Ako urobiť plochý vzor - vzor pre kužeľ alebo zrezaný kužeľ určených rozmerov. Jednoduchý výpočet zametania

V geometrii je zrezaný kužeľ telesom, ktoré je tvorené rotáciou obdĺžnikového lichobežníka okolo jeho bočnej strany, ktorá je kolmá na základňu. Ako sa rátajú skrátený objem kužeľa, každý vie zo školského kurzu geometrie, ale v praxi tieto znalosti často využívajú dizajnéri rôznych strojov a mechanizmov, vývojári niektorých spotrebných tovarov aj architekti.

Výpočet objemu zrezaného kužeľa

Vzorec na výpočet objemu zrezaného kužeľa

Objem zrezaného kužeľa sa vypočíta podľa vzorca:

V.

πh (R 2 + R × r + r 2)

h - výška kužeľa

r - polomer hornej základne

R - polomer spodnej základne

V. - objem zrezaného kužeľa

π - 3,14

S geometrickými telesami ako napr zrezané kužele, v každodennom živote sa všetci zrazia pomerne často, ak nie neustále. Ich tvar má širokú škálu nádob, ktoré sa široko používajú v každodennom živote: vedierka, poháre, poháre. Je zrejmé, že návrhári, ktorí ich vyvinuli, pravdepodobne použili vzorec, ktorým skrátený objem kužeľa, pretože táto hodnota je v tomto prípade veľmi dôležitá, pretože práve ona určuje takú dôležitú charakteristiku, ako je kapacita výrobku.

Inžinierske stavby, ktoré sú zrezané kužele, možno často vidieť vo veľkých priemyselných podnikoch, ako aj v tepelných a jadrových elektrárňach. Toto je tvar chladiacich veží - zariadení určených na chladenie veľkého množstva vody vstrekovaním protiprúdu atmosférického vzduchu. Najčastejšie sa tieto konštrukcie používajú v prípadoch, keď sa vyžaduje výrazné zníženie teploty veľkého množstva kvapaliny v krátkom čase. Od vývojárov týchto štruktúr sa vyžaduje, aby určili skrátený objem kužeľa vzorec na výpočet, ktorý je dosť jednoduchý a je známy všetkým, ktorí naraz študovali na strednej škole dobre.

Časti s týmto geometrickým tvarom sa často nachádzajú v dizajne rôznych technických zariadení. Napríklad prevodové stupne používané v systémoch, kde sa vyžaduje zmena smeru kinetického prevodu, sa najčastejšie realizujú pomocou kužeľových prevodov. Tieto diely sú neoddeliteľnou súčasťou širokej škály prevodoviek a automatických a manuálnych prevodoviek používaných v moderných vozidlách.

Tvar komolého kužeľa má niektoré rezacie nástroje, ktoré sa bežne používajú pri výrobe, napríklad frézy. S ich pomocou je možné spracovať šikmé povrchy pod určitým uhlom. Na ostrenie nožov v kovoobrábacích a drevárskych zariadeniach sa často používajú brúsne kotúče, ktoré sú tiež zrezanými kužeľmi. Okrem toho, skrátený objem kužeľa je potrebné určiť konštruktérov sústruhov a frézok, ktoré zahŕňajú upevnenie rezného nástroja opatreného kužeľovou stopkou (vrtáky, výstružníky atď.).

Rovný povrch kužeľa je plochý útvar získaný zarovnaním bočného povrchu a základne kužeľa s určitou rovinou.

Možnosti skenovania:

Sploštený kruhový kužeľ

Zametanie bočnej plochy priameho kruhového kužeľa je kruhový sektor, ktorého polomer sa rovná dĺžke priamky kužeľovej plochy l, a stredový uhol φ je určený vzorcom φ \u003d 360 * R / l, kde R je polomer obvodu základne kužeľa.

V rade problémov popisnej geometrie je preferovaným riešením aproximácia (nahradenie) kužeľa s vpísanou pyramídou a konštrukcia približného útvaru, na ktorom je vhodné kresliť čiary ležiace na kužeľovitom povrchu.

Stavebný algoritmus

1. Do kužeľovitého povrchu osadíme polygonálnu pyramídu. Čím viac bočných strán vpísanej pyramídy má, tým presnejšia je zhoda medzi skutočným a približným skenovaním.
2. Vyvinieme vývoj bočnej plochy pyramídy metódou trojuholníkov. Hladkou krivkou spojíme body patriace k základni kužeľa.

Príklad

Na obrázku nižšie je pravidelná šesťuholníková pyramída SABCDEF vpísaná do priameho kruhového kužeľa a približný výbežok jej bočnej plochy pozostáva zo šiestich rovnoramenných trojuholníkov - plôch pyramídy.

Zvážte trojuholník S 0 A 0 B 0. Dĺžky jeho strán S 0 A 0 a S 0 B 0 sa rovnajú generátoru l kužeľovej plochy. Hodnota A 0 B 0 zodpovedá dĺžke A'B '. Pre zostrojenie trojuholníka S 0 A 0 B 0 na ľubovoľnom mieste výkresu vyčnime segment S 0 A 0 \u003d l, po ktorom z bodov S 0 a A 0 nakreslíme kruhy s polomerom S 0 B 0 \u003d l a A 0 B 0 \u003d A'B ' resp. Spojíme priesečník kružníc B 0 s bodmi A 0 a S 0.

Tváre S 0 B 0 C 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 pyramíd SABCDEF sú konštruované podobne ako trojuholník S 0 A 0 B 0.

Body A, B, C, D, E a F ležiace pri základni kužeľa spojíme hladkou krivkou - oblúkom kruhu, ktorého polomer sa rovná l.

Zametanie šikmým kužeľom

Zvážte postup na zostavenie ohybu bočnej plochy nakloneného kužeľa metódou aproximácie (aproximácie).

Algoritmus

1. Do kruhu dna kužeľa vpíšeme šesťuholník 123456. Spojte body 1, 2, 3, 4, 5 a 6 s vrcholom S. Takto postavená pyramída S123456 je s určitou mierou aproximácie náhradou kužeľovitého povrchu a v tejto kapacite sa používa v ďalších stavbách.
2. Prirodzené hodnoty hrán pyramídy určíme pomocou metódy rotácie okolo projekčnej čiary: v príklade sa použije os i, kolmá na vodorovnú rovinu projekcií a prechádzajúca vrcholom S.
   Takže v dôsledku rotácie okraja S5 zaujme jeho nový vodorovný priemet S'5''1 polohu, v ktorej je rovnobežný s čelnou rovinou π 2. Podľa toho je S''5 '' '1 skutočná veľkosť S5.
3. Staviame bočný povrch pyramídy S123456, ktorý sa skladá zo šiestich trojuholníkov: S 0 1 0 6 0, S 0 6 0 5 0, S 0 5 0 4 0, S 0 4 0 3 0, S 0 3 0 2 0, S 0 2 0 1 0. Každý trojuholník je konštruovaný z troch strán. Napríklad △ S 0 1 0 6 0 dĺžka S 0 1 0 \u003d S''1 '' '0, S 0 6 0 \u003d S''6' '1, 1 0 6 0 \u003d 1'6'.

Miera, do akej približné skenovanie zodpovedá skutočnému, závisí od počtu tvárí vpísanej pyramídy. Počet tvárí sa vyberá na základe ľahkosti čítania výkresu, požiadaviek na jeho presnosť, prítomnosti charakteristických bodov a čiar, ktoré je potrebné preniesť do skenovania.

Prenos čiary z povrchu kužeľa na plochý vzor

Priamka n, ležiaca na povrchu kužeľa, sa vytvorí v dôsledku jej pretínania s určitou rovinou (obrázok nižšie). Zvážte algoritmus na zostrojenie priamky n na ohybe.

Algoritmus

1. Nájdite priemety bodov A, B a C, v ktorých priamka n pretína okraje pyramídy S123456 vpísanej do kužeľa.
2. Skutočnú veľkosť segmentov SA, SB, SC určite rotáciou okolo vyčnievajúcej čiary. V tomto príklade SA \u003d S''A '' 'SB \u003d S''B' '' 1, SC \u003d S''C '' '1.
3. Nájdeme polohu bodov A 0, B 0, C 0 na zodpovedajúcich okrajoch pyramídy, odložíme segmenty S 0 A 0 \u003d S „A“, S 0 B 0 \u003d S „B“ 1, S 0 C 0 \u003d S „C“ 1.
4. Body A 0, B 0, C 0 spojte hladkou čiarou.

Zrezaný kužeľ plochý vzor

Ďalej popísaný spôsob konštrukcie zákruty priameho kruhového zrezaného kužeľa je založený na princípe podobnosti.

Niekedy vznikne úloha - vyrobiť ochranný dáždnik pre komín alebo komín, deflektor výfuku pre ventiláciu atď. Než však začnete vyrábať, musíte pre materiál vytvoriť vzor (alebo skenovať). Na internete existuje celý rad programov na výpočet takýchto krokov. Problém je však tak ľahko vyriešiteľný, že ho rýchlo vypočítate pomocou kalkulačky (v počítači), než budete tieto programy prehľadávať, sťahovať a pracovať s nimi.

Začnime jednoduchou možnosťou - jednoduchým zametaním kužeľa. Najjednoduchšie sa dá vysvetliť princíp výpočtu vzoru pomocou príkladu.

Povedzme, že musíme vyrobiť kužeľ s priemerom D cm a výškou H centimetrov. Je úplne jasné, že kruh s vyrezaným segmentom bude pôsobiť ako prázdny. Sú známe dva parametre - priemer a výška. Pomocou Pytagorovej vety vypočítame priemer kruhu obrobku (nezamieňajte s polomerom dokončil kužeľ). Polovica priemeru (polomer) a výška tvoria pravouhlý trojuholník. Preto:

Takže teraz poznáme polomer obrobku a môžeme kruh orezať.

Vypočítajme uhol sektoru, ktorý sa má vyrezať z kruhu. Tvrdíme nasledovne: Priemer obrobku je 2R, čo znamená, že obvod je Pi * 2 * R - t.j. 6,28 * R. Označme to L. Kruh je úplný, t.j. 360 stupňov. A obvod hotového kužeľa je Pi * D. Označujeme to Lm. Je to prirodzene menej ako obvod obrobku. Musíme odstrihnúť segment s dĺžkou oblúka, ktorá sa rovná rozdielu medzi týmito dĺžkami. Použime pravidlo pomeru. Ak nám 360 stupňov dáva úplný obvod obrobku, potom požadovaný uhol by mal dať obvod hotového kužeľa.

Z pomerového vzorca dostaneme veľkosť uhla X. A výrezový sektor nájdeme odčítaním 360 - X.

Z kruhového polotovaru s polomerom R musí byť vyrezaný sektor s uhlom (360-X). Nezabudnite ponechať malý prúžok prekrývajúceho sa materiálu (ak sa držiak kužeľa bude prekrývať). Po pripojení strán vyrezaného sektoru získame kužeľ danej veľkosti.

Napríklad: Potrebujeme kužeľ pre dáždnikový komín s výškou (H) 100 mm a priemerom (D) 250 mm. Pomocou Pythagorovho vzorca získame polomer obrobku - 160 mm. A obvod obrobku je 160 x 6,28 \u003d 1005 mm. Zároveň je potrebný obvod kužeľa 250 x 3,14 \u003d 785 mm.

Potom dostaneme, že pomer uhlov bude: 785/1005 x 360 \u003d 281 stupňov. Preto je potrebné rezať sektor 360 - 281 \u003d 79 stupňov.

Výpočet slepého vzoru pre zrezaný kužeľ.

Takýto detail je niekedy potrebný pri výrobe adaptérov z jedného priemeru na druhý alebo pre deflektory Volpert-Grigorovich alebo Khanzhenkov. Používajú sa na zlepšenie trakcie v komíne alebo vetracom potrubí.

Úlohu trochu komplikuje skutočnosť, že nepoznáme výšku celého kužeľa, ale iba jeho zrezanú časť. Všeobecne tu existujú tri počiatočné čísla: výška zrezaného kužeľa H, priemer dolného otvoru (základňa) D a priemer horného otvoru Dm (v časti úplného kužeľa). Ale uchýlime sa k rovnakým jednoduchým matematickým konštrukciám založeným na Pytagorovej vete a podobnosti.

Je skutočne zrejmé, že hodnota (D-Dm) / 2 (polovica rozdielu priemerov) bude súvisieť s výškou zrezaného kužeľa H rovnakým spôsobom ako polomer základne s výškou celého kužeľa, akoby nebola zrezaná. Z tohto pomeru nájdite celkovú výšku (P).

(D - Dm) / 2H \u003d D / 2P

Preto P \u003d D x H / (D-Dm).

Teraz, keď poznáme celkovú výšku kužeľa, môžeme znížiť riešenie predchádzajúceho problému. Vypočítajte rozloženie obrobku, akoby išlo o úplný kužeľ, a potom od neho „odčítajte“ rozmetanie jeho hornej nepotrebnej časti k nám. A môžeme priamo vypočítať polomery obrobku.

Získame podľa Pytagorovej vety väčší polomer obrobku - Rz. Je to druhá odmocnina súčtu druhých mocnín výšok P a D / 2.

Menší polomer Rm je druhá odmocnina súčtu druhých mocnín (P-H) a Dm / 2.

Obvod nášho obrobku je 2 x Pi x Rz alebo 6,28 x Rz. A obvod základne kužeľa je Pi x D alebo 3,14 x D. Pomer ich dĺžok poskytne pomer uhlov sektorov, ak predpokladáme, že celkový uhol v obrobku je 360 \u200b\u200bstupňov.

Tých. X / 360 \u003d 3,14 x D / 6,28 x Rz

Preto X \u003d 180 x D / Rz (Toto je uhol, ktorý musí byť ponechaný, aby sa získal obvod základne). A musíte vystrihnúť 360 - X.

Napríklad: Musíme vyrobiť zrezaný kužeľ vysoký 250 mm, priemer základne 300 mm, priemer horného otvoru 200 mm.

Zistíme výšku celého kužeľa P: 300 x 250 / (300 - 200) \u003d 600 mm

Podľa t. Pythagora nájdeme vonkajší polomer obrobku Rz: Druhá odmocnina z (300/2) ^ 2 + 6002 \u003d 618,5 mm

Pomocou tej istej vety nájdeme menší polomer Rm: Druhá odmocnina z (600 - 250) ^ 2 + (200/2) ^ 2 \u003d 364 mm.

Určte uhol sektoru nášho obrobku: 180 x 300 / 618,5 \u003d 87,3 stupňa.

Na materiál nakreslíme oblúk s polomerom 618,5 mm, potom z rovnakého stredu - oblúk s polomerom 364 mm. Uhol oblúka môže mať približne 90 - 100 stupňov otvorenia. Nakreslite polomery s uhlom otvorenia 87,3 stupňa. Náš blank je pripravený. Nezabudnite pripustiť pri spájaní hrán, ak sa prekrývajú.

Zadajte výšku a polomery základne:

Definovanie frustum

Zrezaný kužeľ sa dá získať z obyčajného kužeľa krížením takého kužeľa s rovinou rovnobežnou so základňou. Potom sa postava, ktorá sa nachádza medzi dvoma rovinami (táto rovina a základňa obvyklého kužeľa), bude nazývať zrezaný kužeľ.

On má dve základne, čo sú kruhy pre kruhový kužeľ a jeden z nich je väčší ako druhý. Tiež zrezaný kužeľ má výška - úsek spájajúci dve základne a kolmý na každú z nich.

Online kalkulačka

Zrezaný kužeľ môže byť priamy, potom sa stred jednej základne premietne do stredu druhej. Ak kužeľ naklonený, potom sa takáto projekcia nekoná.

Zvážte priamy kruhový kužeľ. Objem daného čísla je možné vypočítať niekoľkými spôsobmi.

Vzorec pre objem zrezaného kužeľa z hľadiska polomerov báz a vzdialenosti medzi nimi

Ak dostaneme kruhový zrezaný kužeľ, potom jeho objem nájdeme podľa vzorca:

Objem skráteného kužeľa

V \u003d 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ pi \\ cdot h \\ cdot (r_1 ^ 2 + r_1 \\ V \u003dh ⋅3 1 ​ ⋅ π ⋅ r 1, r 2 r_1, r_2(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ )

- polomery základov kužeľa; r 1 ​ , r 2 ​ h h
h - vzdialenosť medzi týmito základňami (výška zrezaného kužeľa). Pozrime sa na príklad.

Úloha 1

Nájdite objem zrezaného kužeľa, ak je známe, že oblasť malej základne je

64 π cm 2 64 \\ pi \\ text (cm) ^ 2 6 4 πcm , veľký -2 169 π cm 2 169 \\ pi \\ text (cm) ^ 2 1 6 9 πa jeho výška je , veľký -2 14 cm 14 \\ text (cm) Rozhodnutie 1 4 , veľký -.

S 1 \u003d 64 π S_1 \u003d 64 \\ pi

S 6 4 π 1 ​ = S 2 \u003d 169 π S_2 \u003d 169 \\ pi
1 6 9 π 6 4 π 2 ​ = h \u003d 14 h \u003d 14
h \u003d nájdite polomer malej základne:1 4

S 1 \u003d π ⋅ r 1 2 S_1 \u003d \\ pi \\ cdot r_1 ^ 2

64 π \u003d π ⋅ r 1 2 64 \\ pi \u003d \\ pi \\ cdot r_1 ^ 26 4 π 1 ​ = π ⋅ r 1 2 ​

6 4 π \u003d64 \u003d r 1 2 64 \u003d r_1 ^ 2π ⋅ r 1 2 ​

R 1 \u003d 8 r_1 \u003d 8 6 4 = r 1 2 ​

Rovnako tak pre veľkú základňu: r 1 ​ = 8

S 2 \u003d π ⋅ r 2 2 S_2 \u003d \\ pi \\ cdot r_2 ^ 2

169 π \u003d π ⋅ r 2 2 169 \\ pi \u003d \\ pi \\ cdot r_2 ^ 26 4 π 2 ​ = π ⋅ r 2 2 ​

1 6 9 π \u003d169 \u003d r 2 2 169 \u003d r_2 ^ 2π ⋅ r 2 2 ​

{!LANG-cab958ebedc3558a32da2fc61856a942!} 1 6 9 = r 2 2 ​

R2 \u003d 13 r_2 \u003d 13 r 2 ​ = 1 3

Vypočítajme objem kužeľa:

V \u003d 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) \u003d 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 4938 cm 3 V \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ pi \\ cdot h \\ cdot (r_1 ^ 2 + r_1 \\ cdot r_2 + r_2 ^ 2) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ pi \\ cdot14 \\ cdot (8 ^ 2 + 8 \\ cdot 13 + 13 ^ 2) \\ cca 4938 \\ text (cm) ^ 3h ⋅3 1 ​ ⋅ π ⋅ r 1, r 2 r_1, r_2(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 , veľký -3

Odpoveď

4938 cm3. 4938 \\ text (cm) ^ 3.4 9 3 8 , veľký -3 .

Vzorec pre objem zrezaného kužeľa cez oblasti základov a ich vzdialenosť od vrcholu

Povedzme, že máme zrezaný kužeľ. Pridajme k tomu mentálne chýbajúci kúsok, čím z neho urobíme „obyčajný kornút“ s vrcholom. Potom možno nájsť objem zrezaného kužeľa ako rozdiel medzi objemami dvoch kužeľov so zodpovedajúcimi základňami a ich vzdialenosťou (výškou) k vrcholu kužeľa.

Objem skráteného kužeľa

V \u003d 1 3 ⋅ S ⋅ H - 1 3 ⋅ s ⋅ h \u003d 1 3 ⋅ (S ⋅ H - s ⋅ h) V \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot S \\ cdot H- \\ frac (1) (3) \\ cdot s \\ cdot h \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot (S \\ cdot Hs \\ cdot h)h ⋅3 1 ​ ⋅ S ⋅H -3 1 ​ ⋅ s ⋅nájdite polomer malej základne:3 1 ​ ⋅ (S ⋅H -s ⋅h)

S S S - plocha základne veľkého kužeľa;
H H H - výška tohto (veľkého) kužeľa;
s s s - plocha základne malého kužeľa;
h - vzdialenosť medzi týmito základňami (výška zrezaného kužeľa). - výška tohto (malého) kužeľa;

Problém 2

Určte objem zrezaného kužeľa, ak je výška úplného kužeľa H H H rovná sa 10 cm 10 \\ text (cm) 1 0 cm, polomer spodnej základne R RR - 5 cm 5 \\ text (cm)5 cm, hore r rr - 4 cm 4 \\ text (cm)4 cma výška zrezaného kužeľa je 8 cm 8 \\ text (cm)8 cm.

S 1 \u003d 64 π S_1 \u003d 64 \\ pi

R \u003d 5 R \u003d 5R= 5
r \u003d 4 r \u003d 4r= 4
H \u003d 10 H \u003d 10H= 1 0
H - h \u003d 8 H-h \u003d 8H− h= 8 ,
Kde hh - výška malého kužeľa.

Nájdite oblasti oboch báz kužeľa:

$6\; 4\; \pi =\pi \cdot R^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$s=\pi \cdot r^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

Nájdite výšku malého kužeľa hh:

$H-h=8$

$h=H-8$

$h=10-8$

$h=2$

Objem sa rovná vzorcu:

$V.=31\cdot (6\; 4\; \pi \cdot H-s\cdot h)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{cm3}$

Odpoveď

$228\text{cm3 .}$