Kvadratne jednadžbe. Osnovni koncepti

Lekcija će uvesti koncept kvadratne jednadžbe, razmotriti njene dvije vrste: potpunu i nepotpunu. Posebna pažnja u lekciji će se posvetiti varijetetima nepotpunih kvadratnih jednačina, a u drugoj polovini lekcije će se razmotriti mnogi primeri.

Tema:Kvadratne jednadžbe.

lekcija:Kvadratne jednadžbe. Osnovni koncepti

Definicija.Kvadratna jednadžba naziva se jednačina oblika

Fiksni realni brojevi koji definiraju kvadratnu jednačinu. Ovi brojevi imaju posebne nazive:

Senior koeficijent (množilac at);

Drugi koeficijent (množilac at);

Slobodni termin (broj bez varijabilnog množitelja).

Komentar. Treba shvatiti da je navedeni redoslijed upisivanja članova u kvadratnu jednačinu standardan, ali ne i obavezan, te je u slučaju njihove permutacije potrebno moći odrediti numeričke koeficijente ne njihovim rednim rasporedom, već prema koji pripadaju varijablama.

Definicija. Izraz se zove kvadratni trinom.

Primjer 1. Dana kvadratna jednadžba ... Njegovi koeficijenti:

Senior koeficijent;

Drugi koeficijent (imajte na umu da je koeficijent označen prednjim znakom);

Besplatan član.

Definicija. Ako, onda se kvadratna jednadžba zove nesmanjen, i ako, tada se kvadratna jednadžba zove dato.

Primjer 2. Donesite kvadratnu jednačinu ... Podijelimo oba dijela na 2: .

Komentar. Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, dijeljenjem sa vodećim koeficijentom, nismo promijenili jednačinu, već smo promijenili njen oblik (učinili je reduciranom), slično tome se može pomnožiti nekim brojem koji nije nula. Dakle, kvadratna jednačina nije data jednom trojkom brojeva, ali oni to kažu je specificirano do skupa koeficijenata koji nije nula.

Definicija.Redukovana kvadratna jednačina dobije se iz nesmanjenog dijeljenjem sa vodećim koeficijentom, a ima oblik:

Usvojene su sljedeće oznake:. Onda redukovana kvadratna jednačina izgleda kao:

Komentar... U redukovanom obliku kvadratne jednadžbe, može se vidjeti da se kvadratna jednačina može postaviti sa samo dva broja:.

Primjer 2 (nastavak). Naznačavamo koeficijente koji definiraju redukovanu kvadratnu jednačinu ... ,. Ovi koeficijenti su takođe naznačeni uzimajući u obzir predznak. Ista dva broja definiraju odgovarajuću neredukovanu kvadratnu jednačinu .

Komentar... Odgovarajuće neredukovane i redukovane kvadratne jednačine su iste, tj. imaju iste skupove korijena.

Definicija... Neki od koeficijenata u neredukovanom obliku ili u redukovanom obliku kvadratne jednačine mogu biti jednaki nuli. U ovom slučaju, kvadratna jednačina se zove nepotpuna... Ako su svi koeficijenti različiti od nule, tada se zove kvadratna jednadžba kompletan.

Postoji nekoliko vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Ako još nismo razmatrali rješenje pune kvadratne jednadžbe, onda nepotpunu možemo lako riješiti metodama koje već poznajemo.

Definicija.Riješite kvadratnu jednačinu- znači pronaći sve vrijednosti varijable (korijena jednadžbe) pri kojima se data jednadžba pretvara u ispravnu numeričku jednakost, ili utvrditi da takvih vrijednosti nema.

Primjer 3. Razmotrimo primjer specificiranog tipa nepotpunih kvadratnih jednadžbi. Riješite jednačinu.

Rješenje. Izdvojimo zajednički faktor. U stanju smo da rešimo jednadžbe ovog tipa po sledećem principu: proizvod je jednak nuli ako i samo ako je jedan od faktora jednak nuli, a drugi postoji za ovu vrijednost varijable... Na ovaj način:

Odgovori.; .

Primjer 4. Riješite jednačinu.

Rješenje. 1 način. Faktorizirajmo po formuli razlike kvadrata

, dakle, slično prethodnom primjeru, ili.

Metoda 2. Pomerite slobodni član udesno i izvucite kvadratni koren obe strane.

Odgovori. .

Primjer 5. Riješite jednačinu.

Rješenje. Pomerite slobodni termin udesno, ali , tj. u jednadžbi je nenegativan broj izjednačen sa negativnim, što nema smisla ni za jednu vrijednost varijable, stoga nema korijena.

Odgovori. Nema korijena.

Primjer 6.Riješi jednačinu.

Rješenje... Podijelite obje strane jednačine sa 7: .

Odgovori. 0.

Razmotrite primjere u kojima prvo trebate dovesti kvadratnu jednadžbu u standardni oblik, a zatim je riješiti.

Primjer 7... Riješite jednačinu.

Rješenje... Da bi se kvadratna jednačina svela na standardni oblik, potrebno je sve članove prenijeti u jednom smjeru, na primjer, ulijevo, i dovesti slične.

Dobija se nepotpuna kvadratna jednadžba koju već znamo riješiti, dobijamo da ili .

Odgovori. .

Primjer 8 (tekstualni zadatak)... Proizvod dva uzastopna prirodna broja je dvostruko veći od kvadrata manjeg od njih. Pronađite ove brojeve.

Rješenje... Po pravilu, zadaci se rješavaju prema sljedećem algoritmu.

1) Kompilacija matematičkog modela... U ovoj fazi potrebno je prevesti tekst zadatka na jezik matematičkih simbola (sastaviti jednačinu).

Neka je određeni prvi prirodni broj označen nepoznanicom, a onda će sljedeći (uzastopni brojevi) biti sljedeći nakon njega. Manji od ovih brojeva je broj, pišemo jednačinu prema uslovu zadatka:

, gdje . Sastavljen je matematički model.

Ovaj video vodič objašnjava kako riješiti kvadratnu jednačinu. Rješavanje kvadratnih jednačina obično se počinje u srednjoj školi, 8. razred. Koreni kvadratne jednadžbe se nalaze pomoću posebne formule. Neka je data kvadratna jednadžba oblika ax2 + bx + c = 0, gdje je x nepoznanica, a, b i c su koeficijenti koji su realni brojevi. Prvo morate odrediti diskriminant po formuli D = b2-4ac. Nakon toga, ostaje izračunati korijene kvadratne jednadžbe koristeći dobro poznatu formulu. Pokušajmo sada riješiti konkretan primjer. Uzimamo x2 + x-12 = 0 kao početnu jednačinu, tj. koeficijent a = 1, b = 1, c = -12. Za određivanje diskriminanta može se koristiti dobro poznata formula. Zatim, koristeći formulu za pronalaženje korijena jednadžbe, izračunavamo ih. U našem slučaju, diskriminanta će biti 49. Činjenica da je vrijednost diskriminanta pozitivan broj govori nam da će ova kvadratna jednadžba imati dva korijena. Nakon nekoliko jednostavnih proračuna, dobijamo da je x1 = -4, x2 = 3. Dakle, riješili smo kvadratnu jednačinu izračunavanjem njenih korijena Video lekcija „Rješavanje kvadratnih jednačina (8. razred). Korijene pronalazimo po formuli „možete gledati online u bilo koje vrijeme besplatno. Sretno ti!

Kvadratne jednačine se izučavaju u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa teško. Sposobnost njihovog rješavanja je apsolutno neophodna.

Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješavanja, napominjemo da se sve kvadratne jednadžbe mogu uvjetno podijeliti u tri klase:

Nemaju korijene;
Imati tačno jedan korijen;
Imaju dva različita korijena.

Ovo je važna razlika između kvadratne i linearne jednadžbe, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednačina? Postoji divna stvar za ovo - diskriminatorno.

Diskriminantno

Neka je data kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminanta samo broj D = b 2 - 4ac.

Ovu formulu morate znati napamet. Odakle dolazi - sada je svejedno. Još jedna stvar je važna: po znaku diskriminanta možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. naime:

Ako je D< 0, корней нет;
Ako je D = 0, postoji tačno jedan korijen;
Ako je D> 0, postojaće dva korena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne njihove znakove, kako iz nekog razloga mnogi vjeruju. Pogledajte primjere - i sami ćete sve razumjeti:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 - 6x + 9 = 0.

Zapišimo koeficijente za prvu jednačinu i nađemo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednačina ima dva različita korijena. Analiziramo drugu jednačinu na sličan način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

Diskriminant je negativan, nema korijena. Ostaje posljednja jednačina:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Diskriminant je nula - postojaće jedan koren.

Imajte na umu da su za svaku jednačinu napisani koeficijenti. Da, dugo je, da, dosadno je - ali nećete miješati koeficijente i ne praviti glupe greške. Odaberite za sebe: brzinu ili kvalitet.

Usput, ako "napunite ruku", nakon nekog vremena više nećete morati ispisivati sve koeficijente. Takve operacije ćete izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon što se riješi 50-70 jednačina - općenito, ne toliko.

Kvadratni korijeni

Sada idemo na rješenje. Ako je diskriminanta D> 0, korijeni se mogu naći po formulama:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobijate isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Hajde da ih pronađemo:

Druga jednačina:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Nađi ih

\ [\ započeti (poravnati) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ lijevo (-1 \ desno)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ lijevo (-1 \ desno)) = 3. \\ \ kraj (poravnaj) \]

Konačno, treća jednačina:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednačina ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se greške javljaju prilikom zamjene negativnih koeficijenata u formuli. Ovdje će opet pomoći gore opisana tehnika: doslovno pogledajte formulu, opišite svaki korak - i vrlo brzo ćete se riješiti grešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Dešava se da je kvadratna jednačina nešto drugačija od onoga što je dato u definiciji. Na primjer:

x 2 + 9x = 0;
x 2 - 16 = 0.

Lako je vidjeti da jedan od članova nedostaje u ovim jednačinama. Takve kvadratne jednadžbe je još lakše riješiti od standardnih: ne moraju čak ni izračunati diskriminanta. Dakle, hajde da predstavimo novi koncept:

Jednačina ax 2 + bx + c = 0 naziva se nepotpuna kvadratna jednačina ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent na promenljivoj x ili slobodnom elementu jednak je nuli.

Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b = c = 0. U ovom slučaju, jednačina ima oblik ax 2 = 0. Očigledno, takva jednačina ima jedan korijen: x = 0.

Hajde da razmotrimo ostale slučajeve. Neka je b = 0, onda ćemo dobiti nepotpunu kvadratnu jednačinu oblika ax 2 + c = 0. Transformirajmo je malo:

Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnog broja, zadnja jednakost ima smisla samo za (−c / a) ≥ 0. Zaključak:

Ako nejednakost (−c / a) ≥ 0 vrijedi u nepotpunoj kvadratnoj jednadžbi oblika ax 2 + c = 0, postojaće dva korijena. Formula je data gore;
Ako (−c / a)< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban - u nepotpunim kvadratnim jednačinama uopće nema komplikovanih proračuna. Zapravo, nije ni potrebno zapamtiti nejednakost (−c / a) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti šta stoji s druge strane znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, korijena uopće neće biti.

Sada se pozabavimo jednadžbama oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će postojati dva korijena. Dovoljno je izdvojiti polinom:

Stavljanje u zagrade zajedničkog faktora

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Odavde su korijeni. U zaključku ćemo analizirati nekoliko takvih jednačina:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

x 2 - 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nema korijena, tk. kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

klasa: 8

Razmotrimo standardne (izučavane u školskom kursu matematike) i nestandardne tehnike za rješavanje kvadratnih jednačina.

1. Dekompozicija lijeve strane kvadratne jednadžbe na linearne faktore.

Razmotrimo neke primjere:

3) x 2 + 10x - 24 = 0.

6 (x 2 + x - x) = 0 | : 6

x 2 + x - x - = 0;

x (x -) + (x -) = 0;

x (x -) (x +) = 0;

= ; – .

Odgovor: ; -.

Za samostalan rad:

Rješavajte kvadratne jednadžbe linearnim faktoringom lijeve strane kvadratne jednačine.

a) x 2 - x = 0;

d) x 2 - 81 = 0;

g) x 2 + 6x + 9 = 0;

b) x 2 + 2x = 0;

e) 4x 2 - = 0;

h) x 2 + 4x + 3 = 0;

c) 3x 2 - 3x = 0;

f) x 2 - 4x + 4 = 0;

i) x 2 + 2x - 3 = 0.

a) 0; jedan

b) -2; 0

c) 0; jedan

2. Metoda odabira kompletnog kvadrata.

Razmotrimo neke primjere:

Za samostalan rad.

Riješite kvadratne jednadžbe koristeći metodu odabira punog kvadrata.

3. Rješenje kvadratnih jednadžbi po formuli.

ax 2 + in + c = 0, (a | 4a

4a 2 x 2 + 4av + 4ac = 0;

2ax + 2ax 2b + 2 - 2 + 4ac = 0;

2 = 2 - 4ac; = ±;

Pogledajmo neke primjere.

Za samostalan rad.

Riješite kvadratne jednadžbe koristeći formulu x 1,2 =.

4. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme (naprijed i nazad)

x 2 + px + q = 0 - redukovana kvadratna jednačina

po Vietinoj teoremi.

Ako ta jednadžba ima dva identična korijena u predznaku i ovisi o koeficijentu.

Ako je p onda .

Na primjer:

Ako tada jednačina ima dva korijena različitog predznaka, a korijen s najvećom apsolutnom vrijednošću bit će ako je p i bit će ako je p.

Na primjer:

Za samostalan rad.

Bez rješavanja kvadratne jednadžbe, koristite inverznu Vietinu teoremu da odredite predznake njenih korijena:

a, b, k, l - različiti korijeni;

c, d, h - negativno;

d, f, g, u, m - pozitivno;

5. Rješenje kvadratnih jednadžbi metodom “transfer”.

Za samostalan rad.

Rješavajte kvadratne jednadžbe pomoću flip metode.

6. Rješenje kvadratnih jednadžbi korištenjem svojstava njenih koeficijenata.

I. ax 2 + bx + c = 0, gdje je a 0

1) Ako je a + b + c = 0, tada je x 1 = 1; x 2 =

dokaz:

ax 2 + bx + c = 0 |: a

x 2 + x + = 0.

Po Vietinoj teoremi

Po uslovu a + b + c = 0, tada je b = -a - c. Onda dobijamo

Iz ovoga slijedi da je x 1 = 1; x 2 =. Q.E.D.

2) Ako je a - b + c = 0 (ili b = a + c), onda je x 1 = - 1; x 2 = -

dokaz:

Po Vietinoj teoremi

Po uslovu a - b + c = 0, tj. b = a + c. tada dobijamo:

Dakle, x 1 = - 1; x 2 = -.

Pogledajmo neke primjere.

1) 345 x 2 - 137 x - 208 = 0.

a + b + c = 345 - 137 - 208 = 0

x 1 = 1; x 2 = =

2) 132 x 2 - 247 x + 115 = 0.

a + b + c = 132 -247 -115 = 0.

x 1 = 1; x 2 = =

Odgovori: 1;

Za samostalan rad.

Primjenjujući svojstva koeficijenata kvadratne jednačine, riješite jednačine

II. ax 2 + bx + c = 0, gdje je a 0

x 1,2 =. Neka je b = 2k, tj. čak. Onda dobijamo

x 1,2 = = = =

Razmotrimo primjer:

3x 2 - 14x + 16 = 0.

D 1 = (-7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1

x 1 = = 2; x 2 =

Odgovori: 2;

Za samostalan rad.

a) 4x 2 - 36x + 77 = 0

b) 15x 2 - 22x - 37 = 0

c) 4x 2 + 20x + 25 = 0

d) 9x 2 - 12x + 4 = 0

Odgovori:

III. x 2 + px + q = 0

x 1,2 = - ± 2 - q

Razmotrimo primjer:

x 2 - 14x - 15 = 0

x 1,2 = 7 = 7

x 1 = -1; x 2 = 15.

Odgovori: -1; 15.

Za samostalan rad.

a) x 2 - 8x - 9 = 0

b) x 2 + 6x - 40 = 0

c) x 2 + 18x + 81 = 0

d) x 2 - 56x + 64 = 0

7. Rješavanje kvadratne jednadžbe pomoću grafova.

a) x 2 - 3x - 4 = 0

Odgovor: -1; 4

b) x 2 - 2x + 1 = 0

c) x 2 - 2x + 5 = 0

Odgovor: nema rješenja

Za samostalan rad.

Kvadratne jednadžbe riješite grafički:

8. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću šestara i ravnala.

ax 2 + bx + c = 0,

x 2 + x + = 0.

x 1 i x 2 su korijeni.

Neka je A (0; 1), C (0;

Po teoremi o sekanti:

OV · OD = OA · OS.

Dakle, imamo:

x 1 x 2 = 1 OS;

OS = x 1 x 2

K (; 0), gdje je = -

F (0;) = (0;) =)

1) Konstruisati tačku S (-;) - centar kružnice i tačku A (0; 1).

2) Nacrtajte krug radijusa R = SA /

3) Apscise tačaka preseka ove kružnice sa x-osom su koreni originalne kvadratne jednačine.

Postoje 3 moguća slučaja:

1) R> SK (ili R>).

Krug siječe x os u tački B (x 1; 0) i D (x 2; 0), gdje su x 1 i x 2 korijeni kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0.

2) R = SK (ili R =).

Krug dodiruje os vola u tjeskobi B 1 (x 1; 0), gdje je x 1 korijen kvadratne jednadžbe

ax 2 + bx + c = 0.

3) R< SK (или R < ).

Krug nema zajedničkih tačaka sa osom vola, tj. nema rješenja.

1) x 2 - 2x - 3 = 0.

Centar S (-;), tj.

x 0 = = - = 1,

y 0 = = = - 1.

(1; - 1) je centar kruga.

Nacrtajte krug (S; AS), gdje je A (0; 1).

9. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma

Za rješenje koriste četverocifrene matematičke tablice V.M. Bradis (tabela XXII, str. 83).

Nomogram omogućava da se, bez rješavanja kvadratne jednačine x 2 + px + q = 0, po svojim koeficijentima odrede korijeni jednačine. Na primjer:

5) z 2 + 4z + 3 = 0.

Oba korijena su negativna. Stoga vršimo promjenu: z 1 = - t. Dobijamo novu jednačinu:

t 2 - 4t + 3 = 0.

t 1 = 1; t 2 = 3

z 1 = - 1; z 2 = - 3.

Odgovor: - 3; - jedan

6) Ako su koeficijenti p i q izvan skale, onda se vrši zamjena z = k · t i jednačina se rješava pomoću nomograma: z 2 + pz + q = 0.

k 2 t 2 + p kt + q = 0. |: k 2

k se uzima uz očekivanje da se nejednakosti dešavaju:

Za samostalan rad.

2 + 6y - 16 = 0.

y 2 + 6y = 16, | + 9

y 2 + 6y + 9 = 16 + 9

y 1 = 2, y 2 = -8.

Odgovor: -8; 2

Za samostalan rad.

Riješite geometrijski jednadžbu y 2 - 6y - 16 = 0.

Opštinska obrazovna ustanova
"Osnovna srednja škola Kosinskaya"

Lekcija koristeći IKT

Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću formule.

Programer:
Čerevina Oksana Nikolajevna
nastavnik matematike

Cilj:
popraviti rješenje kvadratnih jednadžbi formulom,
doprinose razvoju želje i potrebe učenika za uopštavanjem proučavanih činjenica,
razvijati samostalnost i kreativnost.

Oprema:
matematički diktat (Prezentacija 1),
kartice sa višestepenim zadacima za samostalan rad,
tabela formula za rješavanje kvadratnih jednadžbi (u kutu "Za pomoć sa lekcijom"),
ispis "Starovremenog problema" (broj učenika),
tabela sa bodovanjem na tabli.

Ukupan plan:
Provjera domaćeg zadatka
Matematički diktat.
Oralne vježbe.
Rješenje vježbi jačanja.
Samostalan rad.
Istorijat.

Tokom nastave.
Organizacioni momenat.

Provjera domaćeg zadatka.
- Ljudi, koje smo jednačine upoznali na prošlim časovima?
- Koje metode se mogu koristiti za rješavanje kvadratnih jednačina?
- Kod kuće ste morali 1 jednačinu riješiti na dva načina.
(Jednačina je data u 2 nivoa, izračunato za slabe i jake učenike)
- Hajde da proverimo sa mnom. kako ste se nosili sa zadatkom.
(na tabli nastavnik zapisuje rješenje domaćeg zadatka prije časa)
Učenici provjeravaju i zaključuju: nepotpune kvadratne jednadžbe se lakše rješavaju faktoringom ili na uobičajen način, potpune po formuli.
Nastavnik naglašava: nije uzalud način da se riješi apt. jednadžbe po formuli nazivaju se univerzalne.

Ponavljanje.

Danas u lekciji nastavićemo da radimo sa vama na rešavanju kvadratnih jednačina. Naša lekcija će biti neobična, jer danas ne samo ja tebe ocjenjujem, već i tebe samog. Morate zaraditi što više bodova da biste dobili dobru ocjenu i bili uspješni u samostalnom radu. Poen po bod, mislim da ste već zaradili završavajući svoj domaći zadatak.
- A sada želim da zapamtite i još jednom ponovite definicije i formule koje smo proučavali na ovu temu. (Odgovori učenika se ocjenjuju sa 1 bodom za tačan odgovor, a 0 bodova za pogrešan)
- A sada, momci, završit ćemo matematički diktat, pažljivo i brzo pročitati zadatak na monitoru kompjutera. (Prezentacija 1)
Učenici završe posao i koriste ključ za procjenu svog učinka.

Matematički diktat.

Kvadratna jednačina je jednačina oblika...
U kvadratnoj jednadžbi, 1. koeficijent je ..., 2. koeficijent je ..., slobodni član je ...
Kvadratna jednačina se naziva redukovana ako...
Napišite formulu za izračunavanje diskriminanta kvadratne jednadžbe
Napišite formulu za izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe ako je korijen u jednadžbi jedan.
Pod kojim uslovom kvadratna jednadžba nema korijen?

(samotestiranje pomoću računara, za svaki tačan odgovor - 1 bod).

Oralne vježbe. (na poleđini table)
- Koliko korijena ima svaka jednačina? (zadatak se također procjenjuje na 1 bod)
1. (x - 1) (x +11) = 0;
2. (x - 2) ² + 4 = 0;
3. (2x - 1) (4 + x) = 0;
4. (x - 0,1) x = 0;
5.x² + 5 = 0;
6. 9x² - 1 = 0;
7.x² - 3x = 0;
8.x + 2 = 0;
9,16x² + 4 = 0;
10,16x² - 4 = 0;
11.0.07x² = 0.

Rješenje vježbi za učvršćivanje gradiva.

Od jednačina predloženih na monitoru računara izvode se samostalno (CD-7), pri provjeravanju učenici koji su završili proračune pravilno podižu ruke (1 bod); u ovom trenutku slabiji učenici rješavaju jednu jednačinu na tabli, a oni koji su se sami izborili sa zadatkom dobijaju 1 bod.

Samostalni rad u 2 verzije.
Oni koji su osvojili 5 ili više bodova počinju samostalan rad od broja 5.
Ko je postigao 3 ili manje - od broja 1.

Opcija 1.

a) 3x² + 6x - 6 = 0, b) x² - 4x + 4 = 0, c) x² - x + 1 = 0.

# 2. Nastavite s izračunavanjem diskriminanta D kvadratne jednačine ax² + bx + c = 0 koristeći formulu D = b² - 4ac.

a) 5x² - 7x + 2 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-7²) - 4 5 2 = 49 - 40 =…;
b) x² - x - 2 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-1) ² - 4 1 (-2) = ...;

br. 3. Završite rješavanje jednačine
3x² - 5x - 2 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-5) ² - 4 3 (-2) = 49.
x = ...

br. 4. Riješite jednačinu.

a) (x - 5) (x + 3) = 0; b) x² + 5x + 6 = 0

a) (x-3) ^ 2 = 3x-5; b) (x + 4) (2x-1) = x (3x + 11)

br. 6. Riješite jednačinu x2 + 2√2 x + 1 = 0
br. 7. Pri kojoj vrijednosti a jednačina x² - 2ax + 3 = 0 ima jedan korijen?

Opcija 2.

# 1. Za svaku jednačinu oblika ax² + bx + c = 0 unesite vrijednosti a, b, c.

a) 4x² - 8x + 6 = 0, b) x² + 2x - 4 = 0, c) x² - x + 2 = 0.

# 2. Nastavite s izračunavanjem diskriminanta D kvadratne jednačine ax² + bx + c = 0 koristeći formulu D = b² - 4ac.

a) 5x² + 8x - 4 = 0,
D = b² - 4ac
D = 8² - 4 5 (- 4) = 64 - 60 =…;

b) x² - 6x + 5 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-6) ² - 4 1 5 =…;

3 #. Završite rješavanje jednačine
x² - 6x + 5 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-6) ² - 4 1 5 = 16.
x = ...

br. 4. Riješite jednačinu.

a) (x + 4) (x - 6) = 0; b) 4x² - 5x + 1 = 0

br. 5. Kvadratirajte jednačinu i riješite je:

a) (x-2) ^ 2 = 3x-8; b) (3x-1) (x + 3) + 1 = x (1 + 6x)

br. 6. Riješite jednačinu x2 + 4√3 x + 12 = 0

br. 7. Pri kojoj vrijednosti a jednačina x² + 3ax + a = 0 ima jedan korijen.

Sažetak lekcije.
Sumiranje rezultata bodovno-rejting tabele.

Istorijska pozadina i zadatak.
Problemi za kvadratne jednačine susreli su se još od 499. U staroj Indiji javno nadmetanje za rješavanje teških problema bilo je uobičajeno. Jedna od drevnih indijskih knjiga kaže: „Kao što sunce pomračuje zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba pomračiti slavu drugog u narodnim skupštinama, predlažući i rješavajući algebarske probleme.“ Često su bile u poetskoj formi. Evo jednog od zadataka poznatog indijskog matematičara iz 12. veka Bhaskare:
Žustro jato majmuna
pojeo sam do kraja zabave,
Osmi dio na kvadrat
Zabavljao sam se na čistini.
I 12 loza...
Počeli su da skaču dok su visili.
Koliko je majmuna bilo
Reci mi, u ovom paketu?

Vii. Zadaća.
Predlaže se riješiti ovaj povijesni problem i rasporediti ga na posebne listove sa crtežom.

DODATAK

Ne. Puno ime
Studentske aktivnosti UKUPNO
Domaća zadaća Diktat Usmene vježbe Učvršćivanje gradiva
Rad na računaru Rad na tabli
1 Ivanov I.
2 Fedorov G.
3 Yakovleva J.
…

Maksimalni broj je 22-23 boda.
Minimum - 3-5 bodova

3-10 poena - rezultat "3",
11-20 poena - rezultat "4",
21-23 poena - rezultat "5"