Zanimljivosti o Pitagorinoj teoremi: naučit ćemo nove stvari o dobro poznatoj teoremi (15 fotografija). Pitagorine pantalone Pitagorine pantalone Dokaz teorema

Pitagorine pantalone - jednake sa svih strana.
Da biste to dokazali, morate snimiti i pokazati.

Ova rima je svima poznata još od srednje škole, još od vremena kada smo na času geometrije učili čuvenu Pitagorinu teoremu: kvadrat dužine hipotenuze pravouglog trougla jednak je zbiru kvadrata kateta.

Da bi dokazao svoju teoremu, Pitagora je nacrtao lik kvadrata na stranicama trougla u pijesku. Zbir kvadrata kateta u pravokutnom trokutu jednak je kvadratu hipotenuze A kvadrat plus B kvadrat je jednak C kvadratu. Bilo je to 500. godine prije Krista. Danas se Pitagorina teorema predaje u srednjoj školi. U Ginisovoj knjizi rekorda, Pitagorina teorema je teorema sa maksimalnim brojem dokaza. Zaista, 1940. godine objavljena je knjiga koja je sadržavala tri stotine sedamdeset dokaza Pitagorine teoreme. Jedan od njih predložio je američki predsjednik James Abram Garfield. Samo jedan dokaz teoreme i dalje je nepoznat nikome od nas: dokaz samog Pitagore. Dugo se vjerovalo da je Euklidov dokaz pitagorejski dokaz, ali sada matematičari misle da ovaj dokaz pripada samom Euklidu.

Klasični Euklidov dokaz ima za cilj uspostavljanje jednakosti površina između pravokutnika nastalih rezanjem kvadrata iznad hipotenuze visinom iz pravog ugla s kvadratima iznad kateta.

Konstrukcija koja se koristi za dokaz je sljedeća: za pravougli trokut ABC sa pravim uglom C, kvadrate iznad kateta ACED i BCFG i kvadrat iznad hipotenuze ABIK, izgraditi visinu CH i zrak s koji ga pruža, cijepajući kvadrat iznad hipotenuze na dva pravougaonika AHJK i BHJI. Dokaz je usmjeren na utvrđivanje jednakosti površina pravougaonika AHJK sa kvadratom iznad kraka AC; jednakost površina drugog pravokutnika koji čini kvadrat iznad hipotenuze i pravokutnika iznad drugog kraka utvrđuje se na isti način.

Jednakost površina pravokutnika AHJK i ACED utvrđuje se podudarnošću trokuta ACK i ABD, čija je površina jednaka polovini površine pravokutnika AHJK i ACED, zbog sljedećeg svojstvo: površina trokuta je jednaka polovini površine pravougaonika ako figure imaju zajedničku stranu, a visina trokuta je k zajednička strana je druga strana pravougaonika. Podudarnost trokuta proizlazi iz jednakosti dviju stranica (strana kvadrata) i ugla između njih (sastavljenog od pravog ugla i ugla u A.

Dakle, dokazom se utvrđuje da je površina kvadrata iznad hipotenuze, sastavljenog od pravougaonika AHJK i BHJI, jednaka zbiru površina kvadrata iznad kateta.

Njemački matematičar Karl Gauss predložio je da se od drveća u sibirskoj tajgi izrežu divovske pitagorejske pantalone. Gledajući ove pantalone iz svemira, vanzemaljci moraju biti sigurni da inteligentna bića žive na našoj planeti.

Smiješno je da sam Pitagora nikada nije nosio pantalone - u to vrijeme Grci jednostavno nisu znali za takav predmet garderobe.

Izvori:

sandbox.fizmat.vspu.ru
ru.wikipedia.org
kuchmastar.fandom.com

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Rimski arhitekta Vitruvije izdvojio je Pitagorinu teoremu "iz brojnih otkrića koja su pružila usluge razvoju ljudskog života" i pozvao da se prema njoj odnosi s najvećim poštovanjem. Bilo je to još u 1. veku pre nove ere. e. Na prijelazu XVI-XVII stoljeća, poznati njemački astronom Johannes Kepler nazvao ga je jednim od blaga geometrije, uporedivim sa mjerom zlata. Malo je vjerovatno da će u cijeloj matematici postojati teži i značajniji iskaz, jer po broju naučnih i praktičnih primjena Pitagorina teorema nema premca.

Pitagorin teorem za slučaj jednakokračnog pravouglog trougla.

Nauka i život // Ilustracije

Ilustracija Pitagorine teoreme iz "Traktata o mjernom polu" (Kina, III vek pne) i dokaz rekonstruisan na njenoj osnovi.

Nauka i život // Ilustracije

S. Perkins. Pitagora.

Nacrt za mogući dokaz Pitagore.

"Pitagorin mozaik" i an-Nayrizijevo popločavanje tri kvadrata u dokazu Pitagorine teoreme.

P. de Hooch. Domaćica i sobarica u dvorištu. Oko 1660.

J. Ohtervelt. Lutajući muzičari pred vratima bogate kuće. 1665 godine.

Pythagorean Pants

Pitagorina teorema je možda najprepoznatljivija i nesumnjivo najpoznatija u istoriji matematike. U geometriji se koristi doslovno na svakom koraku. Unatoč jednostavnosti svoje formulacije, ova teorema nikako nije očigledna: gledajući pravokutni trokut sa stranicama a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

Slike prikazane na sl. 1 i 2, podsjećaju na najjednostavniji ukras kvadrata i njihovih jednakih dijelova - geometrijski uzorak poznat od pamtivijeka. Mogu u potpunosti pokriti avion. Matematičar bi takvo pokrivanje ravnine poligonima nazvao parketom ili pločicama. Kakve veze Pitagora ima s tim? Ispostavilo se da je on prvi riješio problem običnih parketa, čime je započeo proučavanje pločica raznih površina. Dakle, Pitagora je pokazao da se ravan oko tačke može bez praznina prekriti jednakim pravilnim poligonima samo tri tipa: šest trouglova, četiri kvadrata i tri šestougla.

4000 godina kasnije

Istorija Pitagorine teoreme seže u antičko doba. Spominje se u vavilonskim klinopisnim tekstovima iz vremena kralja Hamurabija (18. vek pne), odnosno 1200 godina pre Pitagorinog rođenja. Teorema je korištena kao gotovo pravilo u mnogim problemima, od kojih je najjednostavniji pronalaženje dijagonale kvadrata duž njegove stranice. Moguće je da su Babilonci dobili omjer a 2 + b 2 = c 2 za proizvoljan pravougao trokut jednostavnim "generaliziranjem" jednakosti a 2 + a 2 = c 2. Ali to im je oprostivo - za praktičnu geometriju drevnih, koja se svela na mjerenja i proračune, nije bilo potrebno rigorozno opravdanje.

Sada, skoro 4000 godina kasnije, imamo posla s teoremom koja drži rekord po broju mogućih dokaza. Inače, njihovo sakupljanje je duga tradicija. Vrhunac interesovanja za Pitagorinu teoremu pao je na drugu polovinu 19. - početak 20. veka. I ako prve zbirke nisu sadržavale više od dva ili tri tuceta dokaza, onda se do kraja 19. stoljeća njihov broj približio 100, a nakon još pola stoljeća premašio je 360, a to su samo oni koji su prikupljeni iz različitih izvora. Ko nije poduzeo rješenje ovog vječnog problema - od eminentnih naučnika i popularizatora nauke do kongresmena i školaraca. I što je izvanredno, u originalnosti i jednostavnosti rješenja, neki amateri nisu bili inferiorni u odnosu na profesionalce!

Najstariji sačuvani dokaz Pitagorine teoreme star je oko 2300 godina. Jedna od njih - stroga aksiomatika - pripada starogrčkom matematičaru Euklidu, koji je živio u 4.-3. vijeku prije nove ere. e. U Knjizi I elemenata, Pitagorina teorema je navedena kao Propozicija 47. Najslikovitiji i najlepši dokazi su zasnovani na preoblikovanju "pitagorinih pantalona". Izgledaju kao lukava slagalica za rezanje kvadrata. Ali neka se komadi kreću ispravno - i oni će vam otkriti tajnu čuvene teoreme.

Evo elegantnog dokaza dobijenog na osnovu crteža iz jednog drevnog kineskog traktata (slika 3), a njegova veza s problemom udvostručavanja površine kvadrata odmah postaje jasna.

Upravo je taj dokaz pokušao da objasni svom mlađem prijatelju sedmogodišnji Gvido, ranoranio junak pripovetke "Mali Arhimed" engleskog pisca Oldosa Hakslija. Zanimljivo je da je pripovjedač, koji je promatrao ovu sliku, primijetio jednostavnost i uvjerljivost dokaza, pa ga je pripisao ... samom Pitagori. Ali protagonista fantastične priče Evgenija Veltistova "Elektronik - dečak iz kofera" znao je 25 dokaza Pitagorine teoreme, uključujući i one koje je dao Euklid; istina, pogrešno ju je nazvao najjednostavnijim, iako zapravo u modernom izdanju "Elemenata" zauzima jednu i po stranicu!

Prvi matematičar

Pitagora sa Samosa (570-495 pne), čije je ime dugo bilo neraskidivo povezano sa izvanrednom teoremom, u izvesnom smislu se može nazvati prvim matematičarem. S njim počinje matematika kao egzaktna nauka, gdje svako novo znanje nije rezultat vizualnih predstava i pravila izvedenih iz iskustva, već rezultat logičkog zaključivanja i zaključaka. Ovo je jedini način da se jednom za svagda utvrdi istinitost bilo koje matematičke tvrdnje. Prije Pitagore, deduktivnu metodu koristio je samo starogrčki filozof i naučnik Tales iz Mileta, koji je živio na prijelazu iz 7. u 6. vijek prije nove ere. e. Izrazio je samu ideju dokaza, ali ga je primijenio ne sistematski, selektivno, po pravilu, na očigledne geometrijske iskaze kao što je "prečnik dijeli krug na pola". Pitagora je otišao mnogo dalje. Vjeruje se da je uveo prve definicije, aksiome i metode dokazivanja, te stvorio i prvi kurs geometrije, poznat starim Grcima pod nazivom "Pitagorina tradicija". On je također stajao na počecima teorije brojeva i stereometrije.

Još jedna važna Pitagorina zasluga je osnivanje slavne škole matematičara, koja je više od jednog veka određivala razvoj ove nauke u staroj Grčkoj. Pojam "matematika" (od grčke riječi μαθημa - doktrina, nauka) također je povezan s njegovim imenom, objedinjujući četiri srodne discipline sistema znanja koje su stvorili Pitagora i njegovi sljedbenici, Pitagorejci: geometriju, aritmetiku, astronomiju i harmoniku.

Nemoguće je odvojiti Pitagorina dostignuća od dostignuća njegovih učenika: oni su, slijedeći običaj, svoje ideje i otkrića pripisivali svom Učitelju. Rani Pitagorejci nisu ostavljali nikakve kompozicije, sve informacije su prenosili jedni drugima usmeno. Dakle, 2500 godina kasnije, istoričari nemaju izbora nego da rekonstruišu izgubljeno znanje na osnovu transkripcija drugih, kasnijih autora. Odajmo počast Grcima: iako su opkolili Pitagorino ime mnogim legendama, nisu mu pripisali ništa što nije mogao otkriti ili razviti u teoriju. I teorema koja nosi njegovo ime nije izuzetak.

Tako jednostavan dokaz

Nije poznato da li je Pitagora sam otkrio odnos između dužina stranica u pravokutnom trokutu ili je posudio ovo znanje. Antički pisci su tvrdili da je on sam, i volio je prepričavati legendu o tome kako je u čast svog otkrića Pitagora žrtvovao bika. Moderni istoričari su skloni vjerovati da je on saznao za teoremu upoznavši se s matematikom Babilonaca. Takođe ne znamo u kom je obliku Pitagora formulisao teoremu: aritmetički, kao što je danas uobičajeno, - kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta, ili geometrijski, u duhu starih, - a kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trougla jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na njegovim nogama.

Vjeruje se da je Pitagora dao prvi dokaz teoreme koja nosi njegovo ime. To, naravno, nije opstalo. Prema jednoj verziji, Pitagora je mogao koristiti doktrinu o proporcijama razvijenu u njegovoj školi. Na njoj je zasnovana, posebno, teorija sličnosti, na kojoj se zasniva obrazloženje. Nacrtaj pravougaoni trokut sa katetama a i b visinu hipotenuze c. Dobijamo tri slična trokuta, uključujući i originalni. Njihove strane su proporcionalne, a: c = m: a i b: c = n: b, odakle je a 2 = c m i b 2 = c n. Tada je a 2 + b 2 = = c · (m + n) = c 2 (slika 4).

Ovo je samo rekonstrukcija koju je predložio jedan od povjesničara nauke, ali dokaz je, vidite, prilično jednostavan: potrebno je samo nekoliko redaka, ne morate ništa dovršiti, precrtati, izračunati... Nije iznenađujuće da je ponovo otkriven više puta. Sadržana je, na primjer, u "Vježbanju geometrije" Leonarda iz Pize (1220), a još uvijek se citira u udžbenicima.

Ovaj dokaz nije bio u suprotnosti s idejama Pitagorejaca o sumjerljivosti: u početku su vjerovali da se omjer dužina bilo koja dva segmenta, a time i površina pravolinijskih figura, može izraziti prirodnim brojevima. Nisu uzimali u obzir nikakve druge brojeve, čak nisu dopuštali razlomke, zamjenjujući ih omjerima 1:2, 2:3, itd. Međutim, ironično, Pitagorina teorema je dovela Pitagorejce do otkrića nesumjerljivosti dijagonale. kvadrata i njegove stranice. Svi pokušaji da se numerički predstavi dužina ove dijagonale - za jedinični kvadrat je jednaka √2 - nisu doveli do ničega. Pokazalo se da je lakše dokazati da je problem nerešiv. Za takav slučaj, matematičari imaju dokazanu metodu – dokaz kontradikcijom. Inače, on se pripisuje i Pitagori.

Postojanje odnosa koji nije izražen prirodnim brojevima okončalo je mnoge ideje Pitagorejaca. Postalo je jasno da brojevi koje su poznavali nisu dovoljni da riješe ni jednostavne probleme, a kamoli svu geometriju! Ovo otkriće bilo je prekretnica u razvoju grčke matematike, njenog centralnog problema. Najprije je dovela do razvoja doktrine nesamjerljivih veličina - iracionalnosti, a zatim - do proširenja koncepta broja. Drugim riječima, od njega je počela vjekovna istorija proučavanja skupa realnih brojeva.

Pitagorin mozaik

Ako ravninu prekrijete kvadratima dvije različite veličine, okružujući svaki mali kvadrat sa četiri velika, dobićete parket "Pythagoras mosaic". Takav uzorak dugo je ukrašavao kamene podove, podsjećajući na drevne dokaze Pitagorine teoreme (otuda i njegovo ime). Nanošenjem kvadratne mreže na parket na različite načine možete dobiti pregrade kvadrata izgrađene na stranicama pravokutnog trokuta, koje su predlagali različiti matematičari. Na primjer, ako rasporedite mrežu tako da se svi njeni čvorovi poklapaju s gornjim desnim vrhovima malih kvadrata, pojavit će se fragmenti crteža za dokaz srednjovjekovnog perzijskog matematičara al-Nayrizija, koji je stavio u komentare na Euklidovu knjigu. Počeci. Lako je uočiti da je zbir površina velikog i malog kvadrata, izvornih elemenata parketa, jednak površini jednog kvadrata mreže koja je postavljena na njega. A to znači da je navedena pregrada zaista prikladna za postavljanje parketa: povezivanjem rezultirajućih poligona u kvadrate, kao što je prikazano na slici, možete ispuniti cijelu ravninu njima bez praznina i preklapanja.

Neke diskusije me neizmerno zabavljaju...

zdravo šta radiš?
-Da, rješavam probleme iz časopisa.
-Wow! Nisam očekivao od tebe.
-Šta niste očekivali?
-Da se spustiš na probleme. Na kraju krajeva, izgleda pametno, ali vjerujete u svakakve gluposti.
- Izvinite što ne razumem. Šta nazivaš glupostima?
-Da, sva ta tvoja matematika. Uostalom, očigledno je da je smeće kompletno.
-Kako to možeš reći? Matematika je kraljica nauka...
- Hajde bez ove patetike, zar ne? Matematika uopšte nije nauka, već neprekidna gomila glupih zakona i pravila.
-Šta?!
-Ma dobro, nemoj da praviš tako velike oči, znaš i sam da sam u pravu. Ne, ne tvrdim, tablica množenja je velika stvar, odigrala je značajnu ulogu u formiranju kulture i istorije čovječanstva. Ali sada je sve ovo već nebitno! I onda, zašto komplikovati stvari? U prirodi ne postoje integrali ili logaritmi, sve su to izumi matematičara.
-Sačekaj minutu. Matematičari nisu ništa izmislili, otkrili su nove zakone interakcije brojeva, koristeći provjerene alate...
-Da naravno! I vjerujete li u to? Zar i sami ne vidite o kakvim glupostima stalno pričaju? Možete li dati primjer?
-Da, budi ljubazan.
-Da molim! Pitagorina teorema.
-Šta joj je?
-Da, nije tako! "Pitagorine pantalone su jednake sa svih strana", vidite. Jeste li znali da Grci nisu nosili pantalone u doba Pitagore? Kako je Pitagora uopće mogao razmišljati o onome o čemu nije imao pojma?
-Sačekaj minutu. Kakve veze imaju pantalone sa tim?
-Pa, izgleda da su Pitagorovi? Ili ne? Da li priznajete da Pitagora nije imao pantalone?
- Pa, u stvari, naravno, nije bilo...
-Da, znači da sam naslov teoreme ima očiglednu nesklad! Nakon toga, kako možete ozbiljno shvatiti ono što piše?
- Sačekaj minutu. Pitagora ništa nije rekao o pantalonama...
-Priznaješ, zar ne?
-Da... Dakle, mogu li da nastavim? Pitagora nije ništa rekao o pantalonama, a ne treba mu pripisivati tuđe gluposti...
-Da, i sami se slažete da su sve ovo gluposti!
- Nisam to rekao!
- Upravo sam rekao. Ti si u suprotnosti.
-Pa. Stani. Šta kaže Pitagorina teorema?
-Da su sve pantalone jednake.
- Prokletstvo, jesi li ikada pročitao ovu teoremu?!
-Znam.
-Gde?
-Ja čitam.
-Šta si pročitao?!
-Lobačevski.
*pauza*
-Izvinite, kakve veze ima Lobačevski sa Pitagorom?
-Pa, Lobačevski je takođe matematičar, i čini se da je još hladniji autoritet od Pitagore, kažete ne?
*uzdah*
-Pa, šta je Lobačevski rekao o Pitagorinoj teoremi?
-Da su pantalone jednake. Ali ovo je glupost! Kako možeš da nosiš takve pantalone? A osim toga, Pitagora uopšte nije nosio pantalone!
-Lobačevski je tako rekao?!
* druga pauza, sa samopouzdanjem *
-Da!
-Pokaži mi gde piše.
-Ne, pa nije tamo tako direktno napisano...
-Kako se zove ova knjiga?
-Da, ovo nije knjiga, ovo je članak u novinama. O tome da je Lobačevski u stvari bio agent nemačke obaveštajne službe... pa, ovo nije poenta. U svakom slučaju, vjerovatno je tako rekao. On je i matematičar, tako da su on i Pitagora u isto vrijeme.
-Pitagora nije rekao ništa o pantalonama.
-Pa da! O tome i govor. Sve je to sranje.
- Hajdemo redom. Kako vi lično znate šta kaže Pitagorina teorema?
-Ma daj! Svi to znaju. Pitajte bilo koga, odmah će vam odgovoriti.
-Pitagorine pantalone nisu pantalone...
-I naravno! Ovo je alegorija! Znate li koliko sam puta ovo već čuo?
-Pitagorina teorema kaže da je zbir kvadrata kateta jednak kvadratu hipotenuze. I SVE!
-Gde su pantalone?
-Da, Pitagora nije imao pantalone !!!
-Pa, vidite, ja o tome govorim. Sva tvoja matematika je sranje.
-I to nije sranje! Pogledajte sami. Evo trougla. Ovdje je hipotenuza. Evo nogu...
-A zašto su odjednom ovo noge, a ovo hipotenuza? Možda obrnuto?
-Ne. Noge su dvije strane koje formiraju pravi ugao.
-Pa, evo još jednog pravog ugla za tebe.
- On nije strejt.
-Šta je on, pokvaren?
-Ne, ljuto je.
-Znači i ovaj je oštar.
- Nije oštro, pravo je.
- Znaš, nemoj me zavaravati! Samo imenujete stvari kako želite, samo da biste rezultat prilagodili željenom.
-Dve kratke stranice pravouglog trougla su noge. Duga strana je hipotenuza.
-A ko je niži - ta noga? I hipotenuza se, dakle, više ne kotrlja? Vi sami slusajte sebe spolja kakve gluposti pricate. To je 21. vijek, procvat demokratije, a vi imate neku vrstu srednjeg vijeka. Njegove strane su, vidite, nejednake...
-Pravougli trougao sa jednakim stranicama ne postoji...
-Jesi li siguran? Pusti me da ti nacrtam. Pogledaj. Pravougaona? Pravougaona. I sve strane su jednake!
-Nacrtao si kvadrat.
-Pa šta?
-Kvadrat nije trougao.
-I naravno! Čim nam ne odgovara, odmah "ne trougao"! Nemoj me zavaravati. Prebrojite sami: jedan ugao, dva ugla, tri ugla.
-Četiri.
-Pa šta?
- To je kvadrat.
-A kvadrat, a ne trougao? On je gori, zar ne? Samo zato što sam ja to nacrtao? Postoje li tri ugla? Postoji, a čak i ovdje postoji jedan rezervni. Pa nema tu ničega, znaš...
- Dobro, ostavimo ovu temu.
-Da, već odustaješ? Nemate šta da se raspravljate? Priznajete li da je matematika sranje?
- Ne, ne znam.
-Pa, opet, odlično! Upravo sam ti sve detaljno dokazao! Ako je sva vaša geometrija zasnovana na Pitagorinom učenju i, izvinjavam se, to je potpuna besmislica...o čemu onda dalje?
- Pitagorino učenje nije glupost...
-Pa kako! A onda nisam čuo za školu Pitagorejaca! Oni su se, ako hoćete, upustili u orgije!
- Kakve to veze ima...
-A Pitagora je generalno bio peder! I sam je rekao da mu je Platon prijatelj.
-Pitagora?!
-Nisi znao? Da, svi su bili pederi. I tri na glavi. Jedan je spavao u buretu, drugi je gol jurio gradom...
-Diogen je spavao u buretu, ali je bio filozof, a ne matematičar...
-I naravno! Ako se neko popeo u bure, onda više nije matematičar! Zašto nam je potreban dodatni stid? Znamo, znamo, prošao. Ali ti meni objašnjavaš zašto bi svakakvi pederi koji su živjeli prije tri hiljade godina i trčali bez pantalona trebali biti autoritet za mene? Zašto bih, pobogu, prihvatio njihovo gledište?
- U redu, odlazi...
-Ne, slušaj! Na kraju sam i ja tebe poslušao. Ovo su vaše računice, kalkulacije... Svi znate računati! I pitam vas nešto u suštini, odmah tu: "ovo je količnik, ovo je varijabla, a ovo su dvije nepoznanice." A ti mi reci o-o-o-općenito, bez pojedinosti! I bez ikakvog nepoznatog, nepoznatog, egzistencijalnog... Muka mi je, znaš?
-Shvati.
- Pa, objasni mi zašto je dva puta dva uvijek četiri? Ko je ovo izmislio? I zašto sam dužan da to uzimam zdravo za gotovo i da nemam pravo da sumnjam?
-Da, sumnjaj koliko hoćeš...
-Ne, ti mi objasni! Samo bez ovih tvojih stvari, ali normalno je, ljudski, pa da je jasno.
-Dva puta dva je četiri, jer dva puta dva je četiri.
-Ulje ulje. Šta si mi novo rekao?
-Dva puta dva je dva puta dva. Uzmi dva i dva i dodaj ih...
-Dakle, zbrajajte ili množite?
-Ovo je isto...
- Oba! Dakle, ako saberem i pomnožim sedam i osam, i to je ista stvar?
-Ne.
-I zašto?
-Zato što sedam plus osam nije jednako...
-A ako pomnožim devet sa dva, ispadne četiri?
-Ne.
-I zašto? Pomnožio sam dva - upalilo je, ali sa devetkom odjednom nevolja?
-Da. Dvaput devet - osamnaest.
-I dvaput po sedam?
-Četrnaest.
-I dvaput pet?
-Deset.
- To jest, četiri ispadne samo u jednom konkretnom slučaju?
-Upravo.
-Sada razmislite sami. Kažete da postoje neki strogi zakoni i pravila za množenje. O kakvim zakonima ovdje uopće možemo govoriti, ako se u svakom konkretnom slučaju dobije drugačiji rezultat?!
-Nije sasvim tačno. Ponekad rezultat može biti isti. Na primjer, dvaput šest jednako je dvanaest. I četiri puta tri - takođe...
-Još gore! Dva, šest, tri, četiri - baš ništa! I sami vidite da rezultat ni na koji način ne zavisi od početnih podataka. Ista odluka se donosi u dvije radikalno različite situacije! I to uprkos činjenici da ista dva, koju stalno uzimamo i ne mijenjamo ni za što, uvijek daje drugačiji odgovor sa svim brojevima. Gdje je, pita se, logika?
-Ali ovo je, još jednom, logično!
-Za tebe - možda. Vi matematičari uvijek vjerujete u razne vrste nečuvenih sranja. I ove tvoje kalkulacije me ne uvjeravaju. A znate li zašto?
-Zašto?
-Zato što ja Znam zašto je tvoja matematika zaista potrebna. Na šta se sve to svodi? "Kata ima jednu jabuku u džepu, a Miša pet. Koliko jabuka Miša mora dati Katji da bi imale jednake jabuke?" I znaš šta ću ti reći? Misha nikome ništa ne duguje Dati! Katya ima jednu jabuku - dosta je. Zar joj to nije dovoljno? Neka ide na posao, a sebi pošteno zaradi bar za jabuke, bar za kruške, bar za ananas u šampanjcu. A ako neko želi da ne radi, već samo da rešava probleme - neka sedne sa svojom jednom jabukom i ne pravi se!

Hlače - nabavite važeći ridestep promo kod na Akademiku ili kupite pantalone na sniženju na akciji u ridestep-u

Zharg. shk. Šatl. Pitagorina teorema, koja uspostavlja odnos između površina kvadrata izgrađenih na hipotenuzi i kateta pravokutnog trokuta. BTS, 835 ... Veliki rečnik ruskih izreka

Pythagorean Pants- Komični naziv Pitagorine teoreme, koji je nastao zbog činjenice da kvadrati izgrađeni na stranama pravokutnika i koji se razilaze u različitim smjerovima podsjećaju na kroj hlača. Voleo sam geometriju ... pa čak sam je i dobio od ... ... Frazeološki rečnik ruskog književnog jezika

pitagorine pantalone- Šaljivo ime Pitagorine teoreme, koja uspostavlja odnos između površina kvadrata izgrađenih na hipotenuzi i nogu pravokutnog trokuta, koji spolja izgleda kao kroj hlača na figurama ... Rječnik mnogih izraza

Inosk .: o darovitoj osobi Usp. Ovo je nesumnjivo mudrac. U davna vremena, vjerovatno bi izmislio pitagorejske pantalone... Saltykov. Šarena slova. Pitagorine pantalone (geom.): U pravougaoniku kvadrat hipotenuze jednak je kvadratima nogu (učenje ... ... Michelsonov veliki eksplanatorni frazeološki rječnik

Pitagorine pantalone su jednake sa svih strana- Broj dugmadi je poznat. Zašto je kurac skučen? (otprilike) o pantalonama i muškim genitalijama. Pitagorine pantalone su jednake sa svih strana. Da bismo ovo dokazali, potrebno je ukloniti i pokazati 1) o Pitagorinoj teoremi; 2) o širokim pantalonama... Živi govor. Rječnik kolokvijalnih izraza

Pižagorov pantalone (izmislite) čarapu. o nadarenom čoveku. sri Ovo je nesumnjivo mudar čovjek. U antici bi verovatno izmislio Pijagorove pantalone... Saltykov. Šarena slova. Pižagorovske pantalone (geom.): U kvadratu pravougaonika hipotenuze ... ... Michelsonov veliki eksplanatorni frazeološki rječnik (izvorni pravopis)

Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima- Šaljivi dokaz Pitagorine teoreme; takođe se šalim na račun drugarskih širokih pantalona... Rječnik narodne frazeologije

Npr., grubo...

PITAGOROVE PALTAĆE NA SVE STRANE SU JEDNAKE (ZNA SE BROJ DUGUMČIĆA. ZAŠTO JE JEBILO TESNO? / DA SE TO DOKAZI, POTREBNO JE SKINUTI I POKAZATI)- prid., nepristojno ... Objašnjavajući rječnik savremenih kolokvijalnih frazeoloških jedinica i izreka

Noun., Pl., Uptr. cf. često Morfologija: pl. šta? pantalone, (ne) šta? pantalone, zašto? pantalone, (vidi) šta? pantalone sta? pantalone o čemu? o pantalonama 1. Hlače su komad odjeće koji ima dvije kratke ili dugačke nogavice i pokriva donji dio ... ... Dmitrijev objašnjavajući rečnik

Knjige

Pitagorine pantalone,. U ovoj knjizi ćete pronaći fantaziju i avanturu, čuda i fikciju. Smiješno i tužno, obično i misteriozno... Šta je još potrebno za zabavno čitanje? Glavna stvar je imati...
Čuda na točkovima, Markuša Anatolij. Milioni točkova se okreću po celoj zemlji - kotrljaju automobile, mere vreme u satovima, kucaju pod vozove, obavljaju nebrojene poslove u alatnim mašinama i raznim mehanizmima. Oni…

Može se biti sto posto siguran da će na pitanje koliki je kvadrat hipotenuze, svaka odrasla osoba hrabro odgovoriti: "Zbroj kvadrata nogu." Ova teorema je čvrsto ukorijenjena u glavama svakog obrazovanog čovjeka, ali dovoljno je zamoliti nekoga da to dokaže i tada mogu nastati poteškoće. Stoga, prisjetimo se i razmotrimo različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme.

Kratka biografija

Pitagorina teorema poznata je gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ju je rodila nije toliko popularna. Ovo je popravljivo. Stoga, prije proučavanja različitih načina dokazivanja Pitagorine teoreme, morate se nakratko upoznati s njegovom ličnošću.

Pitagora je filozof, matematičar, mislilac porijeklom iz Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su se razvile u spomen na ovog velikana. Ali, kao što slijedi iz pisanja njegovih sljedbenika, Pitagora sa Samosa rođen je na ostrvu Samos. Otac mu je bio običan kamenorezac, ali majka je bila iz plemićke porodice.

Prema legendi, Pitagorino rođenje je predskazala žena po imenu Pitija, u čiju je čast dječak dobio ime. Prema njenom predviđanju, rođeni dečak trebalo je da donese mnogo koristi i dobrote čovečanstvu. Što je i učinio.

Rođenje teoreme

U mladosti, Pitagora se preselio u Egipat da se tamo sastane sa poznatim egipatskim mudracima. Nakon susreta s njima, primljen je na studij, gdje je naučio sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.

Vjerovatno je upravo u Egiptu Pitagora bio inspiriran veličanstvenošću i ljepotom piramida i stvorio svoju veliku teoriju. Ovo može šokirati čitaoce, ali savremeni istoričari veruju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. Svoje znanje je samo prenio svojim sljedbenicima, koji su kasnije izvršili sve potrebne matematičke proračune.

Kako god bilo, danas nije poznata jedna metoda dokazivanja ove teoreme, već nekoliko odjednom. Danas ostaje samo da nagađamo kako su tačno stari Grci pravili svoje proračune, pa ćemo ovdje razmotriti različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme.

Pitagorina teorema

Prije nego što počnete s bilo kakvim proračunima, morate shvatiti koju teoriju treba dokazati. Pitagorina teorema glasi kako slijedi: "U trokutu, u kojem je jedan od uglova 90°, zbir kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze."

Ukupno, postoji 15 različitih načina za dokazivanje Pitagorine teoreme. Ovo je prilično velika brojka, pa obratimo pažnju na najpopularnije od njih.

Prvi metod

Prvo, označimo šta nam je dato. Ovi podaci će se primijeniti i na druge metode dokazivanja Pitagorine teoreme, tako da se odmah treba sjetiti svih dostupnih oznaka.

Pretpostavimo da je zadan pravougli trougao sa kracima a, b i hipotenuzom jednakom c. Prva metoda dokaza temelji se na činjenici da morate nacrtati kvadrat iz pravokutnog trokuta.

Da biste to učinili, morate nacrtati segment jednak kraku b do kraka dužine a i obrnuto. Ovo bi trebalo da stvori dvije jednake strane kvadrata. Ostaje samo nacrtati dvije paralelne linije i kvadrat je spreman.

Unutar rezultirajuće figure morate nacrtati još jedan kvadrat sa stranom jednakom hipotenuzi izvornog trokuta. Da biste to učinili, iz vrhova ac i sv, morate nacrtati dva paralelna segmenta jednaka c. Tako dobijamo tri stranice kvadrata, od kojih je jedna hipotenuza originalnog pravouglog trougla. Ostaje samo da se završi četvrti segment.

Na osnovu rezultirajuće figure možemo zaključiti da je površina vanjskog kvadrata (a + b) 2. Ako pogledate unutar figure, možete vidjeti da pored unutrašnjeg kvadrata sadrži četiri pravokutna trokuta. Površina svake je 0,5 pros.

Dakle, površina je jednaka: 4 * 0,5av + s 2 = 2av + s 2

Dakle (a + b) 2 = 2ab + c 2

I stoga c 2 = a 2 + b 2

Teorema je dokazana.

Drugi metod: slični trouglovi

Ova formula za dokaz Pitagorine teoreme izvedena je na osnovu iskaza iz odeljka geometrije o sličnim trouglovima. Kaže da je krak pravokutnog trougla proporcionalni prosjek njegove hipotenuze i segmenta hipotenuze koji izlazi iz vrha ugla od 90°.

Početni podaci ostaju isti, pa krenimo odmah s dokazom. Nacrtajmo segment SD okomit na stranicu AB. Na osnovu gornje tvrdnje, noge trokuta su:

AC = √AB * HELL, SV = √AB * DV.

Da bi se odgovorilo na pitanje kako dokazati Pitagorinu teoremu, dokaz se mora završiti kvadriranjem obje nejednačine.

AC 2 = AB * HELL i SV 2 = AB * DV

Sada morate sabrati rezultirajuće nejednakosti.

AC 2 + SV 2 = AB * (PAKAO * DV), gdje je HELL + DV = AB

Ispada da:

AC 2 + SV 2 = AB * AB

I zbog toga:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Dokaz Pitagorine teoreme i različiti načini njenog rješavanja zahtijevaju svestran pristup ovom problemu. Međutim, ova opcija je jedna od najjednostavnijih.

Još jedna tehnika proračuna

Opis različitih načina dokazivanja Pitagorine teoreme možda neće reći ništa, sve dok ne počnete sami da praktikujete. Mnoge tehnike pružaju ne samo matematičke proračune, već i konstrukciju novih figura iz originalnog trougla.

U ovom slučaju, potrebno je dovršiti još jedan pravougaoni trokut VSD-a iz kraka BC. Dakle, sada postoje dva trougla sa zajedničkim krakom BC.

Znajući da površine takvih figura imaju omjer kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija, tada:

S awd * s 2 - S awd * u 2 = S awd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) = a 2 * (S awd -S vd)

s 2 -w 2 = a 2

c 2 = a 2 + b 2

Budući da je ova opcija teško prikladna od različitih metoda dokazivanja Pitagorine teoreme za 8. razred, možete koristiti sljedeću tehniku.

Najlakši način za dokazivanje Pitagorine teoreme. Recenzije

Historičari vjeruju da je ova metoda prvi put korištena za dokazivanje teoreme još u staroj Grčkoj. Najjednostavniji je, jer ne zahtijeva apsolutno nikakve proračune. Ako pravilno nacrtate figuru, onda će se jasno vidjeti dokaz tvrdnje da je 2 + u 2 = c 2.

Uslovi za ovu metodu bit će malo drugačiji od prethodne. Da bismo dokazali teoremu, pretpostavimo da je pravougli trougao ABC jednakokrak.

Uzimamo AC hipotenuzu kao stranu kvadrata i dijelimo njegove tri stranice. Osim toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne linije u rezultirajućem kvadratu. Tako da se unutar njega nalaze četiri jednakokračna trougla.

Za noge AB i CB također morate nacrtati kvadrat i nacrtati po jednu dijagonalnu liniju u svakoj od njih. Prva linija je povučena iz temena A, druga iz C.

Sada morate pažljivo pogledati rezultirajući crtež. Kako na hipotenuzi AC postoje četiri trougla jednaka originalnom, a na katetama dva, to govori o istinitosti ove teoreme.

Inače, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja Pitagorine teoreme, rođena je poznata fraza: "Pitagorine pantalone su jednake u svim smjerovima."

Dokaz J. Garfielda

James Garfield je 20. predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim što je ostavio traga u istoriji kao vladar Sjedinjenih Država, bio je i nadarena samouk osoba.

Na početku svoje karijere bio je običan nastavnik u narodnoj školi, da bi ubrzo postao direktor jedne od visokoškolskih ustanova. Želja za samorazvoj i omogućila mu je da predloži novu teoriju dokaza Pitagorine teoreme. Teorema i primjer njenog rješenja su sljedeći.

Prvo morate nacrtati dva pravokutna trokuta na listu papira tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog. Vrhovi ovih trouglova moraju biti povezani kako bi na kraju formirali trapez.

Kao što znate, površina trapeza jednaka je proizvodu poluzbira njegovih baza i visine.

S = a + b / 2 * (a + b)

Ako dobijeni trapez smatramo figurom koja se sastoji od tri trokuta, tada se njegova površina može naći na sljedeći način:

S = av / 2 * 2 + s 2/2

Sada trebate izjednačiti dva originalna izraza

2av / 2 + s / 2 = (a + b) 2/2

c 2 = a 2 + b 2

O Pitagorinoj teoremi i metodama njenog dokazivanja može se napisati više od jedne knjige udžbenika. Ali ima li smisla kada se ovo znanje ne može primijeniti u praksi?

Praktična primjena Pitagorine teoreme

Nažalost, savremeni školski programi predviđaju upotrebu ove teoreme samo u geometrijskim problemima. Maturanti će uskoro napustiti zidove škole ne znajući kako svoje znanje i vještine primijeniti u praksi.

Zapravo, svako može koristiti Pitagorinu teoremu u svom svakodnevnom životu. I to ne samo u profesionalnim aktivnostima, već iu običnim kućnim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada Pitagorina teorema i metode njenog dokaza mogu biti izuzetno potrebni.

Veza između teoreme i astronomije

Čini se kako se zvijezde i trouglovi mogu povezati na papiru. Zapravo, astronomija je naučna oblast u kojoj se Pitagorina teorema široko koristi.

Na primjer, razmotrite kretanje svjetlosnog snopa u prostoru. Poznato je da se svjetlost kreće u oba smjera istom brzinom. Putanja AB kojom se pomiče svjetlosni snop naziva se l. I pola vremena potrebnog svjetlosti da stigne od tačke A do tačke B, nazovimo t... I brzina zraka - c. Ispada da: c * t = l

Ako pogledate baš ovu zraku iz druge ravni, na primjer, iz svemirskog broda, koji se kreće brzinom v, tada će se takvim promatranjem tijela njihova brzina promijeniti. U ovom slučaju, čak i nepokretni elementi će se početi kretati brzinom v u suprotnom smjeru.

Recimo da strip brod plovi udesno. Tada će se tačke A i B, između kojih je zrak bačen, pomjeriti ulijevo. Štaviše, kada se snop kreće od tačke A do tačke B, tačka A ima vremena da se pomeri i, shodno tome, svetlost će već stići u novu tačku C. Da biste pronašli polovinu udaljenosti za koju se tačka A pomerila, morate pomnožiti brzina košuljice za polovinu vremena putovanja snopa (t").

A da biste pronašli koliku udaljenost zraka svjetlosti može prijeći za to vrijeme, morate polovinu puta označiti novim slovom s i dobiti sljedeći izraz:

Ako zamislimo da su svjetlosne točke C i B, kao i linija prostora, vrhovi jednakokračnog trougla, tada će ga segment od tačke A do linije podijeliti na dva pravokutna trougla. Stoga, zahvaljujući Pitagorinoj teoremi, možete pronaći udaljenost koju zrak svjetlosti može prijeći.

Ovaj primjer, naravno, nije najbolji, jer samo rijetki mogu imati sreću da ga isprobaju u praksi. Stoga ćemo razmotriti uobičajenije primjene ove teoreme.

Radijus prijenosa mobilnog signala

Savremeni život je već nemoguće zamisliti bez postojanja pametnih telefona. Ali da li bi bili od velike koristi da ne mogu povezati pretplatnike putem mobilnih komunikacija?!

Kvaliteta mobilne komunikacije direktno ovisi o visini na kojoj se nalazi antena mobilnog operatera. Da biste izračunali koliko daleko telefon može primiti signal od mobilnog tornja, možete primijeniti Pitagorinu teoremu.

Recimo da trebate pronaći približnu visinu stacionarnog tornja kako bi mogao širiti signal u radijusu od 200 kilometara.

AB (visina tornja) = x;

Zrakoplov (radijus prijenosa signala) = 200 km;

OS (radijus globusa) = 6380 km;

OB = OA + ABOV = r + x

Primjenom Pitagorine teoreme saznajemo da bi minimalna visina tornja trebala biti 2,3 kilometra.

Pitagorina teorema u svakodnevnom životu

Začudo, Pitagorina teorema može biti korisna čak iu svakodnevnim stvarima, kao što je određivanje visine ormara, na primjer. Na prvi pogled, nema potrebe za korištenjem tako složenih proračuna, jer možete jednostavno izvršiti mjerenja pomoću mjerne trake. Ali mnogi su iznenađeni zašto se u procesu montaže javljaju određeni problemi, ako su sva mjerenja uzeta više nego precizno.

Činjenica je da se ormar sastavlja u vodoravnom položaju i tek tada se podiže i postavlja uza zid. Stoga, strana ormara u procesu podizanja konstrukcije mora slobodno prolaziti i po visini i po dijagonali prostorije.

Pretpostavimo da imate ormar dubine 800 mm. Udaljenost od poda do stropa - 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja će vam reći da visina ormarića treba biti 126 mm manja od visine prostorije. Ali zašto baš 126 mm? Pogledajmo primjer.

Sa idealnim dimenzijama ormara, provjeravamo djelovanje Pitagorine teoreme:

AC = √AB 2 + √BC 2

AC = √2474 2 +800 2 = 2600 mm - sve se konvergira.

Recimo da visina ormarića nije 2474 mm, već 2505 mm. onda:

AC = √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

Stoga ovaj ormar nije pogodan za ugradnju u ovu prostoriju. Pošto ga podizanje u uspravan položaj može oštetiti njegovo tijelo.

Možda, razmatrajući različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme od strane različitih naučnika, možemo zaključiti da je to više nego istinito. Sada možete koristiti primljene informacije u svom svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi proračuni biti ne samo korisni, već i tačni.