अनुपात की गणना कैसे की जाती है। अनुपात कैसे बनाएं? कोई भी छात्र और वयस्क फ़ॉर्म में अनुपात 1 1 को समझेंगे

अनुपात (गणित में) एक ही प्रकार की दो या दो से अधिक संख्याओं के बीच का संबंध है। अनुपात निरपेक्ष मूल्यों या संपूर्ण के कुछ हिस्सों की तुलना करते हैं। अनुपातों की गणना और लेखन अलग-अलग तरीकों से किया जाता है, लेकिन मूल सिद्धांत सभी अनुपातों के लिए समान होते हैं।

कदम

भाग 1

अनुपात का निर्धारण

अनुपात का उपयोग करना।मूल्यों की तुलना करने के लिए अनुपात का उपयोग विज्ञान और दैनिक जीवन दोनों में किया जाता है। सरलतम अनुपात केवल दो संख्याओं से संबंधित हैं, लेकिन ऐसे अनुपात हैं जो तीन या अधिक मानों की तुलना करते हैं। किसी भी स्थिति में जिसमें एक से अधिक मात्राएँ मौजूद हों, एक अनुपात लिखा जा सकता है। कुछ मूल्यों को जोड़कर, अनुपात, उदाहरण के लिए, सुझाव दे सकते हैं कि किसी नुस्खा या रासायनिक प्रतिक्रिया में पदार्थों की मात्रा को कैसे बढ़ाया जाए।

अनुपात का निर्धारण।अनुपात एक ही प्रकार के दो (या अधिक) मूल्यों के बीच का संबंध है। उदाहरण के लिए, यदि आपको केक बनाने के लिए 2 कप मैदा और 1 कप चीनी की आवश्यकता है, तो आटे और चीनी का अनुपात 2 से 1 है।
- अनुपात का उपयोग उन मामलों में भी किया जा सकता है जहां दो मात्राएं एक-दूसरे से संबंधित नहीं हैं (उदाहरण के लिए केक के साथ)। उदाहरण के लिए, यदि एक कक्षा में 5 लड़कियां और 10 लड़के हैं, तो लड़कियों का लड़कों से अनुपात 5 से 10 है। ये मान (लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या) एक दूसरे पर निर्भर नहीं करते हैं, कि यानी अगर कोई क्लास छोड़ेगा या कोई नया स्टूडेंट क्लास में आएगा तो उनके मान बदल जाएंगे। अनुपात केवल मात्राओं के मूल्यों की तुलना करते हैं।
अनुपातों को निरूपित करने के विभिन्न तरीकों पर ध्यान दें।संबंधों को शब्दों में या गणितीय प्रतीकों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।
- बहुत बार अनुपात शब्दों में व्यक्त किए जाते हैं (जैसा कि ऊपर दिखाया गया है)। विशेष रूप से अनुपातों के प्रतिनिधित्व का यह रूप विज्ञान से दूर, रोजमर्रा की जिंदगी में उपयोग किया जाता है।
- इसके अलावा, अनुपात कोलन के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। अनुपात में दो संख्याओं की तुलना करते समय, आप एक कोलन का उपयोग करेंगे (उदाहरण के लिए, 7:13); तीन या अधिक मानों की तुलना करते समय, प्रत्येक जोड़ी संख्याओं के बीच एक कोलन रखें (उदाहरण के लिए, 10: 2: 23)। हमारी कक्षा के उदाहरण में, आप लड़कियों और लड़कों के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: 5 लड़कियां: 10 लड़के। या इस तरह: 5:10।
- कम सामान्यतः, अनुपात को स्लैश का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। कक्षा के उदाहरण में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: 5/10। फिर भी, यह एक भिन्न नहीं है और ऐसे अनुपात को भिन्न के रूप में नहीं पढ़ा जाता है; इसके अलावा, याद रखें कि अनुपात में, संख्याएं पूरे के हिस्से का प्रतिनिधित्व नहीं करती हैं।
भाग 2
अनुपात का उपयोग करना
1. अनुपात को सरल कीजिए।अनुपात के प्रत्येक पद (संख्या) को विभाजित करके अनुपात को सरल (अंश के समान) किया जा सकता है। हालांकि, ऐसा करते समय मूल अनुपात मूल्यों की दृष्टि न खोएं।
  - हमारे उदाहरण में, कक्षा में 5 लड़कियां और 10 लड़के हैं; अनुपात 5:10 है। अनुपात की शर्तों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 5 है (क्योंकि 5 और 10 दोनों 5 से विभाज्य हैं)। 1 लड़की से 2 लड़कों (या 1: 2) का अनुपात प्राप्त करने के लिए प्रत्येक अनुपात संख्या को 5 से विभाजित करें। हालांकि, अनुपात को सरल करते समय मूल मूल्यों को ध्यान में रखें। हमारे उदाहरण में, कक्षा में 3 छात्र नहीं हैं, लेकिन 15. सरलीकृत अनुपात लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या की तुलना करता है। यानी हर लड़की के लिए 2 लड़के हैं, लेकिन कक्षा में 2 लड़के और 1 लड़की नहीं हैं।
  - कुछ रिश्ते आसान नहीं होते। उदाहरण के लिए, अनुपात 3:56 सरल नहीं है क्योंकि इन संख्याओं में कोई सामान्य भाजक नहीं है (3 एक अभाज्य संख्या है, और 56 3 से विभाज्य नहीं है)।
2. अनुपात बढ़ाने या घटाने के लिए गुणा या भाग का प्रयोग करें।सामान्य कार्य जिनमें दो मानों को एक-दूसरे के समानुपाती बढ़ाना या घटाना आवश्यक होता है। यदि आपको एक अनुपात दिया गया है और आपको उसके अनुरूप एक बड़ा या छोटा अनुपात खोजने की आवश्यकता है, तो मूल अनुपात को किसी दी गई संख्या से गुणा या विभाजित करें।
  - उदाहरण के लिए, एक बेकर को नुस्खा में दी गई सामग्री की मात्रा को तीन गुना करने की आवश्यकता होती है। यदि नुस्खा में 2 से 1 (2: 1) के अनुपात में चीनी का आटा है, तो बेकर 6: 3 अनुपात (6 कप आटा से 3 कप चीनी) प्राप्त करने के लिए प्रत्येक शब्द को 3 से गुणा करेगा।
  - दूसरी ओर, यदि एक बेकर को नुस्खा में दी गई सामग्री की मात्रा को आधा करना है, तो बेकर प्रत्येक पद को 2 के अनुपात में विभाजित करेगा और 1: ½ अनुपात (1 कप आटा से 1/2 कप चीनी) प्राप्त करेगा। .
3. दो समकक्ष दिए जाने पर अज्ञात मान ढूँढना।यह एक समस्या है जिसमें आपको दूसरे संबंध का उपयोग करके एक संबंध में एक अज्ञात चर खोजने की आवश्यकता होती है, जो पहले के बराबर होता है। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, उपयोग करें। प्रत्येक अनुपात को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखें, उनके बीच एक समान चिन्ह लगाएं और उनके पदों को क्रॉसवाइज गुणा करें।
  - उदाहरण के लिए, छात्रों का एक समूह दिया गया है, जिसमें 2 लड़के और 5 लड़कियां हैं। यदि लड़कियों की संख्या 20 कर दी जाए (अनुपात वही रहता है) तो लड़कों की संख्या क्या होगी? सबसे पहले, दो अनुपात लिखिए - 2 लड़के: 5 लड़कियां और एक्सलड़के: 20 लड़कियां। अब इन अनुपातों को भिन्नों के रूप में लिखिए: 2/5 और x/20। 5x = 40 प्राप्त करने के लिए भिन्नों के पदों को क्रॉसवाइज गुणा करें; इसलिए, x = 40/5 = 8.
भाग 3
साधारण गलती
1. अनुपात शब्द समस्याओं में जोड़ और घटाव से बचें।कई शब्द समस्याएं कुछ इस तरह दिखती हैं: “नुस्खा में, आपको 4 आलू कंद और 5 गाजर की जड़ वाली फसलों का उपयोग करने की आवश्यकता है। यदि आप 8 आलू कंद जोड़ना चाहते हैं, तो अनुपात को अपरिवर्तित रखने के लिए आपको कितनी गाजर चाहिए?" ऐसी समस्याओं को हल करते समय, छात्र अक्सर मूल संख्या में समान मात्रा में सामग्री जोड़ने की गलती करते हैं। हालांकि, अनुपात बनाए रखने के लिए, आपको गुणन का उपयोग करने की आवश्यकता है। यहाँ सही और गलत निर्णयों के उदाहरण दिए गए हैं:
  - असत्य: "8 - 4 = 4 - इसलिए हमने 4 आलू कंद जोड़े। तो, आपको 5 गाजर की जड़ वाली फसलें लेने और उनमें 4 और जोड़ने की जरूरत है ... रुको! रिश्तों की गणना इस तरह नहीं की जाती है। यह फिर से कोशिश करने लायक है।"
  - यह सच है: "8 4 = 2 - इसलिए हमने आलू की मात्रा को 2 से गुणा किया। तदनुसार, 5 गाजर को 2 से गुणा किया जाना चाहिए। 5 x 2 = 10 - 10 गाजर को नुस्खा में जोड़ा जाना चाहिए।"

हाई स्कूल गणित में अधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए आनुपातिक ज्ञान की आवश्यकता होती है। यह सरल कौशल आपको न केवल पाठ्यपुस्तक से जटिल अभ्यास करने में मदद करेगा, बल्कि गणित के सार में भी तल्लीन हो जाएगा। अनुपात कैसे बनाएं? आइए अब इसे देखें।

सबसे सरल उदाहरण एक समस्या है जहां तीन पैरामीटर ज्ञात हैं, और चौथा पाया जाना चाहिए। बेशक, अनुपात अलग-अलग हैं, लेकिन अक्सर आपको प्रतिशत के आधार पर कुछ संख्या खोजने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, लड़के के पास कुल दस सेब थे। चौथा भाग उसने अपनी माँ को दिया। लड़के के पास कितने सेब बचे हैं? यह सबसे सरल उदाहरण है जो आपको अनुपात की रचना करने की अनुमति देगा। मुख्य बात यह करना है। मूल रूप से दस सेब थे। इसे 100% होने दें। हमने उसके सभी सेबों को चिह्नित किया। उन्होंने एक चौथाई दिया। 1/4 = 25/100। इसका मतलब है कि उसने छोड़ दिया है: 100% (यह मूल रूप से था) - 25% (उसने दिया) = 75%। यह आंकड़ा पहले उपलब्ध फलों की संख्या से शेष फलों की संख्या का प्रतिशत दर्शाता है। अब हमारे पास तीन संख्याएँ हैं, जिनके द्वारा अनुपात को हल करना पहले से ही संभव है। 10 सेब - 100%, एक्ससेब - 75%, जहां x फल की आवश्यक मात्रा है। अनुपात कैसे बनाएं? आपको यह समझने की जरूरत है कि यह क्या है। गणितीय रूप से, यह इस तरह दिखता है। आपकी समझ के लिए समान चिन्ह लगाया गया है।

10 सेब = 100%;

एक्स सेब = 75%।

यह पता चला है कि 10 / x = 100% / 75। यह अनुपात की मुख्य संपत्ति है। आखिरकार, बड़ा x, यह संख्या मूल से अधिक प्रतिशत है। हम इस अनुपात को हल करते हैं और हमें x = 7.5 सेब मिलता है। लड़के ने एक गैर-पूर्णांक राशि देने का फैसला क्यों किया यह हमारे लिए अज्ञात है। अब आप जानते हैं कि अनुपात कैसे करना है। मुख्य बात दो संबंधों को खोजना है, जिनमें से एक में अज्ञात अज्ञात है।

अनुपातों को हल करना अक्सर सरल गुणा और फिर विभाजन के लिए नीचे आता है। स्कूलों में, बच्चों को यह नहीं समझाया जाता है कि ऐसा क्यों है। जबकि यह समझना महत्वपूर्ण है कि आनुपातिक संबंध एक गणितीय क्लासिक हैं, यह विज्ञान का सार है। अनुपातों को हल करने के लिए, आपको भिन्नों को संभालने में सक्षम होना चाहिए। उदाहरण के लिए, अक्सर प्रतिशत को भिन्नों में बदलना आवश्यक होता है। यानी 95% रिकॉर्ड काम नहीं करेगा। और अगर आप तुरंत 95/100 लिखते हैं, तो आप मुख्य गिनती शुरू किए बिना ठोस कटौती कर सकते हैं। यह तुरंत कहा जाना चाहिए कि यदि आपका अनुपात दो अज्ञात के साथ निकला, तो इसे हल नहीं किया जा सकता है। यहां कोई प्रोफेसर आपकी मदद नहीं कर सकता। और आपके कार्य में, सबसे अधिक संभावना है, सही क्रियाओं का अधिक जटिल एल्गोरिथ्म है।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें जहां कोई रुचि नहीं है। मोटर चालक ने 150 रूबल के लिए 5 लीटर गैसोलीन खरीदा। उसने सोचा कि वह 30 लीटर ईंधन के लिए कितना भुगतान करेगा। इस समस्या को हल करने के लिए, मान लें कि x आवश्यक राशि को दर्शाता है। आप इस समस्या को स्वयं हल कर सकते हैं और फिर उत्तर की जांच कर सकते हैं। यदि आपने अभी तक यह नहीं सोचा है कि अनुपात कैसे बनाया जाए, तो एक नज़र डालें। 5 लीटर गैसोलीन 150 रूबल है। जैसा कि पहले उदाहरण में, हम 5L - 150r लिखेंगे। अब तीसरी संख्या ज्ञात करते हैं। बेशक, यह 30 लीटर है। सहमत हूं कि इस स्थिति में 30 लीटर - x रूबल की एक जोड़ी उपयुक्त है। चलिए गणितीय भाषा की ओर बढ़ते हैं।

5 लीटर - 150 रूबल;

30 लीटर - एक्स रूबल;

हम इस अनुपात को हल करते हैं:

एक्स = 900 रूबल।

तो हमने फैसला किया। अपने कार्य में, उत्तर की पर्याप्तता की जाँच करना न भूलें। ऐसा होता है कि गलत निर्णय से कारें 5000 किलोमीटर प्रति घंटे की अवास्तविक गति तक पहुंच जाती हैं और इसी तरह। अब आप जानते हैं कि अनुपात कैसे करना है। आप इसे हल भी कर सकते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह मुश्किल नहीं है।

एक रिश्ते को हमारी दुनिया की संस्थाओं के बीच एक निश्चित संबंध कहा जाता है। ये संख्याएँ, भौतिक मात्राएँ, वस्तुएँ, उत्पाद, घटनाएँ, क्रियाएँ और यहाँ तक कि लोग भी हो सकते हैं।

दैनिक जीवन में, जब अनुपात की बात आती है, तो हम कहते हैं: "इस और उस का अनुपात"... उदाहरण के लिए, यदि एक फूलदान में 4 सेब और 2 नाशपाती हैं, तो हम कहते हैं "सेब और नाशपाती का अनुपात" "नाशपाती और सेब का अनुपात".

गणित में, अनुपात का प्रयोग अक्सर के रूप में किया जाता है " फलाने-फूलने का रवैया... उदाहरण के लिए, चार सेब और दो नाशपाती का अनुपात, जिसे हमने ऊपर माना है, गणित में पढ़ेगा "चार सेब से दो नाशपाती का अनुपात"या यदि आप सेब और नाशपाती की अदला-बदली करते हैं, तो "दो नाशपाती और चार सेब का अनुपात".

अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है एप्रति बी(जहाँ के बजाय एतथा बीकोई भी संख्या), लेकिन अधिक बार आप एक ऐसी प्रविष्टि पा सकते हैं जो एक कोलन का उपयोग करके बनाई गई है: ए: बी... आप इस प्रविष्टि को विभिन्न तरीकों से पढ़ सकते हैं:

एप्रति बी
एको संदर्भित करता है बी
रवैया एप्रति बी

आइए अनुपात चिह्न का उपयोग करके चार सेब और दो नाशपाती का अनुपात लिखें:

4: 2

यदि हम सेब और नाशपाती के स्थान की अदला-बदली करें, तो हमारे पास 2:4 का अनुपात होगा। इस अनुपात को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है "दो से चार" या अन्यथा "दो नाशपाती चार सेबों को संदर्भित करते हैं" .

इस प्रकार, हम अनुपात को अनुपात कहेंगे।

पाठ सामग्री

एक रवैया क्या है?

संबंध, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, रूप में लिखा गया है ए: बी... इसे भिन्न के रूप में भी लिखा जा सकता है। और हम जानते हैं कि गणित में इस तरह के अंकन का अर्थ है विभाजन। तब संबंध का परिणाम भागफल होगा एतथा बी.

गणित में एक अनुपात को दो संख्याओं का भागफल कहा जाता है।

अनुपात आपको यह पता लगाने की अनुमति देता है कि एक इकाई का कितना हिस्सा दूसरे की इकाई पर पड़ता है। आइए चार सेब और दो नाशपाती (4:2) के अनुपात पर वापस जाएं। यह अनुपात हमें यह पता लगाने की अनुमति देगा कि प्रति यूनिट नाशपाती में कितने सेब हैं। एक इकाई का अर्थ है एक नाशपाती। सबसे पहले, आइए अनुपात 4:2 को भिन्न के रूप में लिखें:

यह अनुपात संख्या 4 का संख्या 2 से विभाजन है। यदि हम इस विभाजन को करते हैं, तो हमें इस प्रश्न का उत्तर मिलेगा कि नाशपाती की प्रति इकाई कितने सेब हैं।

प्राप्त 2. तो चार सेब और दो नाशपाती (4: 2) सहसंबंध (एक दूसरे के साथ जुड़े हुए हैं) ताकि प्रति नाशपाती दो सेब हों

चित्र दिखाता है कि कैसे चार सेब और दो नाशपाती एक दूसरे से संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक नाशपाती के लिए दो सेब हैं।

के रूप में लिखकर रिश्ते को उलटा किया जा सकता है। फिर हमें दो नाशपाती का अनुपात चार सेब, या "दो नाशपाती से चार सेब का अनुपात" मिलता है। यह अनुपात दिखाएगा कि प्रति यूनिट सेब में कितने नाशपाती हैं। सेब की इकाई का अर्थ है एक सेब।

किसी भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए।

0.5 प्राप्त किया। आइए इस दशमलव अंश को एक साधारण अंश में बदलें:

परिणामी भिन्न को 5 . से कम करें

उत्तर मिला (आधा नाशपाती)। इसका मतलब है कि दो नाशपाती और चार सेब (2:4) आपस में जुड़े हुए हैं (एक दूसरे के साथ जुड़े हुए हैं) ताकि एक सेब नाशपाती के आधे हिस्से के लिए हो।

चित्र दिखाता है कि कैसे दो नाशपाती और चार सेब एक दूसरे से संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक सेब के लिए आधा नाशपाती है।

अनुपात बनाने वाली संख्याएँ कहलाती हैं रिश्ते के सदस्य... उदाहरण के लिए, 4:2 के अनुपात में, सदस्य संख्याएँ 4 और 2 हैं।

आइए रिश्तों के अन्य उदाहरणों पर विचार करें। कुछ तैयार करने के लिए एक नुस्खा तैयार किया जाता है। नुस्खा उत्पादों के बीच संबंधों से बनाया गया है। उदाहरण के लिए, दलिया बनाने के लिए आमतौर पर दो गिलास दूध या पानी के लिए एक गिलास अनाज की आवश्यकता होती है। अनुपात 1: 2 ("एक से दो" या "दो गिलास दूध के लिए एक गिलास अनाज") है।

हम अनुपात 1:2 को भिन्न में परिवर्तित करते हैं, हमें प्राप्त होता है। इस भिन्न की गणना करने पर हमें 0.5 प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि एक गिलास अनाज और दो गिलास दूध आपस में जुड़े हुए हैं (एक दूसरे से जुड़े हुए हैं) ताकि एक गिलास दूध में आधा गिलास अनाज हो।

यदि आप अनुपात 1: 2 फ्लिप करते हैं, तो आपको 2: 1 अनुपात ("दो से एक" या "एक गिलास अनाज के लिए दो गिलास दूध") मिलता है। अनुपात 2:1 को भिन्न में बदलें, हमें प्राप्त होता है। इस अंश की गणना करने पर, हमें 2 मिलता है। तो दो गिलास दूध और एक गिलास अनाज सहसंबद्ध (एक दूसरे के साथ जुड़े हुए) हैं ताकि एक गिलास अनाज के लिए दो गिलास दूध हो।

उदाहरण 2।कक्षा में 15 विद्यार्थी हैं। इनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। आप लड़कियों और लड़कों का अनुपात 10:5 लिख सकते हैं और उस अनुपात को भिन्न में बदल सकते हैं। इस भिन्न की गणना करने पर, हमें 2 प्राप्त होता है। अर्थात, लड़कियां और लड़के एक-दूसरे से इस प्रकार संबंधित होते हैं कि प्रत्येक लड़के के लिए दो लड़कियां होती हैं।

चित्र में दिखाया गया है कि कैसे दस लड़कियां और पांच लड़के एक-दूसरे से संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि हर लड़के के लिए दो लड़कियां हैं।

अनुपात को हमेशा भिन्न में नहीं बदला जा सकता है और भागफल पाया जा सकता है। कुछ मामलों में, यह तर्कसंगत नहीं होगा।

इसलिए, यदि आप रवैये को पलटते हैं, तो यह पता चलता है, और यह लड़कों का लड़कियों के प्रति रवैया है। यदि आप इस भिन्न की गणना करते हैं, तो आपको 0.5 प्राप्त होता है। यह पता चला है कि पांच लड़के दस लड़कियों से इस तरह संबंध रखते हैं कि हर लड़की के लिए आधा लड़का होता है। गणितीय रूप से, यह निश्चित रूप से सच है, लेकिन वास्तविकता की दृष्टि से यह पूरी तरह से उचित नहीं है, क्योंकि एक लड़का एक जीवित व्यक्ति है और आप उसे एक नाशपाती या एक सेब की तरह ले और विभाजित नहीं कर सकते।

सही दृष्टिकोण का निर्माण एक महत्वपूर्ण समस्या समाधान कौशल है। तो भौतिकी में, समय के साथ तय की गई दूरी का अनुपात गति की गति है।

दूरी को चर द्वारा दर्शाया जाता है एस, समय - चर के माध्यम से टी, गति - चर के माध्यम से वी... फिर वाक्यांश "समय के साथ तय की गई दूरी का अनुपात गति की गति है"निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया जाएगा:

मान लीजिए कार ने 2 घंटे में 100 किलोमीटर का सफर तय किया है। फिर एक सौ किलोमीटर से दो घंटे की यात्रा का अनुपात कार की गति होगी:

यह गति को प्रति इकाई समय में शरीर द्वारा तय की गई दूरी को कॉल करने के लिए प्रथागत है। समय की इकाई का अर्थ है 1 घंटा, 1 मिनट या 1 सेकंड। और संबंध, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, आपको यह पता लगाने की अनुमति देता है कि एक इकाई का कितना हिस्सा दूसरे की इकाई पर पड़ता है। हमारे उदाहरण में, एक सौ किलोमीटर से दो घंटे के अनुपात से पता चलता है कि एक घंटे की आवाजाही के लिए कितने किलोमीटर हैं। हम देखते हैं कि हर घंटे की आवाजाही के लिए 50 किलोमीटर हैं।

इसलिए, गति को में मापा जाता है किमी / घंटा, मी / मिनट, मी / से... भिन्न चिह्न (/) दूरी और समय के अनुपात को दर्शाता है: किलोमीटर प्रति घंटा , मीटर प्रति मिनटतथा मीटर प्रति सेकंड क्रमश।

उदाहरण 2... किसी उत्पाद के मूल्य का उसकी मात्रा से अनुपात उत्पाद की एक इकाई की कीमत है

अगर हमने स्टोर से 5 चॉकलेट बार लिए और उनकी कुल कीमत 100 रूबल थी, तो हम एक बार की कीमत निर्धारित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको बार की संख्या के लिए एक सौ रूबल का अनुपात खोजने की आवश्यकता है। तब हम पाते हैं कि एक बार के लिए 20 रूबल हैं।

मात्राओं की तुलना

पहले हमने सीखा कि विभिन्न प्रकृति की मात्राओं के बीच संबंध एक नई मात्रा का निर्माण करते हैं। तो, समय के साथ तय की गई दूरी का अनुपात गति की गति है। किसी वस्तु के मूल्य का उसकी मात्रा से अनुपात वस्तु की एक इकाई की कीमत है।

लेकिन अनुपात का उपयोग मूल्यों की तुलना करने के लिए भी किया जा सकता है। इस तरह के संबंध का परिणाम एक संख्या है जो दर्शाती है कि पहला मान दूसरे से कितना गुना अधिक है, या पहले मान का कितना दूसरा मान है।

यह पता लगाने के लिए कि पहला मान दूसरे से कितना गुना बड़ा है, अनुपात के अंश में एक बड़ा मान और हर में एक छोटा मान लिखा जाना चाहिए।

यह पता लगाने के लिए कि पहले मान का कौन सा भाग दूसरे से है, आपको अनुपात के अंश में एक छोटा मान और हर में एक बड़ा मान लिखना होगा।

संख्या 20 और 2 पर विचार करें। आइए जानें कि संख्या 20 संख्या 2 से कितनी गुना बड़ी है। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 20 का संख्या 2 से अनुपात ज्ञात करते हैं। अनुपात के अंश में हम संख्या लिखते हैं। 20, और हर में - संख्या 2

इस अनुपात का मान दस . है

संख्या 20 का संख्या 2 से अनुपात संख्या 10 है। यह संख्या दर्शाती है कि संख्या 20 संख्या 2 से कितनी गुना बड़ी है। तो संख्या 20 संख्या 2 से दस गुना अधिक है।

उदाहरण 2।कक्षा में 15 विद्यार्थी हैं। इनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या कितनी गुना अधिक है।

हम लड़कों के प्रति लड़कियों के रवैये को लिखते हैं। हम रिश्ते के अंश में लड़कियों की संख्या और रिश्ते के हर में लड़कों की संख्या लिखते हैं:

इस अनुपात का मान 2 है। इसका मतलब है कि 15 की कक्षा में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या दोगुनी है।

अब सवाल यह नहीं है कि एक लड़के के लिए कितनी लड़कियां हैं। इस मामले में, अनुपात का उपयोग लड़कों की संख्या के साथ लड़कियों की संख्या की तुलना करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण 3... संख्या 2 का कौन सा भाग संख्या 20 से है।

हम संख्या 2 और संख्या 20 का अनुपात पाते हैं। अनुपात के अंश में हम संख्या 2 लिखते हैं, और हर में - संख्या 20

इस रिश्ते का मतलब जानने के लिए आपको याद रखना होगा

संख्या 2 से संख्या 20 के अनुपात का मान संख्या 0.1 . है

इस मामले में, दशमलव अंश 0.1 को सामान्य में बदला जा सकता है। इस उत्तर को समझना आसान होगा:

तो 20 की संख्या 2 एक दहाई है।

आप देख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 20 से पाते हैं। यदि हमने सब कुछ सही ढंग से किया है, तो हमें संख्या 2 . प्राप्त करनी चाहिए

20: 10 = 2

2 × 1 = 2

हमें संख्या 2 मिली है। अतः संख्या 20 का दसवां भाग संख्या 2 है। इसलिए हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि समस्या का समाधान सही ढंग से हुआ है।

उदाहरण 4.कक्षा में 15 लोग हैं। इनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि स्कूली बच्चों की कुल संख्या का कितना अनुपात लड़के हैं।

हम स्कूली बच्चों की कुल संख्या में लड़कों के अनुपात को लिखते हैं। हम रिश्ते के अंश में पांच लड़के और हर में छात्रों की कुल संख्या लिखते हैं। स्कूली बच्चों की कुल संख्या 5 लड़के जमा 10 लड़कियां हैं, इसलिए हम रिश्ते के हर में 15 लिखते हैं

इस अनुपात का अर्थ जानने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस मामले में, संख्या 5 को संख्या 15 . से विभाजित किया जाना चाहिए

जब आप 5 को 15 से भाग देते हैं, तो आपको एक आवर्त भिन्न मिलता है। आइए इस भिन्न को एक साधारण भिन्न में बदलें

हमें अंतिम उत्तर मिला। तो लड़के कक्षा का एक तिहाई हिस्सा बनाते हैं।

चित्र से पता चलता है कि 15 छात्रों की एक कक्षा में, 5 लड़के कक्षा का एक तिहाई हिस्सा बनाते हैं।

सत्यापन के लिए यदि हम 15 स्कूली बच्चों से पाते हैं, तो हमें 5 लड़के मिलते हैं

15: 3 = 5

5 × 1 = 5

उदाहरण 5. 35, 5 से कितनी बार बड़ा है?

हम संख्या 35 से संख्या 5 के अनुपात को लिखते हैं। अनुपात के अंश में, आपको संख्या 35 को हर में लिखना होगा - संख्या 5, लेकिन इसके विपरीत नहीं

इस अनुपात का मान 7 है। अतः 35 की संख्या 5 की संख्या का सात गुना है।

उदाहरण 6.कक्षा में 15 लोग हैं। इनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि लड़कियों की कुल संख्या का कितना अनुपात है।

हम स्कूली बच्चों की कुल संख्या में लड़कियों के अनुपात को लिखते हैं। हम दस लड़कियों को रिश्ते के अंश में और स्कूली बच्चों की कुल संख्या को हर में लिखते हैं। स्कूली बच्चों की कुल संख्या 5 लड़के जमा 10 लड़कियां हैं, इसलिए हम रिश्ते के हर में 15 लिखते हैं

इस अनुपात का अर्थ जानने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस मामले में, संख्या 10 को संख्या 15 . से विभाजित किया जाना चाहिए

जब आप 10 को 15 से भाग देते हैं, तो आपको एक आवर्त भिन्न मिलता है। आइए इस भिन्न को एक साधारण भिन्न में बदलें

परिणामी भिन्न को 3 . से कम करें

हमें अंतिम उत्तर मिला। इसलिए लड़कियां कक्षा में दो-तिहाई हिस्सा बनाती हैं।

चित्र से पता चलता है कि 15 छात्रों की एक कक्षा में, कक्षा के दो तिहाई में 10 लड़कियां हैं।

सत्यापन के लिए 15 स्कूली बच्चों से मिले तो 10 लड़कियां मिलती हैं

15: 3 = 5

5 × 2 = 10

उदाहरण 7. 10 सेमी का कौन सा भाग 25 सेमी . है

हम दस सेंटीमीटर से पच्चीस सेंटीमीटर के अनुपात को लिखते हैं। हम अनुपात के अंश में 10 सेमी, हर में 25 सेमी लिखते हैं

इस अनुपात का अर्थ जानने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस मामले में, संख्या 10 को संख्या 25 . से विभाजित किया जाना चाहिए

आइए परिणामी दशमलव अंश को साधारण में बदलें

परिणामी भिन्न को 2 . से कम करें

हमें अंतिम उत्तर मिला। इसका मतलब है कि 10 सेमी 25 सेमी से हैं।

उदाहरण 8. 25 सेमी 10 सेमी . से कितना गुना अधिक है?

हम पच्चीस सेंटीमीटर से दस सेंटीमीटर के अनुपात को लिखते हैं। अनुपात के अंश में हम 25 सेमी लिखते हैं, हर में - 10 सेमी

उत्तर 2.5 था। मतलब 25 सेमी 10 सेमी से अधिक 2.5 गुना (ढाई गुना)

महत्वपूर्ण लेख।एक ही नाम की भौतिक मात्राओं का अनुपात ज्ञात करते समय, इन मात्राओं को माप की एक इकाई में अवश्य व्यक्त किया जाना चाहिए, अन्यथा उत्तर गलत होगा।

उदाहरण के लिए, यदि हम दो लंबाई के साथ काम कर रहे हैं और हम जानना चाहते हैं कि पहली लंबाई दूसरी से कितनी गुना अधिक है, या पहली लंबाई का कौन सा हिस्सा दूसरी से है, तो दोनों लंबाई को पहले एक इकाई में व्यक्त किया जाना चाहिए माप।

उदाहरण 9. 150 सेमी 1 मीटर से कितना गुना अधिक है?

पहले, आइए इसे इस प्रकार बनाते हैं कि दोनों लंबाई माप की एक ही इकाई में व्यक्त की जाती हैं। ऐसा करने के लिए, आइए 1 मीटर को सेंटीमीटर में बदलें। एक मीटर एक सौ सेंटीमीटर है

1 मीटर = 100 सेमी

अब हम एक सौ पचास सेंटीमीटर से एक सौ सेंटीमीटर का अनुपात पाते हैं। अनुपात के अंश में हम 150 सेंटीमीटर लिखते हैं, हर में - 100 सेंटीमीटर

आइए इस अनुपात का मान ज्ञात करें

जवाब 1.5 था। इसका मतलब है कि 150 सेमी 100 सेमी (डेढ़ गुना) से 1.5 गुना अधिक है।

और अगर उन्होंने मीटर को सेंटीमीटर में परिवर्तित नहीं किया और तुरंत 150 सेमी से एक मीटर के अनुपात को खोजने की कोशिश की, तो हमें निम्नलिखित मिलेगा:

यह पता चलेगा कि 150 सेमी एक मीटर से एक सौ पचास गुना अधिक है, लेकिन यह सच नहीं है। इसलिए, रिश्ते में शामिल भौतिक मात्राओं के मापन की इकाइयों पर ध्यान देना अनिवार्य है। यदि इन मात्राओं को माप की विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किया जाता है, तो इन मात्राओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए, आपको माप की एक इकाई पर जाना होगा।

उदाहरण 10.पिछले महीने, एक व्यक्ति का वेतन 25,000 रूबल था, और इस महीने, वेतन बढ़कर 27,000 रूबल हो गया। निर्धारित करें कि वेतन कितनी बार बढ़ा है

हम सत्ताईस हजार से पच्चीस हजार का अनुपात लिखते हैं। हम अनुपात के अंश में 27000, हर में 25000 लिखते हैं।

आइए इस अनुपात का मान ज्ञात करें

उत्तर 1.08 था। इसका मतलब है कि वेतन में 1.08 गुना की वृद्धि हुई है। भविष्य में, जब हमें प्रतिशत का पता चलता है, तो हम ऐसे संकेतकों को वेतन के रूप में प्रतिशत के रूप में व्यक्त करेंगे।

उदाहरण 11... अपार्टमेंट बिल्डिंग की चौड़ाई 80 मीटर और ऊंचाई 16 मीटर है। घर अपनी ऊंचाई से कितने गुना चौड़ा है?

हम घर की चौड़ाई और उसकी ऊंचाई का अनुपात लिखते हैं:

इस अनुपात का मान 5 होता है। इसका मतलब है कि घर की चौड़ाई उसकी ऊंचाई से पांच गुना है।

संबंध संपत्ति

यदि इसके सदस्यों को एक ही संख्या से गुणा या भाग दिया जाए तो अनुपात नहीं बदलेगा।

यह रिश्ते के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से एक है जो विशेष की संपत्ति से होता है। हम जानते हैं कि यदि भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो भागफल नहीं बदलेगा। और चूंकि संबंध विभाजन से ज्यादा कुछ नहीं है, विशेष की संपत्ति भी इसके लिए काम करती है।

आइए लड़कों के प्रति लड़कियों के रवैये पर वापस जाएं (10:5)। इस रवैये से पता चला कि हर लड़के के लिए दो लड़कियां हैं। आइए देखें कि संबंध संपत्ति कैसे काम करती है, आइए इसके सदस्यों को उसी संख्या से गुणा या विभाजित करने का प्रयास करें।

हमारे उदाहरण में, रिश्ते के सदस्यों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) द्वारा विभाजित करना अधिक सुविधाजनक है।

सदस्यों 10 और 5 की जीसीडी संख्या 5 है। इसलिए, रिश्ते के सदस्यों को संख्या 5 . से विभाजित किया जा सकता है

नया नजरिया मिला। यह दो-से-एक अनुपात (2: 1) है। यह अनुपात, पिछले अनुपात 10: 5 की तरह, दर्शाता है कि एक लड़के के लिए दो लड़कियां हैं।

यह आंकड़ा 2: 1 (दो से एक) के अनुपात को दर्शाता है। पहले की तरह, प्रति लड़के 10:5 के अनुपात में दो लड़कियां हैं। दूसरे शब्दों में, रवैया नहीं बदला है।

उदाहरण 2... एक कक्षा में 10 लड़कियां और 5 लड़के हैं। एक अन्य कक्षा में 20 लड़कियां और 10 लड़के हैं। पहली कक्षा में लड़कियों की संख्या लड़कों से कितनी गुना अधिक है? दूसरी कक्षा में लड़कियों की संख्या लड़कों से कितनी गुना अधिक है?

दोनों कक्षाओं में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या दोगुनी है, क्योंकि रिश्ते और संख्या समान हैं।

संबंध संपत्ति आपको विभिन्न मॉडल बनाने की अनुमति देती है जिसमें वास्तविक वस्तु के समान पैरामीटर होते हैं। मान लीजिए एक अपार्टमेंट बिल्डिंग 30 मीटर चौड़ी और 10 मीटर ऊंची है।

कागज पर एक समान घर बनाने के लिए, आपको इसे 30:10 के समान अनुपात में बनाने की आवश्यकता है।

इस अनुपात के दोनों पदों को संख्या 10 से भाग दें। तब हमें 3:1 का अनुपात प्राप्त होता है। यह अनुपात 3 है, ठीक वैसे ही जैसे पिछला अनुपात 3 . है

आइए मीटर को सेंटीमीटर में बदलें। 3 मीटर 300 सेंटीमीटर है, और 1 मीटर 100 सेंटीमीटर है

3 मीटर = 300 सेमी

1 मीटर = 100 सेमी

हमारे पास 300 सेमी: 100 सेमी का अनुपात है। इस अनुपात की शर्तों को 100 से विभाजित करें। हमें 3 सेमी: 1 सेमी का अनुपात मिलता है। अब हम 3 सेमी की चौड़ाई और 1 सेमी की ऊंचाई के साथ एक घर बना सकते हैं।

बेशक, खींचा गया घर वास्तविक घर की तुलना में बहुत छोटा है, लेकिन चौड़ाई और ऊंचाई का अनुपात अपरिवर्तित रहता है। इसने हमें वास्तविक के जितना संभव हो सके एक घर बनाने की अनुमति दी।

मनोवृत्ति को अन्य तरीकों से भी समझा जा सकता है। मूल रूप से कहा गया था कि एक वास्तविक घर की चौड़ाई 30 मीटर और ऊंचाई 10 मीटर होती है। कुल 30 + 10, यानी 40 मीटर है।

इन 40 मीटर को 40 भागों के रूप में समझा जा सकता है। 30:10 के अनुपात का मतलब है कि चौड़ाई के लिए 30 टुकड़े और ऊंचाई के लिए 10 टुकड़े हैं।

इसके अलावा, 30:10 के अनुपात के सदस्यों को 10 से विभाजित किया गया था। परिणाम 3: 1 का अनुपात था। इस अनुपात को 4 भागों के रूप में समझा जा सकता है, जिनमें से तीन चौड़ाई के लिए हैं, एक ऊंचाई के लिए है। इस मामले में, आपको आमतौर पर यह पता लगाना होगा कि चौड़ाई और ऊंचाई में कितने मीटर हैं।

दूसरे शब्दों में, आपको यह पता लगाना होगा कि 3 भागों में कितने मीटर हैं और 1 भाग में कितने मीटर हैं। पहले आपको यह पता लगाना होगा कि एक हिस्से में कितने मीटर हैं। ऐसा करने के लिए, कुल 40 मीटर को 4 से विभाजित किया जाना चाहिए, क्योंकि 3:1 के अनुपात में केवल चार भाग होते हैं

आइए निर्धारित करें कि चौड़ाई में कितने मीटर हैं:

10 मी × 3 = 30 मी

आइए निर्धारित करें कि कितने मीटर ऊंचाई पर हैं:

10 मी × 1 = 10 मी

एकाधिक संबंध सदस्य

यदि एक संबंध में कई सदस्य दिए गए हैं, तो उन्हें किसी चीज के हिस्से के रूप में समझा जा सकता है।

उदाहरण 1... 18 सेब खरीदे। इन सेबों को माँ, पिताजी और बेटी के बीच 2: 1: 3 के अनुपात में बांटा गया था। प्रत्येक को कितने सेब मिले?

अनुपात 2: 1: 3 का मतलब है कि माँ को 2 भाग मिले, पिताजी को - 1 भाग, बेटी - 3 भाग। दूसरे शब्दों में, 2: 1: 3 अनुपात का प्रत्येक सदस्य 18 सेबों का एक विशिष्ट अंश है:

यदि आप 2:1:3 के अनुपात के सदस्यों को जोड़ दें, तो आप यह पता लगा सकते हैं कि कुल कितने भाग हैं:

2 + 1 + 3 = 6 (भाग)

ज्ञात कीजिए कि एक भाग में कितने सेब हैं। ऐसा करने के लिए, 18 सेबों को 6 . से विभाजित करें

18: 6 = 3 (सेब प्रति टुकड़ा)

अब आइए निर्धारित करें कि प्रत्येक को कितने सेब मिले। 2: 1: 3 अनुपात के प्रत्येक सदस्य द्वारा तीन सेबों को गुणा करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि माँ को कितने सेब मिले, पिताजी को कितने सेब मिले और कितनी बेटी मिली।

आइए जानें माँ को कितने सेब मिले:

3 × 2 = 6 (सेब)

पता करें कि पिताजी को कितने सेब मिले:

3 × 1 = 3 (सेब)

आइए जानें कि मेरी बेटी को कितने सेब मिले:

3 × 3 = 9 (सेब)

उदाहरण 2... न्यू सिल्वर (अल्पाका) 3: 4:13 के अनुपात में निकल, जस्ता और तांबे का मिश्र धातु है। 4 किलो नई चांदी प्राप्त करने के लिए आपको प्रत्येक धातु के कितने किलोग्राम लेने की आवश्यकता है?

4 किलोग्राम नई चांदी में 3 भाग निकल, 4 भाग जस्ता और 13 भाग तांबा होगा। सबसे पहले, हम यह पता लगाते हैं कि चार किलोग्राम चांदी में कितने भाग होंगे:

3 + 4 + 13 = 20 (भाग)

आइए निर्धारित करें कि एक भाग में कितने किलोग्राम होंगे:

4 किग्रा: 20 = 0.2 किग्रा

आइए निर्धारित करें कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम निकेल होगा। 3: 4:13 के अनुपात में मिश्रधातु के तीन भागों में निकेल होने का संकेत मिलता है। इसलिए, हम 0.2 को 3 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 3 = 0.6 किग्रा निकेल

अब आइए निर्धारित करें कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम जस्ता होगा। 3: 4:13 के अनुपात में मिश्रधातु के चारों भागों में जिंक पाया जाता है। इसलिए, हम 0.2 को 4 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 4 = 0.8 किग्रा जिंक

अब आइए निर्धारित करें कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम तांबा होगा। 3: 4:13 के अनुपात में मिश्र धातु के तेरह भागों में तांबा होता है। इसलिए, हम 0.2 को 13 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 13 = 2.6 किग्रा तांबा

इसका मतलब है कि 4 किलो नई चांदी प्राप्त करने के लिए, आपको 0.6 किलो निकल, 0.8 किलो जस्ता और 2.6 किलो तांबा लेना होगा।

उदाहरण 3... पीतल तांबे और जस्ता का मिश्र धातु है, जिसका वजन 3:2 है। पीतल का एक टुकड़ा बनाने के लिए 120 ग्राम तांबे की आवश्यकता होती है। पीतल के इस टुकड़े को बनाने में कितना जस्ता लगता है?

आइए निर्धारित करें कि एक भाग में कितने ग्राम मिश्र धातु हैं। शर्त यह है कि पीतल का एक टुकड़ा बनाने के लिए 120 ग्राम तांबे की आवश्यकता होती है। यह भी कहा जाता है कि मिश्रधातु के तीन भागों में तांबा होता है। यदि हम 120 को 3 से विभाजित करते हैं, तो हम पाते हैं कि एक भाग में कितने ग्राम मिश्र धातु है:

120: 3 = 40 ग्राम प्रति भाग

अब आइए निर्धारित करें कि पीतल का एक टुकड़ा बनाने के लिए कितने जस्ता की आवश्यकता होती है। ऐसा करने के लिए, 40 ग्राम को 2 से गुणा करें, क्योंकि 3: 2 के अनुपात से यह संकेत मिलता है कि दो भागों में जस्ता होता है:

40 ग्राम × 2 = 80 ग्राम जिंक

उदाहरण 4... हमने सोने और चाँदी की दो मिश्रधातुएँ लीं। एक में इन धातुओं की मात्रा 1:9 के अनुपात में है, और दूसरे में 2:3। 1:4 का अनुपात?

समाधान

नई मिश्रधातु का 15 किग्रा 1:4 के अनुपात में होना चाहिए। यह अनुपात बताता है कि मिश्र धातु का एक भाग सोना होगा, और चार भाग चांदी का होगा। कुल पाँच भाग हैं। इसे योजनाबद्ध रूप से निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है

आइए एक भाग का द्रव्यमान निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, पहले सभी भागों (1 और 4) को जोड़ें, फिर मिश्र धातु के द्रव्यमान को इन भागों की संख्या से विभाजित करें

1 + 4 = 5
15 किग्रा: 5 = 3 किग्रा

मिश्रधातु के एक भाग का द्रव्यमान 3 किग्रा होगा। फिर 15 किलो नई मिश्र धातु में 3 × 1 = 3 किलो सोना और चांदी 3 × 4 = 12 किलो चांदी होगी।

इसलिए, 15 किलो वजन वाली मिश्र धातु प्राप्त करने के लिए, हमें 3 किलो सोना और 12 किलो चांदी चाहिए।

आइए अब समस्या के प्रश्न का उत्तर दें - " आपको प्रत्येक मिश्र धातु का कितना लेना चाहिए? »

हम पहले मिश्र धातु का 10 किलो लेंगे, क्योंकि इसमें सोना और चांदी 1:9 के अनुपात में हैं। यानी यह पहली मिश्र धातु हमें 1 किलो सोना और 9 किलो चांदी देगी।

हम दूसरी मिश्रधातु का 5 किलो लेंगे, क्योंकि इसमें सोना और चांदी 2:3 के अनुपात में हैं, यानी यह दूसरी मिश्र धातु हमें 2 किलो सोना और 3 किलो चांदी देगी।

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अनुपात का सूत्र

समानुपात दो अनुपातों की समानता है जब a: b = c: d

अनुपात 1 : 10 अनुपात 7 . के बराबर है : 70, जिसे भिन्न के रूप में भी लिखा जा सकता है: 1 10 = 7 70 के रूप में पढ़ता है: "एक दस को संदर्भित करता है और साथ ही सात सत्तर को संदर्भित करता है"

मूल अनुपात गुण

चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों (क्रॉसवाइज) के गुणनफल के बराबर होता है: यदि a: b = c: d, तो a⋅d = b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

अनुपात का व्युत्क्रम: यदि a: b = c: d तो b: a = d: c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

मध्य पदों का क्रमपरिवर्तन: यदि a: b = c: d, तो a: c = b: d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

चरम पदों का क्रमपरिवर्तन: यदि a: b = c: d, तो d: b = c: a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

एक अज्ञात के साथ अनुपात को हल करना | समीकरण

1 : 10 = एक्स : 70 या 1 10 = एक्स 70

एक्स को खोजने के लिए, आपको दो ज्ञात संख्याओं को क्रॉसवाइज गुणा करना होगा और विपरीत मान से विभाजित करना होगा

एक्स = 1 ⋅ 70 10 = 7

अनुपात की गणना कैसे करें

कार्य:आपको प्रति 10 किलोग्राम वजन में 1 टैबलेट सक्रिय कार्बन पीने की जरूरत है। अगर किसी व्यक्ति का वजन 70 किलो है तो आपको कितनी गोलियां लेनी चाहिए?

आइए अनुपात बनाएं: 1 टैबलेट - 10 किलो एक्सगोलियाँ - 70 किलो x खोजने के लिए, आपको दो ज्ञात संख्याओं को क्रॉसवाइज गुणा करना होगा और विपरीत मान से विभाजित करना होगा: 1 गोली एक्सगोलियाँ✕ 10 किग्रा 70 किलो एक्स = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 उत्तर: 7 गोलियाँ

कार्य:वास्या पांच घंटे में दो लेख लिखती है। वह 20 घंटे में कितने लेख लिखेगा?

आइए अनुपात बनाते हैं: 2 लेख - 5 घंटे एक्सलेख - 20 घंटे एक्स = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 उत्तर: 8 लेख

मैं भविष्य के स्कूली स्नातकों से कह सकता हूं कि अनुपात बनाने की क्षमता मेरे काम आई, और चित्रों को आनुपातिक रूप से कम करने के लिए, और वेब पेज के HTML लेआउट में, और रोजमर्रा की स्थितियों में।

अनुपात एक ऐसा परिचित संयोजन है, जो शायद एक व्यापक स्कूल के प्राथमिक ग्रेड से जाना जाता है। सबसे सामान्य अर्थ में, अनुपात दो या दो से अधिक संबंधों की समानता है.

अर्थात्, यदि कुछ संख्याएँ A, B और C हैं

फिर अनुपात

यदि चार संख्याएँ A, B, C और D हैं

तब या भी एक अनुपात है

सबसे सरल उदाहरण जहां अनुपात का उपयोग किया जाता है वह प्रतिशत की गणना करना है।

सामान्य तौर पर, अनुपात का उपयोग इतना व्यापक होता है कि यह कहना आसान होता है कि उनका उपयोग कहां नहीं किया जाता है।

अनुपात का उपयोग एक महत्वपूर्ण शर्त के साथ दूरी, द्रव्यमान, आयतन और किसी भी चीज़ की मात्रा निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है: अनुपात में, विभिन्न वस्तुओं के बीच रैखिक निर्भरता होनी चाहिए... नीचे, कांस्य घुड़सवार के एक मॉडल के निर्माण के उदाहरण का उपयोग करते हुए, आप देखेंगे कि अनुपात की गणना कैसे की जानी चाहिए जहां गैर-रेखीय निर्भरताएं हैं।

निर्धारित करें कि यदि आप कुल चावल का 17 प्रतिशत 150 किलोग्राम में लेते हैं तो चावल कितने किलोग्राम होगा?

आइए अनुपात को शब्दों में एक साथ रखें: 150 किलोग्राम चावल की कुल मात्रा है। तो चलिए इसे 100% के रूप में लेते हैं। फिर 100% के 17% की गणना दो अनुपातों के अनुपात के रूप में की जाएगी: 100 प्रतिशत 150 किलोग्राम के साथ-साथ 17 प्रतिशत अज्ञात संख्या को संदर्भित करता है।

अब अज्ञात संख्या की गणना प्राथमिक रूप से की जा सकती है

यानी हमारा जवाब है 25.5 किलोग्राम चावल।

दिलचस्प पहेलियां अनुपात के साथ भी जुड़ी हुई हैं, जो दर्शाती हैं कि आपको सभी अवसरों के लिए लापरवाही से अनुपात लागू नहीं करना चाहिए।

यहाँ उनमें से एक है, थोड़ा संशोधित:

कंपनी के कार्यालय में प्रदर्शन के लिए, निदेशक ने ग्रेनाइट पेडस्टल के बिना मूर्तिकला "द ब्रॉन्ज़ हॉर्समैन" का एक मॉडल बनाने का आदेश दिया। शर्तों में से एक यह है कि लेआउट मूल सामग्री के समान सामग्री से बना होना चाहिए, अनुपात मनाया जाता है और लेआउट की ऊंचाई बिल्कुल 1 मीटर थी। प्रश्न: लेआउट का द्रव्यमान क्या होगा?

सबसे पहले, आइए संदर्भ पुस्तकों की ओर मुड़ें।

सवार की ऊंचाई 5.35 मीटर है, और उसका वजन 8,000 किलो है।

यदि हम पहले विचार का उपयोग करते हैं - अनुपात बनाने के लिए: 5.35 मीटर 8,000 किलोग्राम को 1 मीटर के रूप में अज्ञात मान के रूप में संदर्भित करता है, तो हम गणना भी शुरू नहीं कर सकते हैं, क्योंकि उत्तर गलत होगा।

यह सब एक छोटी सी बारीकियों के बारे में है जिसे ध्यान में रखा जाना चाहिए। यह सब कनेक्शन के बारे में है द्रव्यमान और ऊंचाई के बीचमूर्तिकारों अरेखीय, अर्थात्, हम यह नहीं कह सकते हैं कि, उदाहरण के लिए, एक घन को 1 मीटर बढ़ाकर (अनुपातों को देखते हुए कि वह एक घन बना रहे), हम उसके वजन को उसी मात्रा में बढ़ा देंगे।

उदाहरणों के साथ जांचना आसान है:

1. एक घन को 10 सेंटीमीटर के किनारे की लंबाई के साथ गोंद करें। वहां कितना पानी जाएगा? यह तर्कसंगत है कि 10 * 10 * 10 = 1000 घन सेंटीमीटर, यानी 1 लीटर। खैर, चूंकि वहां पानी डाला गया था (घनत्व एक के बराबर है), और दूसरा तरल नहीं है, तो द्रव्यमान 1 किलो के बराबर होगा।

2. हम एक समान घन को गोंद करते हैं लेकिन 20 सेमी की एक रिब लंबाई के साथ। वहां डाले गए पानी की मात्रा 20 * 20 * 20 = 8000 घन सेंटीमीटर, यानी 8 लीटर के बराबर होगी। खैर, वजन स्वाभाविक रूप से 8 किलो है।

यह देखना आसान है कि द्रव्यमान और घन के किनारे की लंबाई में परिवर्तन के बीच संबंध अरेखीय है, या बल्कि घन है।

याद रखें कि आयतन ऊँचाई, चौड़ाई और गहराई का गुणनफल है।

यही है, जब रैखिक आकार (ऊंचाई, चौड़ाई, गहराई) के आंकड़े में परिवर्तन (अनुपात / आकार के अधीन) होता है, तो वॉल्यूमेट्रिक आकृति का द्रव्यमान / आयतन घन रूप से बदल जाता है।

हमने बहस की:

हमारा रैखिक आकार 5.35 मीटर से 1 मीटर में बदल गया है, तो द्रव्यमान (आयतन) 8000/x के घनमूल के रूप में बदल जाएगा

और हम पाते हैं कि लेआउट कांस्य घुड़सवारकंपनी के कार्यालय में 1 मीटर की ऊंचाई के साथ इसका वजन 52 किलोग्राम 243 ग्राम होगा।

लेकिन दूसरी ओर, यदि कार्य को इस तरह रखा जाता है " लेआउट मूल, अनुपात और के समान सामग्री से बना होना चाहिए आयतन 1 घन मीटर "यह जानते हुए कि आयतन और द्रव्यमान के बीच एक रैखिक संबंध है, हम केवल मानक अनुपात, पुराने आयतन से नए और पुराने द्रव्यमान का उपयोग अज्ञात संख्या में करेंगे।

लेकिन हमारा बॉट अन्य सामान्य और व्यावहारिक मामलों में अनुपात की गणना करने में मदद करता है।

निश्चय ही यह उन सभी गृहिणियों के काम आएगी जो खाना बनाती हैं।

स्थिति तब उत्पन्न होती है जब एक अद्भुत 10 किलो केक के लिए एक नुस्खा मिल जाता है, लेकिन इसकी मात्रा तैयार करने के लिए बहुत बड़ी है .. मैं छोटा होना चाहता हूं, उदाहरण के लिए, केवल दो किलोग्राम, लेकिन सभी नए वजन और सामग्री की मात्रा की गणना कैसे करें ?

यह वह जगह है जहां एक बॉट आपकी मदद करेगा, जो 2 किलो के केक के नए मापदंडों की गणना करने में सक्षम होगा।

इसके अलावा, बॉट मेहनती पुरुषों के लिए गणना में मदद करेगा जो घर बना रहे हैं और उन्हें यह गणना करने की आवश्यकता है कि कंक्रीट के लिए कितनी सामग्री लेनी है यदि उसके पास केवल 50 किलोग्राम रेत है।

वाक्य - विन्यास

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जहां स्ट्रिंग में आवश्यक तत्व हैं

संख्या 1 / संख्या 2 - अनुपात ज्ञात करना।

इस तरह के संक्षिप्त विवरण से भयभीत न होने के लिए, हम यहां एक उदाहरण देंगे।

200 300 100 3 400/100

जो कहता है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित के बारे में:

200 ग्राम आटा, 300 मिलीलीटर दूध, 100 ग्राम मक्खन, 3 अंडे - पेनकेक्स का उत्पादन 400 ग्राम है।

केवल 100 ग्राम पैनकेक बेक करने के लिए आपको कितनी सामग्री की आवश्यकता होगी?

नोटिस करना कितना आसान है

400/100 एक विशिष्ट नुस्खा और उस आउटपुट का अनुपात है जिसे हम प्राप्त करना चाहते हैं।

हम संबंधित अनुभाग में उदाहरणों पर अधिक विस्तार से विचार करेंगे।

इसके उदाहरण

एक मित्र ने एक अद्भुत नुस्खा साझा किया

आटा: 200 ग्राम खसखस, 8 अंडे, 200 पिसी चीनी, 50 ग्राम पिसे हुए रोल, 200 ग्राम पिसे हुए मेवे, 3 कप शहद।
खसखस को धीमी आंच पर 30 मिनट तक उबालें, मूसल से पीस लें, पिघला हुआ शहद, पिसे हुए पटाखे, मेवे डालें।
पाउडर चीनी के साथ अंडे मारो, द्रव्यमान में जोड़ें।
धीरे से आटा मिलाएं, एक सांचे में डालें, बेक करें।
कूल्ड केक को 2 परतों में काटें, खट्टा जैम से कोट करें, फिर क्रीम।
जाम से जामुन से सजाएं।
क्रीम: 1 कप खट्टा क्रीम, 1/2 कप चीनी, फेंटें।