द्विघातीय समीकरण। मूल अवधारणा

पाठ एक द्विघात समीकरण की अवधारणा का परिचय देगा, इसके दो प्रकारों पर विचार करें: पूर्ण और अपूर्ण। पाठ में अधूरे द्विघात समीकरणों की किस्मों पर विशेष ध्यान दिया जाएगा, पाठ के दूसरे भाग में कई उदाहरणों पर विचार किया जाएगा।

विषय:द्विघातीय समीकरण.

सबक:द्विघातीय समीकरण। मूल अवधारणा

परिभाषा।द्विघात समीकरणरूप का समीकरण कहलाता है

निश्चित वास्तविक संख्याएँ जो द्विघात समीकरण को परिभाषित करती हैं। इन नंबरों के विशिष्ट नाम हैं:

वरिष्ठ गुणांक (गुणक पर);

दूसरा गुणांक (गुणक पर);

फ्री टर्म (परिवर्तनीय गुणक के बिना संख्या)।

टिप्पणी।यह समझा जाना चाहिए कि द्विघात समीकरण में शब्दों को लिखने का निर्दिष्ट क्रम मानक है, लेकिन अनिवार्य नहीं है, और उनके क्रमपरिवर्तन के मामले में, संख्यात्मक गुणांक को उनकी क्रमिक व्यवस्था से नहीं, बल्कि उनके द्वारा निर्धारित करने में सक्षम होना आवश्यक है। चर से संबंधित।

परिभाषा।अभिव्यक्ति कहा जाता है वर्ग त्रिपद.

उदाहरण 1।द्विघात समीकरण दिया गया ... इसके गुणांक:

वरिष्ठ गुणांक;

दूसरा गुणांक (ध्यान दें कि गुणांक को सामने के चिन्ह से दर्शाया गया है);

स्वतंत्र सदस्य।

परिभाषा।यदि, तब द्विघात समीकरण कहलाता है कम किया हुआ, और यदि, तो द्विघात समीकरण कहलाता है दिया गया.

उदाहरण 2।द्विघात समीकरण लाओ ... आइए इसके दोनों भागों को 2 भागों में विभाजित करें: .

टिप्पणी।जैसा कि आप पिछले उदाहरण से देख सकते हैं, प्रमुख गुणांक से विभाजित करके, हमने समीकरण को नहीं बदला, लेकिन इसका रूप बदल दिया (इसे कम कर दिया), इसी तरह इसे कुछ गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जा सकता है। इस प्रकार, द्विघात समीकरण संख्याओं के एक तिहाई द्वारा नहीं दिया जाता है, लेकिन वे कहते हैं कि गुणांक के एक गैर-शून्य सेट तक निर्दिष्ट है.

परिभाषा।घटा हुआ द्विघात समीकरणप्रमुख गुणांक से विभाजित करके अप्रतिबंधित से प्राप्त किया जाता है, और इसका रूप है:

.

निम्नलिखित पदनामों को अपनाया जाता है:। फिर घटा हुआ द्विघात समीकरणकी तरह लगता है:

.

टिप्पणी... द्विघात समीकरण के कम रूप में, यह देखा जा सकता है कि द्विघात समीकरण को केवल दो संख्याओं के साथ सेट किया जा सकता है:।

उदाहरण 2 (जारी)।हम गुणांकों को इंगित करते हैं जो कम द्विघात समीकरण को परिभाषित करते हैं ... ,। इन गुणांकों को भी संकेत को ध्यान में रखते हुए दर्शाया गया है। वही दो संख्याएं संबंधित असंबद्ध द्विघात समीकरण को परिभाषित करती हैं .

टिप्पणी... संगत अपरिष्कृत और कम द्विघात समीकरण समान हैं, अर्थात्। जड़ों का एक ही सेट है।

परिभाषा... कुछ गुणांक अनियोजित रूप में या द्विघात समीकरण के कम रूप में शून्य के बराबर हो सकते हैं। इस मामले में, द्विघात समीकरण कहा जाता है अधूरा... यदि सभी गुणांक अशून्य हैं, तो द्विघात समीकरण कहलाता है पूर्ण.

अपूर्ण द्विघात समीकरण कई प्रकार के होते हैं।

यदि हमने अभी तक पूर्ण द्विघात समीकरण के हल पर विचार नहीं किया है, तो हम पहले से ज्ञात विधियों से अधूरे समीकरण को आसानी से हल कर सकते हैं।

परिभाषा।द्विघात समीकरण हल करें- का अर्थ है चर (समीकरण की जड़ें) के सभी मूल्यों को खोजने के लिए, जिस पर दिया गया समीकरण सही संख्यात्मक समानता में बदल जाता है, या यह स्थापित करने के लिए कि ऐसे कोई मान नहीं हैं।

उदाहरण 3.निर्दिष्ट प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों के उदाहरण पर विचार करें। प्रश्न हल करें।

समाधान।आइए सामान्य कारक निकालें। हम निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार इस प्रकार के समीकरणों को हल करने में सक्षम हैं: उत्पाद शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि कारकों में से एक शून्य के बराबर है, और दूसरा चर के इस मान के लिए मौजूद है... इस तरह:

उत्तर।; .

उदाहरण 4.प्रश्न हल करें।

समाधान। 1 रास्ता। आइए वर्ग सूत्र के अंतर से गुणनखंड करें

, इसलिए, पिछले उदाहरण के समान, या।

विधि 2। मुक्त पद को दाईं ओर ले जाएं और दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालें।

उत्तर. .

उदाहरण 5.प्रश्न हल करें।

समाधान।मुक्त पद को दाईं ओर ले जाएं, लेकिन , अर्थात। समीकरण में, एक गैर-ऋणात्मक संख्या एक ऋणात्मक के बराबर होती है, जो चर के किसी भी मान के लिए समझ में नहीं आती है, इसलिए, कोई जड़ें नहीं हैं।

उत्तर।कोई जड़ें नहीं हैं।

उदाहरण 6।प्रश्न हल करें।

समाधान... समीकरण के दोनों पक्षों को 7 से विभाजित करें: .

उत्तर. 0.

उन उदाहरणों पर विचार करें जिनमें आपको पहले द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाना है, और फिर उसे हल करना है।

उदाहरण 7... प्रश्न हल करें।

समाधान... द्विघात समीकरण को मानक रूप में कम करने के लिए, सभी शब्दों को एक दिशा में स्थानांतरित करना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, बाईं ओर, और समान लोगों को लाना।

एक अधूरा द्विघात समीकरण प्राप्त होता है, जिसे हम पहले से ही हल करना जानते हैं, हमें वह मिलता है या .

उत्तर. .

उदाहरण 8 (पाठ कार्य)... दो क्रमागत प्राकृत संख्याओं का गुणनफल उनमें से छोटी संख्या के वर्ग का दोगुना है। इन नंबरों को खोजें।

समाधान... एक नियम के रूप में, शब्द समस्याओं को निम्नलिखित एल्गोरिथम के अनुसार हल किया जाता है।

1) गणितीय मॉडल का संकलन... इस स्तर पर, समस्या के पाठ को गणितीय प्रतीकों की भाषा में अनुवाद करना आवश्यक है (एक समीकरण बनाएं)।

मान लीजिए कि एक निश्चित पहली प्राकृत संख्या को अज्ञात द्वारा निरूपित किया जाता है, फिर उसके बाद अगली (लगातार संख्या) होगी। इनमें से छोटी संख्या एक संख्या है, हम समस्या की स्थिति के अनुसार समीकरण लिखते हैं:

, कहाँ पे । गणितीय मॉडल संकलित है।

इस वीडियो ट्यूटोरियल में द्विघात समीकरण को हल करने का तरीका बताया गया है। द्विघात समीकरणों का हल आमतौर पर एक व्यापक स्कूल, ग्रेड 8 में शुरू किया जाता है। द्विघात समीकरण की जड़ें एक विशेष सूत्र का उपयोग करके पाई जाती हैं। मान लीजिए ax2 + bx + c = 0 के रूप का एक द्विघात समीकरण दिया गया है, जहाँ x एक अज्ञात है, a, b और c ऐसे गुणांक हैं जो वास्तविक संख्याएँ हैं। सबसे पहले, आपको सूत्र D = b2-4ac द्वारा विभेदक को निर्धारित करने की आवश्यकता है। उसके बाद, प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना करना बाकी है। आइए अब एक विशिष्ट उदाहरण को हल करने का प्रयास करते हैं। हम x2 + x-12 = 0 को प्रारंभिक समीकरण के रूप में लेते हैं, अर्थात्। गुणांक ए = 1, बी = 1, सी = -12। विभेदक को निर्धारित करने के लिए एक प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। फिर, समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके, हम उनकी गणना करते हैं। हमारे मामले में, विवेचक 49 होगा। यह तथ्य कि विवेचक का मान एक धनात्मक संख्या है, हमें बताता है कि इस द्विघात समीकरण के दो मूल होंगे। कुछ सरल गणनाओं के बाद, हम पाते हैं कि x1 = -4, x2 = 3। इस प्रकार, हमने द्विघात समीकरण को उसकी जड़ों की गणना करके हल किया है वीडियो पाठ "द्विघात समीकरणों को हल करना (ग्रेड 8)। हम सूत्र द्वारा जड़ें ढूंढते हैं "आप किसी भी समय मुफ्त में ऑनलाइन देख सकते हैं। आप सौभाग्यशाली हों!

कक्षा 8 में द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया जाता है, इसलिए यहाँ कुछ भी कठिन नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता नितांत आवश्यक है।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहाँ गुणांक a, b और c मनमानी संख्याएँ हैं, और a 0।

हल करने की विशिष्ट विधियों का अध्ययन करने से पहले, हम ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को सशर्त रूप से तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

1. कोई जड़ नहीं है;
2. बिल्कुल एक जड़ है;
3. उनकी दो अलग जड़ें हैं।

यह द्विघात और रैखिक समीकरणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जहां मूल हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। आप कैसे निर्धारित करते हैं कि एक समीकरण की कितनी जड़ें हैं? इसमें एक अद्भुत बात है - विभेदक.

विभेदक

मान लीजिए कि एक द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है। तब विवेचक केवल संख्या D = b 2 - 4ac है।

आपको इस फॉर्मूले को दिल से जानना होगा। यह कहाँ से आता है - अब कोई फर्क नहीं पड़ता। एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिन्ह से, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:

1. अगर डी< 0, корней нет;
2. यदि D = 0 है, तो ठीक एक मूल है;
3. यदि D> 0, तो दो मूल होंगे।

कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, और उनके सभी संकेतों को नहीं, जैसा कि किसी कारण से कई लोग मानते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें - और आप खुद ही सब कुछ समझ जाएंगे:

कार्य। द्विघात समीकरणों की कितनी जड़ें होती हैं:

1. एक्स 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. एक्स 2 - 6x + 9 = 0।

आइए हम पहले समीकरण के गुणांकों को लिखें और विवेचक खोजें:
ए = 1, बी = -8, सी = 12;
डी = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

तो विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। हम इसी तरह दूसरे समीकरण का विश्लेषण करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131।

विभेदक नकारात्मक है, कोई जड़ नहीं है। अंतिम समीकरण रहता है:
ए = 1; बी = -6; सी = 9;
डी = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0।

विवेचक शून्य है - एक जड़ होगी।

ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हाँ, यह लंबा है, हाँ, यह उबाऊ है - लेकिन आपने गुणांकों को नहीं मिलाया और मूर्खतापूर्ण गलतियाँ नहीं कीं। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।

वैसे, यदि आप "अपना हाथ भरते हैं", तो थोड़ी देर बाद आपको सभी गुणांक लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने सिर में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। ज्यादातर लोग 50-70 समीकरणों के हल होने के बाद कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, इतना नहीं।

द्विघात जड़ें

अब चलिए समाधान की ओर बढ़ते हैं। यदि विभेदक D> 0, जड़ों को सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है:

द्विघात समीकरण के मूल का मूल सूत्र

जब डी = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलती है, जिसका उत्तर होगा। अंत में, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. एक्स 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

पहला समीकरण:
एक्स 2 - 2x - 3 = 0 ए = 1; बी = -2; सी = -3;
डी = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16।

D> 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं:

दूसरा समीकरण:
15 - 2x - x 2 = 0 a = −1; बी = -2; सी = 15;
डी = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64।

D> 0 समीकरण के दो मूल हैं। उनको ढूंढो

\ [\ start (संरेखण) और ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ)) = 3. \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

अंत में, तीसरा समीकरण:
एक्स 2 + 12x + 36 = 0 ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0।

D = 0 समीकरण का एक मूल है। किसी भी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पहला वाला:

जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनने में सक्षम हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, सूत्र में नकारात्मक गुणांक को प्रतिस्थापित करते समय त्रुटियां होती हैं। यहां, फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण का वर्णन करें - और बहुत जल्द आपको गलतियों से छुटकारा मिलेगा।

अपूर्ण द्विघात समीकरण

ऐसा होता है कि द्विघात समीकरण परिभाषा में दिए गए समीकरण से कुछ भिन्न होता है। उदाहरण के लिए:

1. एक्स 2 + 9एक्स = 0;
2. एक्स 2 - 16 = 0।

यह देखना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। इस तरह के द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं है। तो, चलिए एक नई अवधारणा पेश करते हैं:

समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है यदि बी = 0 या सी = 0, अर्थात। चर x या मुक्त तत्व पर गुणांक शून्य के बराबर है।

बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b = c = 0. इस मामले में, समीकरण ax 2 = 0 का रूप लेता है। जाहिर है, इस तरह के समीकरण का एक ही मूल होता है: x = 0.

आइए बाकी मामलों पर विचार करें। मान लीजिए b = 0, तो हमें ax 2 + c = 0 के रूप का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:

चूंकि अंकगणितीय वर्गमूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद है, अंतिम समानता केवल (−c / a) 0 के लिए समझ में आता है। निष्कर्ष:

1. यदि असमानता (−c / a) 0, ax 2 + c = 0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण में बनी रहती है, तो दो मूल होंगे। सूत्र ऊपर दिया गया है;
2. अगर (-सी / ए)< 0, корней нет.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण द्विघात समीकरणों में कोई जटिल गणना नहीं होती है। वास्तव में, असमानता (−c / a) ≥ 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह x 2 के मान को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है और देखें कि समान चिह्न के दूसरी तरफ क्या है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो मूल होंगे। यदि ऋणात्मक है, तो जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी।

अब आइए फार्म ax 2 + bx = 0 के समीकरणों पर विचार करें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:

एक सामान्य कारक को ब्रैकेट करना

उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। यहीं से जड़ें हैं। अंत में, हम ऐसे कई समीकरणों का विश्लेषण करेंगे:

कार्य। द्विघात समीकरणों को हल करें:

1. एक्स 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 x (x - 7) = 0 x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6। कोई जड़ें नहीं हैं, टीके। एक वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 = -1.5।

कक्षा: 8

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए मानक (गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में अध्ययन किया गया) और गैर-मानक तकनीकों पर विचार करें।

1. द्विघात समीकरण के बाईं ओर रैखिक कारकों में अपघटन।

आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

3) x 2 + 10x - 24 = 0.

6 (x 2 + x - x) = 0 | : 6

एक्स 2 + एक्स - एक्स - = 0;

एक्स (एक्स -) + (एक्स -) = 0;

एक्स (एक्स -) (एक्स +) = 0;

= ; – .

उत्तर: ; -.

स्वतंत्र कार्य के लिए:

द्विघात समीकरण के बाईं ओर रैखिक गुणनखंड द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करें।

ए) एक्स 2 - एक्स = 0; डी) एक्स 2 - 81 = 0; छ) x 2 + 6x + 9 = 0;

बी) एक्स 2 + 2x = 0; ई) 4x 2 - = 0; एच) एक्स 2 + 4x + 3 = 0;

ग) 3x 2 - 3x = 0; च) x 2 - 4x + 4 = 0; i) x 2 + 2x - 3 = 0।

ए) 0; एक

बी) -2; 0

ग) 0; एक

2. एक पूर्ण वर्ग चुनने की विधि।

आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

स्वतंत्र कार्य के लिए।

पूर्ण वर्ग चयन विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करें।

3. सूत्र द्वारा द्विघात समीकरणों का हल।

कुल्हाड़ी 2 + में + सी = 0, (ए | 4ए

4ए 2 एक्स 2 + 4एवी + 4एसी = 0;

2ax + 2ax 2b + 2 - 2 + 4ac = 0;

2 = 2 - 4ac; = ±;

आइए कुछ उदाहरण देखें।

स्वतंत्र कार्य के लिए।

सूत्र x 1.2 = का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करें।

4. Vieta के प्रमेय (आगे और पीछे) का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना

x 2 + px + q = 0 - घटा हुआ द्विघात समीकरण

Vieta के प्रमेय द्वारा।

यदि उस समीकरण के चिह्न में दो समान मूल हैं और यह गुणांक पर निर्भर करता है।

अगर पी तो .

अगर पी तो .

उदाहरण के लिए:

यदि तब समीकरण में भिन्न चिह्न के दो मूल हैं, और सबसे बड़ा निरपेक्ष मान वाला मूल होगा यदि p और यदि p होगा।

उदाहरण के लिए:

स्वतंत्र कार्य के लिए।

द्विघात समीकरण को हल किए बिना, इसकी जड़ों के संकेतों को निर्धारित करने के लिए व्युत्क्रम विएटा के प्रमेय का उपयोग करें:

ए, बी, के, एल - विभिन्न जड़ें;

सी, डी, एच - नकारात्मक;

डी, एफ, जी, आई, एम - सकारात्मक;

5. "स्थानांतरण" विधि द्वारा द्विघात समीकरणों का हल।

स्वतंत्र कार्य के लिए।

फ्लिप विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करें।

6. द्विघात समीकरणों को इसके गुणांकों के गुणों का उपयोग करके हल करना।

I. कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0, जहां एक 0

1) यदि a + b + c = 0, तो x 1 = 1; एक्स 2 =

सबूत:

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 |: ए

एक्स 2 + एक्स + = 0।

Vieta के प्रमेय द्वारा

शर्त के अनुसार a + b + c = 0, फिर b = -a - c। तब हमें मिलता है

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि x 1 = 1; एक्स 2 =। क्यू.ई.डी.

2) यदि a - b + c = 0 (या b = a + c), तो x 1 = - 1; एक्स 2 = -

सबूत:

Vieta के प्रमेय द्वारा

शर्त के अनुसार a - b + c = 0, अर्थात। बी = ए + सी। तब हमें मिलता है:

इसलिए, x 1 = - 1; एक्स 2 = -।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

1) 345 x 2 - 137 x - 208 = 0।

ए + बी + सी = 345 - 137 - 208 = 0

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = =

2) 132 x 2 - 247 x + 115 = 0.

ए + बी + सी = 132 -247 -115 = 0।

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = =

उत्तर: 1;

स्वतंत्र कार्य के लिए।

द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुणों को लागू करके समीकरणों को हल करें

द्वितीय. कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0, जहां एक 0

एक्स 1.2 =। मान लीजिए b = 2k, अर्थात्। यहाँ तक की। तब हमें मिलता है

एक्स 1,2 = = = =

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

3x 2 - 14x + 16 = 0.

डी 1 = (-7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1

एक्स 1 = = 2; एक्स 2 =

उत्तर: 2;

स्वतंत्र कार्य के लिए।

क) 4x 2 - 36x + 77 = 0

बी) 15x 2 - 22x - 37 = 0

ग) 4x 2 + 20x + 25 = 0

डी) 9x 2 - 12x + 4 = 0

जवाब:

III. एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0

एक्स 1,2 = - ± 2 - क्यू

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

एक्स 2 - 14x - 15 = 0

एक्स 1.2 = 7 = 7

एक्स 1 = -1; एक्स 2 = 15.

उत्तर: -1; 15.

स्वतंत्र कार्य के लिए।

ए) एक्स 2 - 8x - 9 = 0

बी) एक्स 2 + 6x - 40 = 0

सी) एक्स 2 + 18x + 81 = 0

डी) एक्स 2 - 56x + 64 = 0

7. आलेखों का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करना।

ए) एक्स 2 - 3x - 4 = 0

उत्तर 1; 4

बी) एक्स 2 - 2x + 1 = 0

सी) एक्स 2 - 2x + 5 = 0

उत्तर: कोई समाधान नहीं

स्वतंत्र कार्य के लिए।

द्विघात समीकरणों को आलेखीय रूप से हल करें:

8. एक कम्पास और एक रूलर का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0,

एक्स 2 + एक्स + = 0।

x 1 और x 2 मूल हैं।

मान लीजिए A (0; 1), C (0;

सेकेंट प्रमेय द्वारा:

· = · S.

इसलिए, हमारे पास है:

एक्स 1 एक्स 2 = 1 ओएस;

ओएस = एक्स 1 एक्स 2

(; 0), जहाँ = -

एफ (0;) = (0;) =)

1) बिंदु S (-;) की रचना करें - वृत्त का केंद्र और बिंदु A (0; 1)।

2) त्रिज्या R = SA / वाला एक वृत्त खींचिए।

3) x-अक्ष के साथ इस वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज मूल द्विघात समीकरण के मूल हैं।

3 संभावित मामले हैं:

1) आर> एसके (या आर>)।

वृत्त x अक्ष को बिंदु B (x 1; 0) और D (x 2; 0) पर प्रतिच्छेद करता है, जहाँ x 1 और x 2 द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के मूल हैं।

2) आर = एसके (या आर =)।

वृत्त पीड़ा बी 1 (x 1; 0) में बैल की धुरी को छूता है, जहाँ x 1 द्विघात समीकरण का मूल है

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0।

3) आर< SK (или R < ).

वृत्त का बैल अक्ष के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, अर्थात। कोई समाधान नहीं।

1) x 2 - 2x - 3 = 0।

केंद्र एस (-;), यानी।

एक्स 0 = = - = 1,

वाई 0 = = = - 1.

(1; - 1) वृत्त का केंद्र है।

एक वृत्त (एस; एएस) बनाएं, जहां ए (0; 1)।

9. एक नाममात्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना

समाधान के लिए, वे वी.एम. की चार अंकों की गणितीय तालिकाओं का उपयोग करते हैं। ब्रैडिस (तालिका XXII, पृष्ठ 83)।

नॉमोग्राम, द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 को हल किए बिना, इसके गुणांकों द्वारा समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए:

5) z 2 + 4z + 3 = 0.

दोनों जड़ें ऋणात्मक हैं। इसलिए, हम परिवर्तन करते हैं: z 1 = - t। हमें एक नया समीकरण मिलता है:

टी 2 - 4टी + 3 = 0.

टी 1 = 1; टी 2 = 3

जेड 1 = - 1; जेड 2 = - 3.

उत्तर:- 3; - एक

6) यदि गुणांक p और q पैमाने के बाहर हैं, तो प्रतिस्थापन z = k · t किया जाता है और समीकरण को नामांकित करके हल किया जाता है: z 2 + pz + q = 0।

के 2 टी 2 + पी केटी + क्यू = 0. |: के 2

k को इस अपेक्षा के साथ लिया जाता है कि असमानताएँ होती हैं:

स्वतंत्र कार्य के लिए।

2 + 6y - 16 = 0.

वाई 2 + 6y = 16, | + 9

वाई 2 + 6y + 9 = 16 + 9

वाई 1 = 2, वाई 2 = -8।

उत्तर: -8; 2

स्वतंत्र कार्य के लिए।

ज्यामितीय रूप से समीकरण y 2 - 6y - 16 = 0 को हल करें।

नगर शिक्षण संस्थान
"कोसिंस्काया बेसिक सेकेंडरी स्कूल"

आईसीटी का उपयोग कर पाठ

सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

डेवलपर:
चेरेविना ओक्साना निकोलायेवना
गणित शिक्षक

लक्ष्य:
द्विघात समीकरणों का हल सूत्र द्वारा निश्चित कीजिए,
अध्ययन किए गए तथ्यों के सामान्यीकरण के लिए छात्रों की इच्छा और आवश्यकता के विकास में योगदान,
स्वतंत्रता और रचनात्मकता विकसित करें।

उपकरण:
गणितीय श्रुतलेख (प्रस्तुति 1),
स्वतंत्र कार्य के लिए बहुस्तरीय असाइनमेंट वाले कार्ड,
द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सूत्रों की एक तालिका (कोने में "पाठ में मदद करने के लिए"),
"पुराने समय की समस्या" (छात्रों की संख्या) का एक प्रिंटआउट,
बोर्ड पर पॉइंट-रेटिंग टेबल।

समग्र योजना:
होमवर्क चेक
गणितीय श्रुतलेख।
मौखिक व्यायाम।
व्यायाम को मजबूत करने का समाधान।
स्वतंत्र काम।
इतिहास संदर्भ।

कक्षाओं के दौरान।
संगठनात्मक क्षण।

होमवर्क की जाँच।
- दोस्तों, पिछले पाठों में हम किन समीकरणों से मिले थे?
- द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए किन विधियों का उपयोग किया जा सकता है?
- घर पर आपको 1 समीकरण को दो तरह से हल करना होता था।
(समीकरण 2 स्तरों में दिया गया था, कमजोर और मजबूत छात्रों के लिए गणना की गई)
- चलो मेरे साथ जांचें। आपने असाइनमेंट को कैसे हैंडल किया।
(ब्लैकबोर्ड पर, शिक्षक पाठ से पहले गृह कार्य के हल को नोट करता है)
छात्र जाँच करते हैं और निष्कर्ष निकालते हैं: अपूर्ण द्विघात समीकरणों को गुणनखंड द्वारा हल करना आसान होता है या सामान्य तरीके से, एक सूत्र द्वारा पूर्ण होते हैं।
शिक्षक जोर देता है: यह व्यर्थ नहीं है कि हल करने का तरीका उपयुक्त है। सूत्र द्वारा समीकरणों को सार्वत्रिक कहा जाता है।

दोहराव।

आज के पाठ में हम द्विघात समीकरणों को हल करने पर आपके साथ काम करना जारी रखेंगे। हमारा सबक असामान्य होगा, क्योंकि आज मैं न केवल आपका मूल्यांकन करूंगा, बल्कि आप स्वयं भी। एक अच्छा ग्रेड अर्जित करने और स्वतंत्र कार्य में अच्छा प्रदर्शन करने के लिए आपको अधिक से अधिक अंक अर्जित करने चाहिए। एक समय में एक बिंदु, मुझे लगता है कि आपने अपना गृहकार्य पूरा करके पहले ही अर्जित कर लिया है।
- और अब मैं चाहता हूं कि आप याद रखें और एक बार फिर से इस विषय पर हमारे द्वारा पढ़ी गई परिभाषाओं और सूत्रों को दोहराएं। (छात्रों के उत्तरों का मूल्यांकन सही उत्तर के लिए 1 अंक और गलत के लिए 0 अंक से किया जाता है)
- और अब, दोस्तों, हम एक गणितीय श्रुतलेख पूरा करेंगे, ध्यान से और जल्दी से कंप्यूटर मॉनीटर पर कार्य को पढ़ेंगे। (प्रस्तुति 1)
छात्र काम पूरा करते हैं और अपने प्रदर्शन का मूल्यांकन करने के लिए कुंजी का उपयोग करते हैं।

गणितीय श्रुतलेख।

द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है ...
एक द्विघात समीकरण में, पहला गुणांक है ..., दूसरा गुणांक है ..., मुक्त पद है ...
द्विघात समीकरण को घटा हुआ कहा जाता है यदि...
द्विघात समीकरण के विवेचक की गणना के लिए सूत्र लिखिए
द्विघात समीकरण के मूल की गणना के लिए सूत्र लिखिए यदि समीकरण का मूल एक है।
किस स्थिति में द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं होता है?

(पीसी का उपयोग करके स्व-परीक्षण, प्रत्येक सही उत्तर के लिए - 1 अंक)।

मौखिक व्यायाम। (बोर्ड के पीछे)
- प्रत्येक समीकरण की कितनी जड़ें होती हैं? (कार्य भी 1 बिंदु पर अनुमानित है)
1. (एक्स -1) (एक्स +11) = 0;
2. (एक्स - 2) + 4 = 0;
3. (2x - 1) (4 + x) = 0;
4. (एक्स - 0.1) एक्स = 0;
5.x² + 5 = 0;
6. 9x² - 1 = 0;
7.x² - 3x = 0;
8.x + 2 = 0;
9.16x² + 4 = 0;
10.16x² - 4 = 0;
11.0.07x² = 0.

सामग्री को मजबूत करने के लिए अभ्यास का समाधान।

पीसी मॉनिटर पर प्रस्तावित समीकरणों में से, उन्हें स्वतंत्र रूप से (सीडी -7) किया जाता है; जाँच करते समय, जिन छात्रों ने गणना पूरी कर ली है, वे अपना हाथ सही ढंग से उठाते हैं (1 अंक); इस समय, कमजोर छात्र ब्लैकबोर्ड पर एक समीकरण को हल करते हैं और जो स्वयं कार्य का सामना करते हैं उन्हें 1 अंक प्राप्त होता है।

2 संस्करणों में स्वतंत्र कार्य।
जिन लोगों ने 5 या अधिक अंक प्राप्त किए हैं, वे नंबर 5 से स्वतंत्र कार्य शुरू करते हैं।
जिसने 3 या उससे कम स्कोर किया - नंबर 1 से।

विकल्प 1।

a) 3x² + 6x - 6 = 0, b) x² - 4x + 4 = 0, c) x² - x + 1 = 0।

# 2. द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के विभेदक D की गणना सूत्र D = b² - 4ac का उपयोग करके जारी रखें।

ए) 5x² - 7x + 2 = 0,
डी = बी² - 4ac
डी = (-7²) - 4 5 2 = 49 - 40 =…;
बी) एक्स² - एक्स - 2 = 0,
डी = बी² - 4ac
डी = (-1) ² - 4 1 (-2) = ...;

क्रम 3। समीकरण को हल करना समाप्त करें
3x² - 5x - 2 = 0.
डी = बी² - 4ac
डी = (-5) ² - 4 3 (-2) = 49।
एक्स = ...

संख्या 4. प्रश्न हल करें।

ए) (एक्स - 5) (एक्स + 3) = 0; बी) एक्स² + 5x + 6 = 0

ए) (एक्स -3) ^ 2 = 3x-5; बी) (एक्स + 4) (2x-1) = एक्स (3x + 11)

संख्या 6. समीकरण को हल करें x2 + 2√2 x + 1 = 0
संख्या 7. a के किस मान पर समीकरण x² - 2ax + 3 = 0 का एक मूल है?

विकल्प 2।

# 1. फॉर्म के प्रत्येक समीकरण के लिए ax² + bx + c = 0, मान दर्ज करें a, b, c.

a) 4x² - 8x + 6 = 0, b) x² + 2x - 4 = 0, c) x² - x + 2 = 0।

# 2. द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के विभेदक D की गणना सूत्र D = b² - 4ac का उपयोग करके जारी रखें।

ए) 5x² + 8x - 4 = 0,
डी = बी² - 4ac
डी = 8² - 4 5 (- 4) = 64 - 60 =…;

बी) एक्स² - 6x + 5 = 0,
डी = बी² - 4ac
डी = (-6) ² - 4 1 5 =…;

3 #। समीकरण को हल करना समाप्त करें
x² - 6x + 5 = 0.
डी = बी² - 4ac
डी = (-6) ² - 4 1 5 = 16.
एक्स = ...

संख्या 4. प्रश्न हल करें।

ए) (एक्स + 4) (एक्स - 6) = 0; बी) 4x² - 5x + 1 = 0

पाँच नंबर। समीकरण को स्क्वायर करें और इसे हल करें:

क) (x-2) ^ 2 = 3x-8; बी) (3x-1) (एक्स + 3) + 1 = एक्स (1 + 6x)

संख्या 6. समीकरण को हल करें x2 + 4√3 x + 12 = 0

संख्या 7. a के किस मान पर समीकरण x² + 3ax + a = 0 का एक मूल है।

सबक सारांश।
स्कोर-रेटिंग तालिका के परिणामों का सारांश।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि और कार्य।
द्विघात समीकरणों के लिए समस्याएं 499 की शुरुआत में सामने आई हैं। प्राचीन भारत में, कठिन समस्याओं को हल करने के लिए सार्वजनिक प्रतिस्पर्धा आम थी। प्राचीन भारतीय पुस्तकों में से एक कहती है: "जैसे सूर्य अपनी चमक के साथ सितारों को ग्रहण करता है, वैसे ही एक विद्वान व्यक्ति लोकप्रिय सभाओं में दूसरे की महिमा को ग्रहण करेगा, बीजगणितीय समस्याओं का प्रस्ताव और समाधान करेगा।" वे अक्सर काव्य रूप में थे। यहाँ 12वीं शताब्दी के प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ भास्कर के कार्यों में से एक है:
बंदरों का डरावना झुंड
मैंने अपनी पूरी मस्ती खाई,
भाग आठवां वर्ग
मैं समाशोधन में खुद का मनोरंजन कर रहा था।
और 12 बेलें...
वे फंदे से झूलने लगे।
कितने बंदर थे
आप मुझे बताएं, इस पैक में?

vii. होम वर्क।
इस ऐतिहासिक समस्या को हल करने और इसे अलग-अलग शीट पर एक ड्राइंग के साथ व्यवस्थित करने का प्रस्ताव है।

अनुबंध

सं. पूरा नाम
छात्र गतिविधियां कुल
गृहकार्य श्रुतलेख मौखिक अभ्यास सामग्री को सुदृढ़ बनाना
पीसी काम व्हाइटबोर्ड काम
1 इवानोव आई.
2 फेडोरोव जी.
3 याकोवलेवा जे.
…

अधिकतम संख्या 22-23 अंक है।
न्यूनतम - 3-5 अंक

3-10 अंक - स्कोर "3",
11-20 अंक - स्कोर "4",
21-23 अंक - स्कोर "5"