Zaujímavé fakty o Pytagorovej vete: naučte sa nové veci o slávnej vete (15 fotografií). Pythagorejské nohavice Pytagorove nohavice dôkaz vety

Pytagorove nohavice- všetky strany sú si rovné.
Aby ste to dokázali, musíte odstrániť a ukázať.

Tento rým je známy každému už od strednej školy, odkedy sme na hodine geometrie študovali slávnu Pytagorovu vetu: druhá mocnina dĺžky prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov nôh.

Aby dokázal svoju vetu, Pytagoras nakreslil postavu do piesku zo štvorcov na stranách trojuholníka. Súčet štvorcov nôh v pravouhlom trojuholníku sa rovná štvorcu prepony. Štvorec plus B štvorec sa rovná C štvorcu. Bolo to 500 rokov pred Kristom. Dnes sa Pytagorova veta vyučuje na strednej škole. V Guinessovej knihe rekordov je Pytagorova veta teorém s maximálnym počtom dôkazov. V roku 1940 bola skutočne vydaná kniha obsahujúca tristosedemdesiat dôkazov Pytagorovej vety. Jeden z nich navrhol americký prezident James Abram Garfield. Len jeden dôkaz vety je zatiaľ neznámy nikomu z nás: dôkaz samotného Pytagora. Na dlhú dobu Euklidov dôkaz bol považovaný za pytagorovský dôkaz, ale teraz si matematici myslia, že tento dôkaz patrí samotnému Euklidovi.

Euklidov klasický dôkaz má za cieľ stanoviť rovnosť plôch medzi obdĺžnikmi vytvorenými rozrezaním štvorca nad preponou s výškou z pravého uhla so štvorcami nad nohami.

Konštrukcia použitá na dôkaz je nasledovná: pre pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom C, štvorce nad nohami ACED a BCFG a štvorec nad preponou ABIK sa zostrojí výška CH a lúč s, ktorý v nej pokračuje. , pričom štvorec nad preponou rozdelíme na dva obdĺžniky AHJK a BHJI. Dôkaz je zameraný na stanovenie rovnosti plôch obdĺžnika AHJK so štvorcom nad nohou AC; Rovnosť plôch druhého obdĺžnika, ktorým je štvorec nad preponou, a obdĺžnika nad druhým ramenom sa stanoví podobným spôsobom.

Rovnosť plôch obdĺžnika AHJK a ACED je stanovená kongruenciou trojuholníkov ACK a ABD, pričom plocha každého z nich sa rovná polovici plochy obdĺžnikov AHJK a ACED v dôsledku nasledujúca vlastnosť: plocha trojuholníka sa rovná polovici plochy obdĺžnika, ak čísla majú spoločnú stranu a výška trojuholníka je k, spoločná strana je druhá strana obdĺžnika. Zhoda trojuholníkov vyplýva z rovnosti dvoch strán (stran štvorcov) a uhla medzi nimi (zloženého z pravého uhla a uhla v A.

Dôkaz teda stanovuje, že plocha štvorca nad preponou, zložená z obdĺžnikov AHJK a BHJI, sa rovná súčtu plôch štvorcov nad nohami.

Nemecký matematik Karl Gauss navrhol odrezať obrie pytagorejské nohavice zo stromov v sibírskej tajge. Pri pohľade na tieto nohavice z vesmíru by mali byť mimozemšťania presvedčení, že na našej planéte žijú inteligentné bytosti.

Je zábavné, že sám Pytagoras nikdy nenosil nohavice - v tých dňoch Gréci jednoducho nevedeli o takom šatníku.

Zdroje:

• sandbox.fizmat.vspu.ru
• sk.wikipedia.org
• kuchmastar.fandom.com

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Rímsky architekt Vitruvius vybral Pytagorovu vetu „z početných objavov, ktoré prispeli k rozvoju ľudského života“ a vyzval, aby sa s ňou zaobchádzalo s najväčšou úctou. Bolo to v 1. storočí pred Kristom. e. Slávny nemecký astronóm Johannes Kepler ho na prelome 16. – 17. storočia nazval jedným z pokladov geometrie, porovnateľným s mierou zlata. Je nepravdepodobné, že v celej matematike existuje závažnejšie a významnejšie tvrdenie, pretože z hľadiska počtu vedeckých a praktických aplikácií sa Pytagorovej vete nevyrovná.

Pytagorova veta pre prípad rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.

Veda a život // Ilustrácie

Ilustrácia Pytagorovej vety z Pojednania o meracom póle (Čína, 3. storočie pred Kristom) a na jej základe zrekonštruovaný dôkaz.

Veda a život // Ilustrácie

S. Perkins. Pytagoras.

Nákres pre možný dôkaz Pytagoras.

"Pytagorova mozaika" a rozdelenie an-Nairizi na tri štvorce v dôkaze Pytagorovej vety.

P. de Hoch. Pani a slúžka na nádvorí. Okolo roku 1660.

I. Ottervelt. Potulní hudobníci pri dverách bohatého domu. 1665.

Pytagorove nohavice

Pytagorova veta je možno najznámejšou a nepochybne aj najslávnejšou v histórii matematiky. V geometrii sa používa doslova na každom kroku. Napriek jednoduchosti formulácie nie je táto veta v žiadnom prípade zrejmá: pri pohľade na pravouhlý trojuholník so stranami a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

Postavy znázornené na obr. 1 a 2, pripomínajú najjednoduchší ornament zo štvorcov a ich rovnakých častí - geometrický vzor známy od nepamäti. Dokážu úplne zakryť lietadlo. Matematik by takéto prekrytie roviny polygónmi nazval parketou, prípadne obkladom. Prečo je tu Pytagoras? Ukazuje sa, že ako prvý vyriešil problém bežných parkiet, čím sa začalo štúdium obkladov rôznych povrchov. Pytagoras teda ukázal, že rovinu okolo bodu bez medzier môžu pokryť iba tri typy rovnakých pravidelných mnohouholníkov: šesť trojuholníkov, štyri štvorce a tri šesťuholníky.

O 4000 rokov neskôr

História Pytagorovej vety siaha až do staroveku. Zmienky o ňom sú obsiahnuté v babylonských klinopisných textoch z čias kráľa Hammurabiho (XVIII. storočie pred Kristom), teda 1200 rokov pred narodením Pytagorasa. Veta bola aplikovaná ako hotové pravidlo v mnohých problémoch, z ktorých najjednoduchšie je nájsť uhlopriečku štvorca pozdĺž jeho strany. Je možné, že vzťah a 2 + b 2 = c 2 pre ľubovoľný pravouhlý trojuholník získali Babylončania jednoducho „zovšeobecnením“ rovnosti a 2 + a 2 = c 2 . Ale to je pre nich ospravedlniteľné - pre praktickú geometriu staroveku, ktorá bola zredukovaná na merania a výpočty, sa nevyžadovalo prísne odôvodnenie.

Teraz, takmer o 4000 rokov neskôr, máme čo do činenia s rekordnou vetou, pokiaľ ide o počet možných dôkazov. Mimochodom, ich zber má dlhoročnú tradíciu. Vrchol záujmu o Pytagorovu vetu nastal v druhej polovici 19. – začiatkom 20. storočia. A ak prvé zbierky neobsahovali viac ako dva alebo tri desiatky dôkazov, potom k koniec XIX storočia sa ich počet priblížil k 100 a po ďalšom polstoročí prekročil 360, a to sú len tie, ktoré boli zozbierané z rôznych zdrojov. Kto sa len nechopil riešenia tejto nestarnúcej úlohy – od významných vedcov a popularizátorov vedy až po kongresmanov a školákov. A čo je pozoruhodné, v originalite a jednoduchosti riešenia neboli iní amatéri horší ako profesionáli!

Najstarší dôkaz Pytagorovej vety, ktorý sa k nám dostal, je starý asi 2300 rokov. Jedna z nich – prísna axiomatická – patrí starogréckemu matematikovi Euklidovi, ktorý žil v 4. – 3. storočí pred Kristom. e. V prvej knihe prvkov je Pytagorova veta uvedená ako výrok 47. Najviditeľnejšie a najkrajšie dôkazy sú postavené na prekreslení „pytagorových nohavíc“. Vyzerajú ako dômyselné puzzle hranaté do štvorca. Nechajte však figúrky pohybovať sa správne - a prezradia vám tajomstvo slávnej vety.

Tu je elegantný dôkaz získaný na základe kresby z jedného starovekého čínskeho pojednania (obr. 3) a jeho spojenie s problémom zdvojnásobenia plochy štvorca je okamžite jasné.

Práve tento dôkaz sa snažil vysvetliť svojmu mladšiemu priateľovi sedemročný Guido, bystrý hrdina z poviedky „Malý Archimedes“ od anglického spisovateľa Aldousa Huxleyho. Je zvláštne, že rozprávač, ktorý pozoroval tento obraz, si všimol jednoduchosť a presvedčivosť dôkazov, a preto ich pripísal ... samotnému Pytagorasovi. A tu Hlavná postava fantastický príbeh Evgenyho Veltistova "Elektronika - chlapec z kufra" poznal 25 dôkazov Pytagorovej vety, vrátane tých, ktoré uviedol Euclid; Pravda, omylom to označil za najjednoduchšie, hoci v skutočnosti v modernom vydaní „Začiatkov“ zaberá jeden a pol strany!

Prvý matematik

Pytagoras zo Samosu (570-495 pred n. l.), ktorého meno je už dlho neoddeliteľne spojené s pozoruhodnou vetou, možno v istom zmysle nazvať prvým matematikom. Práve od neho začína matematika ako exaktná veda, kde akékoľvek nové poznatky nie sú výsledkom vizuálnych reprezentácií a pravidiel osvojených skúsenosťou, ale výsledkom logického uvažovania a záverov. Toto je jediný spôsob, ako raz a navždy stanoviť pravdivosť akéhokoľvek matematického tvrdenia. Pred Pytagorasom dedukčnú metódu používal iba starogrécky filozof a vedec Thales z Milétu, ktorý žil na prelome 7. – 6. storočia pred Kristom. e. Vyjadril samotnú myšlienku dôkazu, ale spravidla ju aplikoval nesystematicky, selektívne, na zrejmé geometrické výroky, ako napríklad „priemer rozpolí kruh“. Pytagoras zašiel oveľa ďalej. Predpokladá sa, že zaviedol prvé definície, axiómy a metódy dokazovania a tiež vytvoril prvý kurz geometrie, ktorý starí Gréci poznali pod názvom „Pytagorasova tradícia“. A stál pri počiatkoch teórie čísel a stereometrie.

Ďalšou významnou zásluhou Pytagora je založenie slávnej školy matematikov, ktorá na viac ako storočie určovala vývoj tejto vedy v starovekom Grécku. Samotný pojem „matematika“ je spojený s jeho menom (z gréckeho slova μαθημa - učenie, veda), ktoré spájalo štyri príbuzné disciplíny vytvorené Pytagorasom a jeho nasledovníkmi - Pythagorejcami - systém vedomostí: geometria, aritmetika, astronómia a harmonická. .

Nie je možné oddeliť úspechy Pythagorasa od úspechov jeho študentov: podľa zvyku pripisovali svoje vlastné nápady a objavy svojmu učiteľovi. Prví Pythagorejci nezanechali žiadne písomnosti, všetky informácie si navzájom odovzdávali ústne. Takže o 2500 rokov neskôr historikom nezostáva nič iné, ako zrekonštruovať stratené poznatky podľa prepisov iných, neskorších autorov. Dajme uznanie Grékom: hoci meno Pytagoras opreli mnohými legendami, nepripisovali mu nič, čo by nemohol objaviť alebo rozvinúť do teórie. A veta nesúca jeho meno nie je výnimkou.

Taký jednoduchý dôkaz

Nie je známe, či Pytagoras sám objavil pomer medzi dĺžkami strán v pravouhlom trojuholníku alebo si tieto poznatky požičal. Starovekí autori tvrdili, že on sám a rád prerozprával legendu o tom, ako Pytagoras na počesť svojho objavu obetoval býka. Moderní historici sa prikláňajú k názoru, že sa o vete dozvedel tak, že sa zoznámil s matematikou Babylončanov. Tiež nevieme, v akej forme Pytagoras formuloval vetu: aritmeticky, ako je dnes zvykom, druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh, alebo geometricky, v duchu staroveku, štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov postavených na jeho korčuliach.

Verí sa, že to bol Pytagoras, ktorý dal prvý dôkaz vety, ktorá nesie jeho meno. Neprežilo, samozrejme. Podľa jednej verzie mohol Pytagoras použiť doktrínu proporcií vyvinutú v jeho škole. Na ňom bola založená najmä teória podobnosti, na ktorej je založené uvažovanie. Narysujme výšku k prepone c v pravouhlom trojuholníku s nohami a a b. Získame tri podobné trojuholníky vrátane pôvodného. Ich príslušné strany sú úmerné, a: c = m: a a b: c = n: b, odkiaľ a 2 = c · m a b 2 = c · n. Potom a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (obr. 4).

Toto je len rekonštrukcia navrhnutá jedným z historikov vedy, ale dôkaz, vidíte, je celkom jednoduchý: zaberie vám to len pár riadkov, nemusíte nič dokončovať, prestavovať, počítať... nie je prekvapujúce, že bol znovu objavený viac ako raz. Je obsiahnutá napríklad v „Cvičení geometrie“ od Leonarda z Pisy (1220) a dodnes sa uvádza v učebniciach.

Takýto dôkaz nebol v rozpore s predstavami Pytagorejcov o porovnateľnosti: spočiatku verili, že pomer dĺžok akýchkoľvek dvoch segmentov, a teda aj plôch priamočiarych útvarov, možno vyjadriť pomocou prirodzených čísel. Nebrali do úvahy žiadne iné čísla, nepovolili ani zlomky, nahradili ich pomermi 1: 2, 2: 3 atď. Iróniou osudu však bola Pytagorova veta, ktorá viedla Pytagorovcov k objavu nesúmerateľnosti uhlopriečky. námestia a jeho strany. Všetky pokusy o číselné vyjadrenie dĺžky tejto uhlopriečky – pre jednotkový štvorec sa rovná √2 – neviedli k ničomu. Ukázalo sa, že je jednoduchšie dokázať, že problém je neriešiteľný. V takom prípade majú matematici osvedčenú metódu – dôkaz protirečením. Mimochodom, pripisuje sa aj Pytagorasovi.

Existencia vzťahu, ktorý nie je vyjadrený prirodzenými číslami, ukončila mnohé myšlienky Pytagorejcov. Bolo jasné, že čísla, ktoré poznali, nestačia na vyriešenie ani jednoduchých problémov, nehovoriac o celej geometrii! Tento objav bol zlomovým bodom vo vývoji gréckej matematiky, jej ústredného problému. Najprv to viedlo k rozvoju doktríny o nesúmerateľných veličinách – iracionalite a potom k rozšíreniu pojmu číslo. Inými slovami, stáročná história štúdia množiny reálnych čísel začala práve ním.

Mozaika Pytagoras

Ak pokryjete rovinu štvorcami dvoch rôznych veľkostí, pričom každý malý štvorec obklopíte štyrmi veľkými, získate parkety „pytagorejská mozaika“. Takýto vzor už dlho zdobí kamenné podlahy, pripomínajúce staroveké dôkazy Pytagorovej vety (odtiaľ jej názov). Vložením štvorcovej siete na parkety rôznymi spôsobmi je možné získať priečky štvorcov postavené na stranách pravouhlého trojuholníka, ktoré navrhli rôzni matematici. Napríklad, ak usporiadate mriežku tak, aby sa všetky jej uzly zhodovali s pravými hornými vrcholmi malých štvorcov, objavia sa fragmenty kresby na dôkaz stredovekého perzského matematika an-Nairiziho, ktorý umiestnil do komentárov k Euklidovmu "Princípy". Je ľahké vidieť, že súčet plôch veľkých a malých štvorcov, počiatočných prvkov parkiet, sa rovná ploche jedného štvorca mriežky, ktorá je na ňom umiestnená. A to znamená, že špecifikovaná priečka je skutočne vhodná na kladenie parkiet: spojením výsledných mnohouholníkov do štvorcov, ako je znázornené na obrázku, nimi môžete vyplniť celú rovinu bez medzier a presahov.

Niektoré diskusie ma neskutočne bavia...

Ahoj, čo robíš?
- Áno, riešim problémy z časopisu.
-Wow! Nečakal od teba.
-Čo si nečakal?
- Že sa ponoríte do problémov. Zdá sa to byť múdre, ale vy veríte na všetky možné nezmysly.
- Prepáč nerozumiem. Čo nazývaš nezmyslom?
-Áno, celá tvoja matematika. Vidno, že je to úplná kravina.
-Ako to môžeš povedať? Matematika je kráľovnou vied...
-Len sa zaobídeme bez tohto pátosu, však? Matematika vôbec nie je veda, ale jedna súvislá hromada hlúpych zákonov a pravidiel.
-Čo?!
- Ach, no, nerob také veľké oči, sám vieš, že mám pravdu. Nie, nehádam sa, násobilka je skvelá vec, zohrala významnú úlohu vo vývoji kultúry a histórie ľudstva. Ale teraz je to všetko irelevantné! A potom, prečo veci komplikovať? V prírode neexistujú integrály ani logaritmy, to všetko sú vynálezy matematikov.
-Počkaj minútu. Matematici nič nevymysleli, pomocou osvedčených nástrojov objavili nové zákony interakcie čísel...
-Áno, samozrejme! A ty tomu veríš? Nevidíš, o akých nezmysloch sa neustále hovorí? Môžete uviesť príklad?
-Áno prosím.
-Áno prosím! Pytagorova veta.
- No, čo je s ňou?
-Tak to nie je! "Pythagorejské nohavice sú rovnaké na všetkých stranách," vidíte. Viete, že Gréci za čias Pytagorasa nenosili nohavice? Ako mohol Pytagoras hovoriť o niečom, o čom nemal ani potuchy?
-Počkaj minútu. Čo máš s nohavicami?
- Zdá sa, že sú Pythagorejci? Alebo nie? Priznávate, že Pytagoras nemal nohavice?
No, v skutočnosti to, samozrejme, nebolo...
-Aha, tak v samotnom názve vety je jasný rozpor! Ako potom môže človek brať vážne to, čo hovorí?
-Počkaj minútu. Pytagoras nehovoril nič o nohaviciach...
- Priznávaš sa, však?
- Áno... Môžem teda pokračovať? Pytagoras nepovedal nič o nohaviciach a nie je potrebné mu pripisovať nezmysly iných ľudí ...
- Áno, sám súhlasíš, že je to celé nezmysel!
- To som nepovedal!
- Práve som povedal. Si protirečíš.
-Takže. Stop. Čo hovorí Pytagorova veta?
-Že všetky nohavice sú si rovné.
-Sakra, čítal si vôbec túto vetu ?!
-Viem.
-Kde?
-Čítam.
-Čo si čítal?!
- Lobačevskij.
*pauza*
- Prepáčte, ale čo má Lobačevskij spoločné s Pytagorasom?
- No, Lobačevskij je tiež matematik a zdá sa, že je ešte tvrdšou autoritou ako Pytagoras, hovoríte nie?
*vzdych*
-No a čo povedal Lobačevskij o Pytagorovej vete ?
- Že nohavice sú rovnaké. Ale to je nezmysel! Ako môžeš nosiť také nohavice? A okrem toho Pytagoras vôbec nenosil nohavice!
- Lobačevskij to povedal?!
*prestávka na sekundu, sebavedomo*
-Áno!
- Ukáž mi, kde je to napísané.
- Nie, nie je to napísané tak priamo ...
- Ako sa volá táto kniha?
- To nie je kniha, to je novinový článok. O tom, že Lobačevskij bol v skutočnosti agent nemeckej rozviedky... no, to je vedľa. Každopádne, presne to povedal. Je tiež matematik, takže on a Pytagoras sú zároveň.
- Pytagoras nehovoril nič o nohaviciach.
-No áno! O tom to je. Všetko sú to kraviny.
- Poďme po poriadku. Ako vy osobne viete, čo hovorí Pytagorova veta?
-Ale no tak! Každý to vie. Opýtajte sa kohokoľvek, hneď vám odpovie.
- Pythagorejské nohavice nie sú nohavice ...
-Och, samozrejme! Toto je alegória! Viete, koľkokrát som to už počul?
-Pytagorova veta hovorí, že súčet druhých mocnín nôh sa rovná druhej mocnine prepony. A všetko!
-Kde sú nohavice?
- Áno, Pytagoras nemal žiadne nohavice!!!
- No vidíš, hovorím ti o tom. Celá tvoja matematika je blbosť.
-A to nie je svinstvo! Pozrite sa sami. Tu je trojuholník. Tu je prepona. Tu sú korčule...
-Prečo sú to zrazu nohy a toto je prepona? Možno naopak?
-Nie. Nohy sú dve strany, ktoré tvoria pravý uhol.
No, tu je pre vás ďalší pravý uhol.
- Nie je rovný.
-A čo je on, krivka ?
- Nie, je ostrý.
Áno, aj tento je ostrý.
-Nie je ostrý, je rovný.
- Vieš, neklam ma! Nazvete veci ako chcete, len aby ste výsledok prispôsobili tomu, čo chcete.
- Dve krátke strany pravouhlého trojuholníka sú nohy. Dlhá strana je prepona.
-A kto je nižší – tá noha ? A prepona sa teda už netočí? Počúvate sa zvonku, aké nezmysly to hovoríte. Na dvore 21. storočia výkvet demokracie a máte akýsi stredovek. Jeho strany, vidíte, sú nerovnaké ...
Neexistuje žiadny pravouhlý trojuholník s rovnakými stranami...
-Si si istý? Dovoľ mi nakresliť ťa. Pozrite sa sem. Obdĺžnikový? Obdĺžnikový. A všetky strany sú si rovné!
- Nakreslili ste štvorec.
-No a čo?
- Štvorec nie je trojuholník.
-Och, samozrejme! Akonáhle nám nevyhovuje, okamžite „nie trojuholník“! Neklamte ma. Počítajte sami: jeden roh, dva rohy, tri rohy.
-Štyri.
-No a čo?
-To je štvorec.
A čo štvorec, nie trojuholník? On je horší, však? Len preto, že som to nakreslil? Sú tam tri rohy? Existuje, a dokonca aj tu je jeden náhradný. No, tu je, vieš...
- Dobre, nechajme túto tému.
-Áno, už to vzdávaš? Niet čo namietať? Priznávaš, že matematika je svinstvo?
- Nie, nechcem.
- No, opäť, opäť skvelé! Práve som ti všetko do detailov dokázal! Ak je celá vaša geometria založená na učení Pytagoras, čo je, prepáčte, úplný nezmysel ... tak o čom sa môžete ďalej baviť?
- Učenie Pythagoras nie je nezmysel ...
- No, ako! A potom som nepočul o škole Pytagorejcov! Tí, ak chcete vedieť, sa oddávali orgiám!
- O čo tu ide...
-A Pytagoras bol vo všeobecnosti bubák! Sám povedal, že Platón bol jeho priateľom.
-Pytagoras?!
-Ty si nevedel? Áno, všetci to boli fagani. A trojnožky na hlave. Jeden spal v sude, druhý behal po meste nahý ...
Diogenes spal v sude, ale bol to filozof, nie matematik...
-Och, samozrejme! Ak niekto vliezol do suda, tak už nie je matematik! Prečo potrebujeme viac hanby? Vieme, vieme, prešli sme. Ale ty mi vysvetlíš, prečo by pre mňa mali byť autoritou všelijakí fagani, ktorí žili pred tritisíc rokmi a behali bez nohavíc? Prečo by som mal akceptovať ich názor?
- Dobre, choď...
- Nie, počúvaj! Veď aj ja som ťa počúval. Toto sú vaše výpočty, výpočty ... Všetci viete počítať! A hneď sa vás opýtajte niečo k veci: "toto je kvocient, toto je premenná a toto sú dve neznáme." A vy mi to povedzte všeobecne, bez podrobností! A bez akýchkoľvek neznámych, neznámych, existenčných... Je mi z toho zle, vieš?
-Rozumieť.
- Vysvetlite mi, prečo dvakrát dva sú vždy štyri? Kto s tým prišiel? A prečo som povinný to brať ako samozrejmosť a nemám právo pochybovať?
- Pochybuj koľko chceš...
- Nie, vysvetlite mi to! Len bez týchto tvojich vecí, ale normálne, ľudsky, aby bolo jasno.
-Dva krát dva sa rovná štyrom, pretože dva krát dva sa rovná štyrom.
- Maslový olej. čo si mi povedal nové?
- Dva krát dva sú dva krát dva. Vezmi dve a dve a spoj ich...
Takže pridať alebo vynásobiť?
-To je to isté...
-Obaja! Ukazuje sa, že ak sčítam a vynásobím sedem a osem, vyjde to tiež rovnako?
-Nie.
-A prečo?
Pretože sedem plus osem sa nerovná...
-A keď vynásobím deväť dvomi, budú to štyri ?
-Nie.
-A prečo? Násobené dva - ukázalo sa, ale zrazu prievan s deviatkou?
-Áno. Dvakrát deväť je osemnásť.
-A dvakrát sedem ?
-štrnásť.
-A dvakrát päť?
- Desať.
- To znamená, že štyri sa získajú iba v jednom konkrétnom prípade?
-Presne tak.
-Teraz sa zamysli. Hovoríte, že existujú určité pevné zákony a pravidlá pre násobenie. O akých zákonoch tu môžeme hovoriť, ak sa v každom konkrétnom prípade získa iný výsledok?!
-To nie je celkom pravda. Niekedy môže byť výsledok rovnaký. Napríklad dvakrát šesť sa rovná dvanástim. A štyrikrát tri - tiež ...
-Ešte horšie! Dva, šesť, tri štyri – vôbec nič! Sami vidíte, že výsledok nijako nezávisí od prvotných údajov. To isté rozhodnutie sa robí v dvoch radikálne odlišných situáciách! A to aj napriek tomu, že tie isté dve, ktoré neustále berieme a za nič nemeníme, dáva pri všetkých číslach vždy inú odpoveď. Pýtate sa, kde je logika?
-Ale to je len logické!
- Pre teba - možno. Vy matematici vždy veríte na všetky druhy transcendentálnych svinstiev. A tieto tvoje výpočty ma nepresvedčia. A viete prečo?
-Prečo?
-Pretože ja viem prečo vlastne potrebuješ matematiku. O čo jej ide? "Káťa má vo vrecku jedno jablko a Mišo päť. Koľko jabĺk má dať Mišo Káťe, aby mali rovnaké jablká?" A vieš čo ti poviem? Misha nebuď nikomu nič dlžný rozdávanie! Káťa má jedno jablko - a to stačí. Nestačí jej? Nech ide tvrdo makať a ona si na seba poctivo zarobí aj na jablká, aj na hrušky, aj na ananásy v šampanskom. A ak chce niekto nepracovať, ale iba riešiť problémy – nech sedí pri svojom jednom jablku a nepredvádza sa!

Nohavice – získajte platný promo kód ridestep u akademika alebo si kúpte nohavice so zľavou vo výpredaji ridestep

Jarg. školy Kyvadlová doprava. Pytagorova veta, ktorá stanovuje vzťah medzi plochami štvorcov postavených na prepone a nohami pravouhlého trojuholníka. BTS, 835... Veľký slovník ruských prísloví

Pytagorove nohavice- Komický názov Pytagorovej vety, ktorý vznikol vďaka tomu, že štvorce postavené na stranách obdĺžnika a rozbiehajúce sa v rôznych smeroch pripomínajú strih nohavíc. Mal som rád geometriu ... a na prijímacej skúške na univerzitu som dokonca dostal od ... ... Frazeologický slovník ruského literárneho jazyka

Pytagorove nohavice- Hravý názov pre Pytagorovu vetu, ktorá stanovuje pomer medzi plochami štvorcov postavených na prepone a nohami pravouhlého trojuholníka, ktorý vyzerá ako strih nohavíc na výkresoch ... Slovník mnohých výrazov

Cudzinec: o nadanom mužovi Porov. To je istota mudrca. V dávnych dobách by pravdepodobne vynašiel pythagorejské nohavice ... Saltykov. Pestré písmená. Pythagorejské nohavice (geom.): v obdĺžniku sa štvorec prepony rovná štvorcom nôh (učenie ... ... Michelsonov veľký vysvetľujúci frazeologický slovník

Pythagorean nohavice sú rovnaké na všetkých stranách- Počet tlačidiel je známy. Prečo je péro stiesnené? (zhruba) o nohaviciach a mužskom pohlavnom orgáne. Pythagorean nohavice sú rovnaké na všetkých stranách. Aby sme to dokázali, je potrebné odstrániť a ukázať 1) o Pytagorovej vete; 2) o širokých nohaviciach... Živá reč. Slovník hovorových výrazov

Pythagorejské nohavice (vynájsť) cudzí jazyk. o nadaného človeka. St Toto je nepochybný mudrc. V dávnych dobách by pravdepodobne vynašiel pythagorejské nohavice ... Saltykov. Pestré písmená. Pythagorejské nohavice (geom.): v obdĺžniku, štvorec prepony ... ... Michelsonov veľký vysvetľujúci frazeologický slovník (pôvodný pravopis)

Pythagorejské nohavice sú rovnaké vo všetkých smeroch- Žartovný dôkaz Pytagorovej vety; tiež zo žartu o kamarátových širokých nohaviciach... Slovník ľudovej frazeológie

Adj., hrubý...

PYTAGORISKÉ NOHAVICE SÚ ROVNAKÉ NA VŠETKÝCH STRANÁCH (POČET TLAČIDIEL JE ZNÁMÝ. PREČO JE ZABLOKOVANÝ? / NA DÔKAZ JE NUTNÉ ODŇAŤ A ZOBRAZIŤ)- adj., hrubý ... Slovník moderné hovorové frazeologické jednotky a porekadlá

Exist., pl., use. komp. často Morfológia: pl. Čo? nohavice, (nie) čo? nohavice na čo? nohavice, (pozri) čo? nohavice čo? nohavice, čo? o nohaviciach 1. Nohavice sú kus odevu, ktorý má dve krátke alebo dlhé nohavice a kryty nižšia časť… … Slovník Dmitriev

knihy

• Pythagorejské nohavice, . V tejto knihe nájdete fantáziu a dobrodružstvo, zázraky a fikciu. Vtipné aj smutné, obyčajné aj tajomné... A čo ešte treba na zábavné čítanie? Hlavná vec je byť…
• Zázraky na kolesách, Markusha Anatoly. Milióny kolies sa točia po celej zemi – odvaľujú autá, merajú čas v hodinách, klopú pod vlaky, vykonávajú nespočetné množstvo prác v obrábacích strojoch a rôznych mechanizmoch. Oni…

V jednej veci si môžete byť stopercentne istí, že na otázku, aká je druhá mocnina prepony, každý dospelý odvážne odpovie: "Súčet štvorcov nôh." Táto veta je pevne zakorenená v mysli každého vzdelaného človeka, ale stačí niekoho požiadať, aby to dokázal, a potom môžu nastať ťažkosti. Preto si zapamätajme a pouvažujme o rôznych spôsoboch dokazovania Pytagorovej vety.

Stručný prehľad životopisu

Pytagorova veta je známa takmer každému, ale z nejakého dôvodu nie je biografia osoby, ktorá ju vytvorila, taká populárna. Opravíme to. Preto pred štúdiom rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety sa musíte krátko zoznámiť s jeho osobnosťou.

Pytagoras - filozof, matematik, mysliteľ, pôvodom z roku Dnes je veľmi ťažké odlíšiť jeho životopis od legiend, ktoré sa vyvinuli na pamiatku tohto velikána. Ale ako vyplýva zo spisov jeho nasledovníkov, Pytagoras zo Samosu sa narodil na ostrove Samos. Jeho otec bol obyčajný kamenár, ale matka pochádzala zo šľachtickej rodiny.

Podľa legendy narodenie Pythagorasa predpovedala žena menom Pythia, na počesť ktorej bol chlapec pomenovaný. Podľa jej predpovede mal narodený chlapec priniesť ľudstvu veľa výhod a dobra. Čo v skutočnosti urobil.

Zrod vety

V mladosti sa Pytagoras presťahoval do Egypta, aby sa tam stretol so slávnymi egyptskými mudrcami. Po stretnutí s nimi bol prijatý na štúdium, kde spoznal všetky veľké úspechy egyptskej filozofie, matematiky a medicíny.

Pravdepodobne to bolo v Egypte, kde sa Pytagoras inšpiroval majestátnosťou a krásou pyramíd a vytvoril svoju veľkú teóriu. Čitateľov to môže šokovať, no moderní historici veria, že Pytagoras svoju teóriu nepreukázal. Svoje poznatky ale len odovzdal svojim nasledovníkom, ktorí neskôr dokončili všetky potrebné matematické výpočty.

Nech je to akokoľvek, dnes nie je známa jedna technika na dokázanie tejto vety, ale niekoľko naraz. Dnes môžeme len hádať, ako presne starí Gréci robili svoje výpočty, takže tu zvážime rôzne spôsoby dokázania Pytagorovej vety.

Pytagorova veta

Skôr ako začnete s akýmikoľvek výpočtami, musíte zistiť, ktorú teóriu chcete dokázať. Pytagorova veta znie takto: "V trojuholníku, v ktorom je jeden z uhlov 90 o, sa súčet štvorcov nôh rovná štvorcu prepony."

Celkovo existuje 15 rôznych spôsobov, ako dokázať Pytagorovu vetu. Ide o pomerne veľké číslo, preto venujme pozornosť najobľúbenejším z nich.

Metóda jedna

Najprv si definujme, čo máme. Tieto údaje budú platiť aj pre iné spôsoby dokazovania Pytagorovej vety, takže by ste si mali okamžite zapamätať všetky dostupné zápisy.

Predpokladajme, že je daný pravouhlý trojuholník s nohami a, b a preponou rovnou c. Prvý spôsob dôkazu je založený na skutočnosti, že z pravouhlého trojuholníka treba nakresliť štvorec.

Aby ste to dosiahli, musíte nakresliť segment rovný nohe do dĺžky nohy a a naopak. Takže by sa mali ukázať dve rovnaké strany štvorca. Zostáva len nakresliť dve rovnobežné čiary a štvorec je pripravený.

Vo výslednom obrázku musíte nakresliť ďalší štvorec so stranou rovnajúcou sa prepone pôvodného trojuholníka. Aby ste to dosiahli, z vrcholov ac a sv musíte nakresliť dva paralelné segmenty rovné c. Tak dostaneme tri strany štvorca, z ktorých jedna je prepona pôvodného pravouhlého trojuholníka. Zostáva len nakresliť štvrtý segment.

Na základe výsledného čísla môžeme konštatovať, že plocha vonkajšieho štvorca je (a + b) 2. Ak sa pozriete dovnútra postavy, môžete vidieť, že okrem vnútorného štvorca má štyri správny trojuholník. Plocha každého je 0,5 priem.

Preto je oblasť: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Preto (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

A preto s 2 \u003d a 2 + v 2

Veta bola dokázaná.

Metóda dva: podobné trojuholníky

Tento vzorec na dôkaz Pytagorovej vety bol odvodený na základe výroku z časti geometrie o podobných trojuholníkoch. Hovorí, že rameno pravouhlého trojuholníka je stred úmerný jeho prepone a úsečke prepony vychádzajúcej z vrcholu uhla 90°.

Počiatočné údaje zostávajú rovnaké, takže začnime hneď s dôkazom. Nakreslíme úsečku CD kolmú na stranu AB. Na základe vyššie uvedeného tvrdenia sú nohy trojuholníkov rovnaké:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Aby sme odpovedali na otázku, ako dokázať Pytagorovu vetu, dôkaz musí byť podaný umocnením oboch nerovností.

AC 2 \u003d AB * HELL a SV 2 \u003d AB * DV

Teraz musíme pridať výsledné nerovnosti.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), kde AD + DV \u003d AB

Ukazuje sa, že:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

A preto:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Dôkaz Pytagorovej vety a rôzne spôsoby jej riešenia si vyžadujú všestranný prístup k tomuto problému. Táto možnosť je však jednou z najjednoduchších.

Ďalší spôsob výpočtu

Opis rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety nemusí nič povedať, kým nezačnete cvičiť sami. Mnohé metódy zahŕňajú nielen matematické výpočty, ale aj konštrukciu nových útvarov z pôvodného trojuholníka.

V tomto prípade je potrebné doplniť ďalší pravouhlý trojuholník VSD z nohy lietadla. Takže teraz existujú dva trojuholníky so spoločnou nohou BC.

S vedomím, že plochy podobných útvarov majú pomer ako štvorce ich podobných lineárnych rozmerov, potom:

S avs * s 2 - S avd * v 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (od 2 do 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

od 2 do 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + v 2

Keďže táto možnosť je sotva vhodná z rôznych metód dokazovania Pytagorovej vety pre ročník 8, môžete použiť nasledujúcu techniku.

Najjednoduchší spôsob, ako dokázať Pytagorovu vetu. Recenzie

Historici sa domnievajú, že táto metóda bola prvýkrát použitá na preukázanie vety v starovekom Grécku. Je to najjednoduchšie, pretože nevyžaduje absolútne žiadne výpočty. Ak nakreslíte obrázok správne, bude jasne viditeľný dôkaz tvrdenia, že a 2 + b 2 \u003d c 2.

Podmienky pre túto metódu sa budú mierne líšiť od predchádzajúcej. Na dôkaz vety predpokladajme, že pravouhlý trojuholník ABC je rovnoramenný.

Zoberieme preponu AC ako stranu štvorca a nakreslíme jeho tri strany. Okrem toho je potrebné vo výslednom štvorci nakresliť dve diagonálne čiary. Takže vo vnútri dostanete štyri rovnoramenné trojuholníky.

K nohám AB a CB musíte tiež nakresliť štvorec a nakresliť jednu diagonálnu čiaru v každej z nich. Prvý riadok nakreslíme z vrcholu A, druhý - z C.

Teraz sa musíte dôkladne pozrieť na výsledný obrázok. Keďže na prepone AC sú štyri trojuholníky, ktoré sa rovnajú pôvodnej prepone, a dva na nohách, naznačuje to pravdivosť tejto vety.

Mimochodom, vďaka tejto metóde dokazovania Pytagorovej vety sa zrodila slávna fráza: "Pytagorove nohavice sú si vo všetkých smeroch rovné."

Dôkaz od J. Garfielda

James Garfield je 20. prezidentom Spojených štátov amerických. Okrem toho, že ako vládca USA zanechal stopu v histórii, bol aj nadaným samoukom.

Na začiatku svojej kariéry bol obyčajným učiteľom na ľudovej škole, no čoskoro sa stal riaditeľom jednej z vyšších vzdelávacie inštitúcie. Túžba po sebarozvoji mu umožnila ponúknuť novú teóriu dôkazu Pytagorovej vety. Veta a príklad jej riešenia sú nasledovné.

Najprv musíte na kus papiera nakresliť dva pravouhlé trojuholníky tak, aby noha jedného z nich bola pokračovaním druhého. Vrcholy týchto trojuholníkov musia byť spojené, aby skončili lichobežníkom.

Ako viete, plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu jeho základov a výšky.

S=a+b/2 * (a+b)

Ak vezmeme do úvahy výsledný lichobežník ako obrazec pozostávajúci z troch trojuholníkov, potom jeho oblasť možno nájsť takto:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Teraz musíme vyrovnať dva pôvodné výrazy

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + v 2

O Pytagorovej vete a o tom, ako ju dokázať, možno napísať viac ako jeden zväzok študijná príručka. Má to však zmysel, keď sa tieto poznatky nedajú uviesť do praxe?

Praktická aplikácia Pytagorovej vety

Bohužiaľ, moderné školské osnovy umožňujú použitie tejto vety iba v geometrických problémoch. Absolventi už čoskoro opustia steny školy bez toho, aby vedeli, ako môžu svoje vedomosti a zručnosti uplatniť v praxi.

V skutočnosti použite Pytagorovu vetu vo svojom Každodenný život každý môže. A nielen v odborná činnosť ale aj pri bežných domácich prácach. Uvažujme o niekoľkých prípadoch, keď Pytagorova veta a metódy jej dôkazu môžu byť mimoriadne potrebné.

Spojenie vety a astronómie

Zdalo by sa, ako môžu byť hviezdy a trojuholníky spojené na papieri. V skutočnosti je astronómia vedecký odbor, v ktorom sa Pytagorova veta široko používa.

Uvažujme napríklad o pohybe svetelného lúča v priestore. Vieme, že svetlo sa šíri oboma smermi rovnakou rýchlosťou. Trajektóriu nazývame AB, po ktorej sa svetelný lúč pohybuje l. A polovicu času, ktorý trvá, kým sa svetlo dostane z bodu A do bodu B, hovorme t. A rýchlosť lúča - c. Ukazuje sa, že: c*t=l

Ak sa na ten istý lúč pozriete z inej roviny, napríklad z vesmírneho parníka, ktorý sa pohybuje rýchlosťou v, tak pri takomto pozorovaní telies sa ich rýchlosť zmení. V tomto prípade sa aj stacionárne prvky budú pohybovať rýchlosťou v v opačnom smere.

Povedzme, že komiksová vložka pláva doprava. Potom sa body A a B, medzi ktorými sa lúč ponáhľa, presunú doľava. Navyše, keď sa lúč presunie z bodu A do bodu B, bod A má čas sa pohnúť, a preto svetlo už dorazí do nového bodu C. Ak chcete nájsť polovičnú vzdialenosť, o ktorú sa bod A posunul, musíte vynásobiť rýchlosť vložky o polovicu doby prejazdu lúča (t ").

A aby ste zistili, ako ďaleko by sa mohol lúč svetla dostať počas tejto doby, musíte určiť polovicu dráhy nového buku s a získať nasledujúci výraz:

Ak si predstavíme, že svetelné body C a B, ako aj priestorová vložka sú vrcholmi rovnoramenného trojuholníka, potom ho úsečka z bodu A po vložku rozdelí na dva pravouhlé trojuholníky. Preto vďaka Pytagorovej vete môžete nájsť vzdialenosť, ktorú by mohol prejsť lúč svetla.

Tento príklad, samozrejme, nie je najúspešnejší, keďže len málokomu sa pošťastí vyskúšať si ho v praxi. Preto uvažujeme o všednejších aplikáciách tejto vety.

Rozsah prenosu mobilného signálu

Moderný život si už nemožno predstaviť bez existencie smartfónov. Nakoľko by však boli užitočné, keby nemohli pripojiť účastníkov prostredníctvom mobilnej komunikácie?!

Kvalita mobilnej komunikácie priamo závisí od výšky, v ktorej sa nachádza anténa mobilného operátora. Ak chcete vypočítať, ako ďaleko od mobilnej veže môže telefón prijať signál, môžete použiť Pytagorovu vetu.

Povedzme, že potrebujete nájsť približnú výšku stacionárnej veže, aby mohla šíriť signál v okruhu 200 kilometrov.

AB (výška veže) = x;

BC (polomer prenosu signálu) = 200 km;

OS (polomer zemegule) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Aplikovaním Pytagorovej vety zistíme, že minimálna výška veže by mala byť 2,3 kilometra.

Pytagorova veta v každodennom živote

Napodiv, Pytagorova veta môže byť užitočná aj v každodenných záležitostiach, ako je napríklad určenie výšky skrine. Na prvý pohľad nie je potrebné používať také zložité výpočty, pretože môžete jednoducho vykonať merania pomocou pásky. Mnohí sú však prekvapení, prečo počas procesu montáže vznikajú určité problémy, ak boli všetky merania vykonané viac než presne.

Faktom je, že šatník je zostavený v horizontálnej polohe a až potom stúpa a je inštalovaný proti stene. Preto musí bočná stena skrine v procese zdvíhania konštrukcie voľne prechádzať pozdĺž výšky aj diagonálne miestnosti.

Predpokladajme, že existuje šatníková skriňa s hĺbkou 800 mm. Vzdialenosť od podlahy po strop - 2600 mm. Skúsený výrobca nábytku povie, že výška skrinky by mala byť o 126 mm menšia ako výška miestnosti. Ale prečo práve 126 mm? Pozrime sa na príklad.

Pri ideálnych rozmeroch skrine si overme fungovanie Pytagorovej vety:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - všetko sa zbieha.

Povedzme, že výška skrine nie je 2474 mm, ale 2505 mm. potom:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Preto táto skrinka nie je vhodná na inštaláciu v tejto miestnosti. Keďže pri zdvíhaní do zvislej polohy môže dôjsť k poškodeniu jeho tela.

Možno, po zvážení rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety rôznymi vedcami, môžeme dospieť k záveru, že je to viac než pravda. Teraz môžete získané informácie použiť vo svojom každodennom živote a byť si úplne istí, že všetky výpočty budú nielen užitočné, ale aj správne.