हो, शिक्षक की मदद से पहले से ज्ञात नए ज्ञान को अलग करने के लिए; नया ज्ञान प्राप्त करें; पाठ्यपुस्तक, अपने जीवन के अनुभव और पाठ में प्राप्त जानकारी का उपयोग करके प्रश्नों के उत्तर खोजें।

नई चीजें सीखने की प्रेरणा के आधार पर सीखने के लिए एक जिम्मेदार दृष्टिकोण का गठन;

शैक्षिक गतिविधियों में साथियों के साथ संचार और सहयोग की प्रक्रिया में संचार क्षमता का गठन;

शैक्षिक गतिविधियों की सफलता की कसौटी के आधार पर स्व-मूल्यांकन करने में सक्षम हो; शैक्षिक गतिविधियों में सफलता पर ध्यान दें।

कक्षाओं के दौरान

पाठ के संरचनात्मक तत्व

उपदेशात्मक कार्य

अनुमानित शिक्षक गतिविधि

अनुमानित छात्र गतिविधियाँ

परिणाम

1.संगठनात्मक क्षण

सफल गतिविधि के लिए प्रेरणा

पाठ के लिए तत्परता की जाँच करना।

- शुभ दोपहर मित्रों! कृपया विराजें! जांचें कि क्या पाठ के लिए सब कुछ तैयार है: नोटबुक और पाठ्यपुस्तक, डायरी और लेखन सामग्री।

आज पाठ में आपको अच्छे मूड में देखकर मुझे खुशी हो रही है।

एक-दूसरे की आंखों में देखें, मुस्कुराएं, आंखों से अपने दोस्त के काम करने के अच्छे मूड की कामना करें।

मैं आज भी आपके अच्छे काम की कामना करता हूं।

दोस्तों, आज के पाठ का आदर्श वाक्य फ्रांसीसी लेखक अनातोले फ्रांस का एक उद्धरण होगा:

"सीखना केवल मजेदार हो सकता है। ज्ञान को पचाने के लिए उसे भूख से आत्मसात करना चाहिए।"

दोस्तों, मुझे कौन बता सकता है कि भूख से ज्ञान को अवशोषित करने का क्या मतलब है?

तो आज के पाठ में हम बड़े मजे से ज्ञान को आत्मसात करेंगे, क्योंकि वे भविष्य में हमारे काम आएंगे।

इसलिए, बल्कि, हम नोटबुक खोलते हैं और संख्या लिखते हैं, बहुत अच्छा काम।

भावनात्मक रवैया

- रुचि के साथ, आनंद के साथ।

एक सबक शुरू करने की इच्छा

एक नया विषय सीखने के लिए सकारात्मक प्रेरणा

2. संज्ञानात्मक गतिविधि का सक्रियण

उन्हें नए ज्ञान और क्रिया के तरीकों को आत्मसात करने के लिए तैयार करें।

कवर की गई सामग्री के आधार पर एक ललाट सर्वेक्षण का आयोजन करें।

दोस्तों, मुझे कौन बता सकता है कि गणित में सबसे महत्वपूर्ण कौशल क्या है? ( जाँच) सही।

अब मैं आपकी जाँच करूँगा कि आप कितनी अच्छी तरह गिन सकते हैं।

अब हम आपके साथ गणितीय अभ्यास करेंगे।

हम हमेशा की तरह काम करते हैं, मौखिक रूप से गिनते हैं और उत्तर लिखित में लिखते हैं। मैं आपको 1 मिनट देता हूं।

5,2-6,7=-1,5

2,9+0,3=-2,6

9+0,3=9,3

6+7,21=13,21

15,22-3,34=-18,56

आइए उत्तरों की जांच करें।

हम उत्तरों की जाँच करेंगे, यदि आप उत्तर से सहमत हैं, तो ताली बजाएँ, यदि आप नहीं मानते हैं, तो अपने पैरों पर मुहर लगाएँ।

अच्छा किया लड़कों।

मुझे बताओ, हमने संख्याओं के साथ क्या कार्रवाई की?

चालान करते समय हमने किस नियम का उपयोग किया?

इन नियमों को तैयार करें।

छोटे-छोटे उदाहरण हल करके प्रश्नों के उत्तर दें।

जोड़ना और घटाना।

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याएँ जोड़ें, ऋणात्मक चिह्नों वाली संख्याएँ जोड़ें और धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को घटाएँ।

समस्या को हल करने के तरीके खोजने के लिए छात्रों की एक समस्यात्मक प्रश्न पूछने की तत्परता।

3. पाठ का विषय और उद्देश्य निर्धारित करने के लिए प्रेरणा

पाठ के विषय और उद्देश्य को तैयार करने के लिए छात्रों को प्रोत्साहित करें।

जोड़े में काम व्यवस्थित करें।

खैर, यह नई सामग्री सीखने का समय है, लेकिन पहले, आइए पिछले पाठों की सामग्री की समीक्षा करें। एक गणित पहेली पहेली इसमें हमारी मदद करेगी।

लेकिन यह पहेली पहेली सामान्य नहीं है, इसमें एक एन्क्रिप्टेड कीवर्ड है जो हमें आज के पाठ का विषय बताएगा।

दोस्तों, क्रॉसवर्ड पजल आपकी टेबल पर है, हम इसके साथ जोड़ियों में काम करेंगे। और एक बार जोड़े में, फिर मुझे याद दिलाएं कि यह जोड़े में कैसा है?

हमें जोड़े में काम करने का नियम याद था, लेकिन अब हम वर्ग पहेली को हल करना शुरू कर रहे हैं, मैं आपको 1.5 मिनट देता हूं। सब कुछ कौन करेगा, मेरे देखने के लिए कलम नीचे रखो।

(परिशिष्ट 1)

1. गिनती के लिए किन संख्याओं का प्रयोग किया जाता है?

2. मूल बिन्दु से किसी बिन्दु तक की दूरी कहलाती है?

3. क्या संख्याओं को भिन्न द्वारा निरूपित किया जाता है?

4. दो संख्याएँ जो केवल चिन्हों में एक दूसरे से भिन्न होती हैं, कहलाती हैं?

5. निर्देशांक रेखा पर शून्य के दाईं ओर कौन-सी संख्याएँ हैं?

6. प्राकृत संख्याएँ, विपरीत संख्याएँ और शून्य कहलाते हैं?

7. किस संख्या को उदासीन कहा जाता है?

8. एक सीधी रेखा पर किसी बिंदु की स्थिति दर्शाने वाली संख्या?

9. निर्देशांक रेखा पर शून्य के बाईं ओर कौन-सी संख्याएँ हैं?

तो समय हो गया है। चलो जांचते हैं।

हमने पूरी पहेली पहेली को हल कर लिया है और इस प्रकार पिछले पाठों की सामग्री को दोहराया है। हाथ उठाओ, किसने सिर्फ एक गलती की और किसने दो? (तो तुम लोग महान हो)।

खैर, अब हम अपनी पहेली पहेली पर वापस आते हैं। शुरुआत में, मैंने कहा था कि इसमें एक एन्क्रिप्टेड शब्द है जो हमें पाठ का विषय बताएगा।

तो हमारे पाठ का विषय क्या है?

और आज हम आपके साथ क्या गुणा करने जा रहे हैं?

आइए सोचते हैं, इसके लिए हम उन संख्याओं के प्रकारों को याद करते हैं जिन्हें हम पहले से जानते हैं।

आइए सोचें, हम पहले से ही किन संख्याओं को गुणा कर सकते हैं?

आज हम किन संख्याओं को गुणा करना सीखेंगे?

पाठ का विषय एक नोटबुक में लिखें: "सकारात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का गुणन।"

तो, दोस्तों, हमें पता चला कि आज हम पाठ में किस बारे में बात करने जा रहे हैं।

कृपया मुझे हमारे पाठ का उद्देश्य बताएं, आप में से प्रत्येक को क्या सीखना चाहिए और पाठ के अंत तक आपको क्या सीखने का प्रयास करना चाहिए?

दोस्तों, इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए हमें आपके साथ कौन से कार्य हल करने होंगे?

बिलकुल सही। ये दो कार्य हैं जिन्हें आज हमें आपके साथ हल करना होगा।

वे जोड़ियों में काम करते हैं, पाठ का विषय और उद्देश्य निर्धारित करते हैं।

1.Natural

2.मॉड्यूल

3. तर्कसंगत

4.विपरीत

5. सकारात्मक

6. पूर्णांक

7. जीरो

8.समन्वय

9. नकारात्मक

- "गुणा"

सकारात्मक और नकारात्मक संख्या

"सकारात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का गुणन"

पाठ का उद्देश्य:

सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को गुणा करना सीखें

सबसे पहले, सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने का तरीका जानने के लिए, आपको एक नियम प्राप्त करने की आवश्यकता है।

दूसरा, जब हमें नियम मिल जाए, तो हमें आगे क्या करना चाहिए? (उदाहरणों को हल करते समय इसे लागू करना सीखें)।

4. नया ज्ञान और अभिनय के तरीके सीखना

विषय पर नए ज्ञान में महारत हासिल करें।

- समूह कार्य को व्यवस्थित करें (नई सामग्री सीखना)

- अब, अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, हम पहले कार्य के लिए आगे बढ़ेंगे, सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने का नियम प्राप्त करेंगे।

और शोध कार्य इसमें हमारी मदद करेगा। और मुझे कौन बताएगा कि इसे शोध क्यों कहा जाता है? - इस काम में हम "सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं का गुणन" नियमों की खोज के लिए जांच करेंगे।

आपका शोध कार्य समूहों में होगा, कुल मिलाकर हमारे पास 5 शोध समूह होंगे।

उन्होंने मेरे दिमाग में दोहराया कि हमें एक समूह में कैसे काम करना चाहिए। अगर कोई भूल गया है तो नियम आपके सामने स्क्रीन पर हैं।

आपके शोध कार्य का उद्देश्य: कार्यों की खोज करते हुए, कार्य संख्या 2 में "नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं का गुणन" नियम को धीरे-धीरे घटाएं, कार्य संख्या 1 में आपके पास कुल 4 कार्य हैं। और इन समस्याओं को हल करने के लिए, हमारे थर्मामीटर इसमें आपकी मदद करेंगे, प्रत्येक समूह में एक है।

अपने सभी नोट्स एक कागज के टुकड़े पर बना लें।

जैसे ही समूह के पास पहली समस्या का समाधान होता है, आप उसे बोर्ड पर दिखाते हैं।

आपको काम करने के लिए 5-7 मिनट दिए जाते हैं।

(परिशिष्ट 2 )

समूहों में काम (तालिका भरें, अनुसंधान करें)

समूहों में काम करने के नियम।

समूहों में काम करना बहुत आसान है

पांच नियमों का पालन करने में सक्षम हो:

पहला: बाधित न करें,

कब बताता है

दोस्त, चारों ओर सन्नाटा होना चाहिए;

दूसरा: जोर से मत चिल्लाओ,

और तर्क दें;

और तीसरा नियम सरल है:

तय करें कि आपके लिए क्या महत्वपूर्ण है;

चौथा: मौखिक रूप से जानना पर्याप्त नहीं है,

दर्ज किया जाना चाहिए;

और पाँचवाँ: योग करना, सोचना,

आप क्या कर सकते थे।

प्रभुत्व

पाठ के उद्देश्यों द्वारा निर्धारित ज्ञान और कार्रवाई के तरीके

5. फ़िज़ी

इस स्तर पर नई सामग्री को आत्मसात करने की शुद्धता स्थापित करें, गलत धारणाओं की पहचान करें और उनका सुधार करें

खैर, मैंने आपके सभी उत्तर तालिका में डाल दिए हैं, अब, आइए अपनी तालिका की प्रत्येक पंक्ति को देखें (प्रस्तुति देखें)

तालिका की जांच करते समय हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

1 पंक्ति। हम किन संख्याओं को गुणा कर रहे हैं? उत्तर क्या संख्या है?

लाइन 2। हम किन संख्याओं को गुणा कर रहे हैं? उत्तर क्या संख्या है?

3 पंक्ति। हम किन संख्याओं को गुणा कर रहे हैं? उत्तर क्या संख्या है?

4 लाइन। हम किन संख्याओं को गुणा कर रहे हैं? उत्तर क्या संख्या है?

और इसलिए आपने उदाहरणों का विश्लेषण किया, और नियम बनाने के लिए तैयार हैं, इसके लिए आपको दूसरे कार्य में अंतराल को भरना था।

किसी ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा कैसे करें?

- मैं दो ऋणात्मक संख्याओं को कैसे गुणा करूं?

चलो थोड़ा आराम करो।

सकारात्मक उत्तर - बैठ जाओ, नकारात्मक - उठो।

5*6

2*2

7*(-4)

2*(-3)

8*(-8)

7*(-2)

5*3

4*(-9)

5*(-5)

9*(-8)

15*(-3)

7*(-6)

धनात्मक संख्याओं को गुणा करने पर उत्तर हमेशा एक धनात्मक संख्या होता है।

किसी ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर उत्तर में सदैव ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है।

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर उत्तर हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी।

किसी धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या उत्पन्न होती है।

दो संख्याओं को भिन्न चिह्नों से गुणा करने के लिए, आपको चाहिएगुणा इन नंबरों के मॉड्यूल और परिणामी संख्या के सामने "-" चिन्ह लगाएं।

- दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको चाहिएगुणा उनके मॉड्यूल और परिणामी संख्या के सामने एक चिन्ह लगाएं «+».

छात्र नियमों को मजबूत करते हुए शारीरिक व्यायाम का अभ्यास करते हैं।

थकान को रोकें

7. नई सामग्री की प्रारंभिक सुरक्षा

अर्जित ज्ञान को व्यवहार में लागू करने की क्षमता में महारत हासिल करना।

कवर की गई सामग्री पर ललाट और स्वतंत्र कार्य व्यवस्थित करें।

आइए नियमों को ठीक करें, और एक दूसरे को इन्हीं नियमों के जोड़े के रूप में बताएं। मैं आपको इसके लिए एक मिनट दूंगा।

मुझे बताओ, क्या अब हम उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं? हाँ हम कर सकते हैं।

उद्घाटन पृष्ठ 192 # 1121

हम सब मिलकर पहली और दूसरी पंक्तियाँ बनाएंगे a) 5 * (- 6) = 30

बी) 9 * (- 3) = - 27

छ) 0.7 * (- 8) = - 5.6

ज) -0.5 * 6 = -3

n) 1.2 * (- 14) = - 16.8

ओ) -20.5 * (- 46) = 943

ब्लैकबोर्ड पर तीन लोग

उदाहरणों को हल करने के लिए आपको 5 मिनट का समय दिया जाता है।

और हम सब कुछ एक साथ जांचते हैं।

जोड़े में रचनात्मक कार्य (परिशिष्ट 3)

संख्याएँ डालें ताकि प्रत्येक मंजिल पर उनका उत्पाद घर की छत पर संख्या के बराबर हो।

प्राप्त ज्ञान को लागू करके उदाहरणों को हल करें

हाथ उठाएं जिनसे कोई गलती नहीं हुई, अच्छा किया….

जीवन में ज्ञान को लागू करने के लिए छात्रों की सक्रिय क्रियाएं।

9. प्रतिबिंब (पाठ सारांश, छात्रों के प्रदर्शन परिणामों का आकलन)

छात्रों का प्रतिबिंब प्रदान करें, अर्थात। उनके प्रदर्शन का आकलन

पाठ का रैप-अप व्यवस्थित करें

हमारा पाठ समाप्त हो गया है, आइए संक्षेप में बताते हैं।

आइए अपने पाठ का विषय फिर से याद करें? हमने क्या लक्ष्य निर्धारित किया? - क्या हमने यह लक्ष्य हासिल कर लिया है?

इस विषय ने आपके लिए क्या कठिनाइयाँ पैदा कीं?

- दोस्तों, पाठ में अपने काम का मूल्यांकन करने के लिए, आपको अपनी टेबल पर मौजूद मंडलियों में एक स्माइली चेहरा बनाना चाहिए।

एक मुस्कुराते हुए इमोटिकॉन का मतलब है कि आप सब कुछ समझते हैं। हरे रंग का मतलब है कि आप समझते हैं, लेकिन आपको अभ्यास करने की ज़रूरत है, और एक उदास स्माइली, अगर आपको कुछ भी समझ में नहीं आता है। (मैं आधा मिनट देता हूं)

अच्छा दोस्तों, क्या आप यह दिखाने के लिए तैयार हैं कि आपने आज अपना पाठ कैसे किया? तो, हम उठाते हैं और, मैं भी आपके लिए एक स्माइली उठाता हूं।

मैं आज कक्षा में आपसे बहुत प्रसन्न हूँ! मैं देखता हूं कि हर कोई सामग्री को समझ गया है। दोस्तों, तुम महान हो!

सबक खत्म हो गया है, आपके ध्यान के लिए धन्यवाद!

सवालों के जवाब दें, उनके काम का मूल्यांकन करें

हाँ हमने किया।

पाठ के सकारात्मक और नकारात्मक पहलुओं की पहचान के लिए छात्रों के अपने कार्यों के प्रसारण और समझ के लिए खुलापन

10 .होमवर्क की जानकारी

होमवर्क करने के उद्देश्य, सामग्री और तरीके की समझ प्रदान करें

होमवर्क के उद्देश्य की समझ प्रदान करता है।

होम वर्क:

1. गुणन के नियम जानें
2.नंबर 1121 (3 कॉलम)।
3. रचनात्मक कार्य: कई उत्तरों के साथ 5 प्रश्नों का परीक्षण करें।

वे अपना होमवर्क लिखते हैं, समझने और समझने की कोशिश करते हैं।

कार्य और छात्रों के विकास के स्तर के अनुसार सभी छात्रों द्वारा होमवर्क के सफल समापन के लिए शर्तों को प्राप्त करने की आवश्यकता का एहसास