Ako neobvyklým spôsobom nájsť oblasť pravého trojuholníka. Ako neobvyklým spôsobom nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka Oblasť preponou a nohou

Na hodinách geometrie na strednej škole nám všetci hovorili o trojuholníku. V rámci školských osnov však dostávame len najnutnejšie vedomosti a učíme sa najbežnejšie a štandardné metódy výpočtu. Existujú nejaké neobvyklé spôsoby, ako túto hodnotu nájsť?

Na úvod si pripomeňme, ktorý trojuholník sa považuje za obdĺžnikový, a tiež označme pojem plocha.

Obdĺžnikový trojuholník je uzavretý geometrický útvar, ktorého jeden z rohov je 90 0. Integrálne pojmy v definícii sú nohy a prepona. Pod nohami rozumieme dve strany, ktoré tvoria pravý uhol v mieste spojenia. Hypotenuse je strana oproti pravému uhlu. Pravý trojuholník môžu byť rovnoramenné (jeho dve strany budú mať rovnakú veľkosť), nikdy však nebude rovnostranný (všetky strany sú rovnako dlhé). Nebudeme podrobne analyzovať definície výšky, mediánu, vektorov a ďalších matematických pojmov. Ľahko sa nachádzajú v referenčných knihách.

Oblasť pravého trojuholníka. Na rozdiel od obdĺžnikov platí pravidlo o

produkt strán v definícii neplatí. Ak hovoríme suchou rečou pojmov, potom sa plocha trojuholníka chápe ako vlastnosť tohto čísla zaberať časť roviny, vyjadrenú číslom. Celkom ťažko pochopiteľné, musíte súhlasiť. Nesnažme sa hlboko ponoriť do definície, to nie je náš cieľ. Prejdime k hlavnej veci - ako nájsť oblasť pravého trojuholníka? Výpočty nebudeme vykonávať sami, označíme iba vzorce. Za týmto účelom definujeme označenia: A, B, C - strany trojuholníka, nohy - AB, BC. Uhol ACB je rovný. S je plocha trojuholníka, h n n je výška trojuholníka, kde nn je strana, na ktorú je spustený.

Metóda 1. Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka, ak je známa veľkosť jeho nôh

Metóda 2. Vyhľadajte oblasť rovnoramenného pravouhlého trojuholníka

Metóda 3. Výpočet plochy cez obdĺžnik

Dokončujeme vytváranie pravouhlého trojuholníka na štvorec (ak je trojuholník

rovnoramenný) alebo obdĺžnik. Dostaneme jednoduchý štvoruholník zložený z 2 rovnakých pravouhlých trojuholníkov. V takom prípade sa hodnota plochy jedného z nich bude rovnať polovici plochy výsledného obrázka. S obdĺžnika sa počíta súčinom strán. Označme túto hodnotu M. Hľadaná hodnota oblasti sa bude rovnať polovici M.

Metóda 4. "Pytagorove nohavice". Slávna Pytagorova veta

Všetci si pamätáme jej formuláciu: „súčet štvorcov nôh ...“. Ale nie každý môže

povedzme, kde sú nejaké „nohavice“. Faktom je, že Pythagoras spočiatku študoval vzťah pravého trojuholníka postaveného po stranách. Po identifikácii vzorov v pomere strán štvorcov dokázal odvodiť vzorec, ktorý je nám všetkým známy. Môže sa použiť, keď veľkosť jednej zo strán nie je známa.

Metóda 5. Ako pomocou Heronovho vzorca nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka

Tiež pomerne jednoduchý spôsob výpočtu. Vzorec predpokladá vyjadrenie plochy trojuholníka z hľadiska číselných hodnôt jeho strán. Pre výpočty musíte poznať hodnoty všetkých strán trojuholníka.

S \u003d (p-AC) * (p-BC), kde p \u003d (AB + BC + AC) * 0,5

Okrem vyššie uvedeného existuje mnoho ďalších spôsobov, ako zistiť veľkosť takej záhadnej postavy, ako je trojuholník. Medzi nimi: výpočet metódou vpísanej alebo opísanej kružnice, výpočet pomocou súradníc vrcholov, pomocou vektorov, absolútnych hodnôt, sínusov, tangens.

Trojuholník je plochý geometrický tvar s jedným uhlom rovným 90 °. Navyše v geometrii je veľmi často potrebné vypočítať plochu takého útvaru. Nižšie vám povieme, ako na to.

Najjednoduchší vzorec na určenie oblasti pravouhlého trojuholníka

Počiatočné údaje, kde: a a b sú strany trojuholníka vychádzajúce z pravého uhla.

To znamená, že plocha sa rovná polovici súčinu oboch strán, ktoré vychádzajú z pravého uhla. Na výpočet plochy obyčajného trojuholníka sa samozrejme používa Heronov vzorec, ale na určenie veľkosti potrebujete poznať dĺžku troch strán. Preto budete musieť vypočítať preponu a toto je čas navyše.

Pomocou Heronovho vzorca nájdite oblasť pravouhlého trojuholníka

Toto je známy a originálny vzorec, ale na to budete musieť vypočítať preponu pozdĺž dvoch častí pomocou Pytagorovej vety.

V tomto vzorci: a, b, c sú strany trojuholníka a p je semiperimeter.

Nájdite oblasť pravouhlého trojuholníka podľa prepony a uhla

Ak vo vašom probléme nie je známa žiadna z nôh, nemôžete použiť najjednoduchšiu metódu. Ak chcete určiť veľkosť, musíte vypočítať dĺžku nôh. To sa dá urobiť jednoducho preponou a kosínusom zahrnutého uhla.

b \u003d c × cos (α)

Keď ste sa naučili dĺžku jednej z nôh, podľa Pytagorovej vety môžete vypočítať, že druhá strana vychádza z pravého uhla.

b 2 \u003d c 2-a 2

V tomto vzorci sú c a a prepona a noha. Teraz môžete vypočítať plochu pomocou prvého vzorca. Rovnakým spôsobom môžete vypočítať jednu z nôh, ktorá má druhú a uhol. V tomto prípade sa jedna z požadovaných strán bude rovnať súčinu nohy a dotyčnice uhla. Existujú aj iné spôsoby výpočtu oblasti, ale keď poznáte základné vety a pravidlá, môžete ľahko nájsť požadovanú hodnotu.

Ak nemáte žiadnu zo strán trojuholníka, ale iba medián a jeden z uhlov, môžete vypočítať dĺžku strán. Vykonáte to tak, že pomocou vlastností mediánu vydelíte pravý trojuholník dvoma. Podľa toho môže pôsobiť ako prepona, ak opustí ostrý uhol. Použite Pytagorovu vetu a určte dĺžku strán trojuholníka vychádzajúceho z pravého uhla.

Ako vidíte, keď poznáte základné vzorce a Pytagorovu vetu, môžete vypočítať plochu pravouhlého trojuholníka, ktorý má iba jeden z uhlov a dĺžku jednej zo strán.

Pravouhlý trojuholník je trojuholník, ktorého jeden z uhlov je 90 °. Jeho oblasť možno nájsť, ak sú známe dve nohy. Môžete samozrejme ísť dlhou cestou - nájsť preponu a vypočítať plochu podľa, ale vo väčšine prípadov to bude trvať len čas navyše. Preto vzorec pre oblasť pravouhlého trojuholníka vyzerá takto:

Plocha pravouhlého trojuholníka je polovicou súčinu nôh.

Príklad výpočtu oblasti pravouhlého trojuholníka.
Daný pravouhlý trojuholník s nohami a \u003d 8 cm, b \u003d 6 cm.
Vypočítame plochu:
Plocha sa rovná: 24 cm 2

Aj v pravouhlom trojuholníku sa uplatňuje Pytagorova veta. - súčet štvorcov dvoch ramien sa rovná štvorcu prepony.
Plošný vzorec pre rovnoramenný pravý trojuholník sa počíta rovnako ako pre bežný pravý trojuholník.

Príklad výpočtu plochy rovnoramenného pravouhlého trojuholníka:
Daný trojuholník s nohami a \u003d 4 cm, b \u003d 4 cm. Vypočítajte plochu:
Vypočítame plochu: \u003d 8 cm 2

Vzorec oblasti prepony pre pravouhlý trojuholník je možné použiť, ak je v podmienke uvedená jedna noha. Z Pytagorovej vety nájdeme dĺžku neznámej nohy. Napríklad vzhľadom na preponu c a nohu a, noha b bude sa rovnať:
Ďalej vypočítame plochu pomocou obvyklého vzorca. Príklad výpočtu vzorca pre plochu pravouhlého trojuholníka preponou je totožný s tým, ktorý je popísaný vyššie.

Zvážte zaujímavý problém, ktorý pomôže upevniť vedomosti o vzorcoch pre riešenie trojuholníka.
Úloha: plocha pravouhlého trojuholníka je 180 štvorcových. pozri nájdite menšie rameno trojuholníka, ak je o 31 cm menšie ako druhé.
Rozhodnutie: označujú nohy a a b... Teraz vložme údaje do plošného vzorca: tiež vieme, že jedna noha je menšia ako druhá a – b \u003d 31 cm
Od prvej podmienky to dostaneme
Túto podmienku dosadíme do druhej rovnice: