साधारण संख्याओं को दशमलव से गुणा कैसे करें। दशमलव गुणन

मध्य और उच्च विद्यालय के पाठ्यक्रम में, छात्रों ने "अंश" विषय का अध्ययन किया। हालाँकि, यह अवधारणा सीखने की प्रक्रिया में दी गई तुलना में बहुत व्यापक है। आज, एक अंश की अवधारणा का अक्सर सामना किया जाता है, और हर कोई किसी भी अभिव्यक्ति की गणना नहीं कर सकता है, उदाहरण के लिए, अंशों का गुणन।

एक अंश क्या है?

ऐतिहासिक रूप से ऐसा हुआ कि मापने की आवश्यकता के कारण भिन्नात्मक संख्याएँ दिखाई दीं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अक्सर एक खंड की लंबाई, एक आयताकार आयत का आयतन निर्धारित करने के उदाहरण होते हैं।

प्रारंभ में, छात्रों को शेयर की अवधारणा से परिचित कराया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक तरबूज को 8 भागों में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक को तरबूज का आठवां हिस्सा मिलेगा। आठ में से यह एक भाग भिन्न कहलाता है।

किसी भी मान के ½ के बराबर भिन्न को आधा कहा जाता है; - तीसरा; - एक चौथाई। 5/8, 4/5, 2/4 के रूप के अभिलेख साधारण भिन्न कहलाते हैं। एक सामान्य अंश को अंश और हर में विभाजित किया जाता है। उनके बीच भिन्नात्मक रेखा या भिन्नात्मक रेखा होती है। एक स्लैश को क्षैतिज या तिरछी रेखा के रूप में खींचा जा सकता है। इस मामले में, यह विभाजन के संकेत को दर्शाता है।

भाजक यह दर्शाता है कि मूल्य कितने बराबर है, वस्तु विभाजित है; और अंश यह है कि कितने बराबर शेयर लिए गए हैं। अंश रेखा के ऊपर अंश लिखा होता है, उसके नीचे हर।

निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों को दिखाना सबसे सुविधाजनक होता है। यदि आप एक इकाई खंड को 4 बराबर शेयरों में विभाजित करते हैं, प्रत्येक शेयर को लैटिन अक्षर से नामित करते हैं, तो परिणामस्वरूप आप एक उत्कृष्ट दृश्य सहायता प्राप्त कर सकते हैं। तो, बिंदु ए पूरे इकाई खंड के 1/4 के बराबर एक अंश दिखाता है, और बिंदु बी इस खंड के 2/8 अंक दिखाता है।

भिन्नों की किस्में

भिन्न साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ हो सकती हैं। इसके अलावा, अंशों को सही और गलत में विभाजित किया जा सकता है। यह वर्गीकरण साधारण भिन्नों के लिए अधिक उपयुक्त है।

एक सही भिन्न को उस संख्या के रूप में समझा जाता है जिसका अंश हर से कम होता है। तदनुसार, एक अनुचित भिन्न वह संख्या है जिसका अंश हर से बड़ा होता है। दूसरे प्रकार को आमतौर पर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है। इस तरह के व्यंजक में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। उदाहरण के लिए, 1½। 1 - पूरा भाग, ½ - भिन्नात्मक। हालाँकि, यदि आपको व्यंजक (विभाजन या गुणा, उनकी कमी या परिवर्तन) के साथ कोई जोड़-तोड़ करने की आवश्यकता है, तो मिश्रित संख्या का एक अनुचित अंश में अनुवाद किया जाता है।

एक सही भिन्नात्मक व्यंजक हमेशा एक से छोटा होता है, और एक गलत व्यंजक हमेशा 1 से बड़ा या उसके बराबर होता है।

उसके लिए, इस अभिव्यक्ति का अर्थ एक रिकॉर्ड है जिसमें किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है, एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर को कई शून्य के साथ एक के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। यदि भिन्न सही है, तो दशमलव अंकन में पूरा भाग शून्य होगा।

एक दशमलव भिन्न लिखने के लिए, आपको पहले पूरे भाग को लिखना होगा, इसे भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा, और फिर भिन्नात्मक व्यंजक लिखना होगा। यह याद रखना चाहिए कि अल्पविराम के बाद, अंश में उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि हर में शून्य होते हैं।

उदाहरण... भिन्न 7 21/1000 को दशमलव संकेतन में प्रस्तुत करें।

एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए एल्गोरिदम और इसके विपरीत

प्रश्न के उत्तर में गलत अंश लिखना गलत है, इसलिए इसे मिश्रित संख्या में बदलना चाहिए:

• अंश को मौजूदा हर से विभाजित करें;
• एक विशिष्ट उदाहरण में, अपूर्ण भागफल पूर्ण है;
• और शेष भिन्नात्मक भाग का अंश है, और हर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण... अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलें: 47/5।

समाधान... 47: 5. अधूरा भागफल 9 के बराबर है, शेष = 2 है। इसलिए, 47/5 = 9 2/5।

कभी-कभी आप मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करना चाहते हैं। फिर आपको निम्न एल्गोरिथम का उपयोग करने की आवश्यकता है:

• पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक व्यंजक के हर से गुणा किया जाता है;
• परिणामी उत्पाद अंश में जोड़ा जाता है;
• परिणाम अंश में लिखा जाता है, भाजक अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण... एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में प्रदान करें: 9 8/10।

समाधान... 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - अंश।

उत्तर: 98 / 10.

साधारण भिन्नों का गुणन

साधारण भिन्नों पर विभिन्न बीजीय संक्रियाएं की जा सकती हैं। दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा। इसके अलावा, भिन्न हर वाले भिन्नों का गुणन समान हर वाली भिन्नात्मक संख्याओं के गुणनफल से भिन्न नहीं होता है।

ऐसा होता है कि परिणाम खोजने के बाद, आपको भिन्न को रद्द करने की आवश्यकता होती है। परिणामी अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाना अनिवार्य है। बेशक, कोई यह नहीं कह सकता कि उत्तर में गलत अंश एक गलती है, लेकिन इसे सही उत्तर कहना भी मुश्किल है।

उदाहरण... दो साधारण भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: ½ और 20/18।

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, काम खोजने के बाद, आपको एक संक्षिप्त भिन्नात्मक अंकन मिलता है। इस मामले में अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित किया गया है, और उत्तर 5/9 है।

दशमलव भिन्नों का गुणन

दशमलव भिन्नों का गुणनफल अपने सिद्धांत में सामान्य अंशों के गुणनफल से काफी भिन्न होता है। तो, भिन्नों का गुणन इस प्रकार है:

• दो दशमलव अंशों को एक दूसरे के नीचे लिखा जाना चाहिए ताकि सबसे दाहिने अंक एक दूसरे के नीचे हों;
• आपको अल्पविराम के बावजूद, जो कि प्राकृतिक है, लिखित संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है;
• प्रत्येक संख्या में अल्पविराम के बाद अंकों की संख्या गिनें;
• गुणा के बाद प्राप्त परिणाम में, आपको दशमलव बिंदु के बाद दोनों कारकों में योग में निहित दाईं ओर से कई डिजिटल वर्णों की गणना करने और एक अलग चिह्न लगाने की आवश्यकता है;
• यदि उत्पाद में कम संख्याएँ हैं, तो आपको इस राशि को कवर करने के लिए उनके सामने इतने सारे शून्य लिखने होंगे, एक अल्पविराम लगाएं और पूरे भाग को शून्य के बराबर असाइन करें।

उदाहरण... दो दशमलव भिन्नों, 2.25 और 3.6 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान.

मिश्रित भिन्नों का गुणन

दो मिश्रित भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, आपको भिन्नों को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करना होगा:

• मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें;
• अंशों का गुणनफल ज्ञात कीजिए;
• हर के उत्पाद का पता लगाएं;
• परिणामी परिणाम लिखिए;
• अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाएं।

उदाहरण... 4½ और 6 2/5 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

किसी संख्या को भिन्न से गुणा करना (अंश को संख्या से)

दो भिन्नों, मिश्रित संख्याओं के गुणनफल को खोजने के अलावा, ऐसे कार्य भी हैं जहाँ आपको भिन्न से गुणा करने की आवश्यकता होती है।

इसलिए, एक दशमलव भिन्न और एक प्राकृत संख्या का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

• भिन्न के नीचे की संख्या इस प्रकार लिखिए कि सबसे दाहिने अंक एक के ऊपर एक हों;
• अल्पविराम के बावजूद एक काम खोजें;
• परिणामी परिणाम में, पूर्णांक भाग को अल्पविराम का उपयोग करके भिन्नात्मक भाग से अलग करें, जो अंश में दशमलव बिंदु के बाद दाईं ओर से अंकों की संख्या की गणना करता है।

किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको अंश और प्राकृतिक गुणनखंड का गुणनफल ज्ञात करना होगा। यदि उत्तर में रद्दीकरण अंश है, तो इसे परिवर्तित किया जाना चाहिए।

उदाहरण... 5/8 और 12 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

उत्तर: 7 1 / 2.

जैसा कि आप पिछले उदाहरण से देख सकते हैं, परिणामी परिणाम को छोटा करना और गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को मिश्रित संख्या में बदलना आवश्यक था।

साथ ही, भिन्नों का गुणन मिश्रित रूप में किसी संख्या का गुणनफल और एक प्राकृतिक कारक खोजने पर भी लागू होता है। इन दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको मिश्रित कारक के पूर्णांक भाग को एक संख्या से गुणा करना चाहिए, अंश को उसी मान से गुणा करना चाहिए, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए। यदि आवश्यक हो, तो आपको परिणामी परिणाम को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है।

उदाहरण... उत्पाद 9 5/6 और 9 खोजें।

समाधान... 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9)/6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2।

उत्तर: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 या 0.1 के गुणनखंडों से गुणा; 0.01; 0.001

निम्नलिखित नियम पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000, 10000, आदि से गुणा करने के लिए, आपको अल्पविराम को दायीं ओर उतने अंकों से ले जाना होगा जितने कि गुणक में एक के बाद एक शून्य होते हैं।

उदाहरण 1... 0.065 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान... 0.065 x 1000 = 0065 = 65।

उत्तर: 65.

उदाहरण 2... 3.9 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान... 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900।

उत्तर: 3900.

यदि आपको एक प्राकृत संख्या और 0.1 को गुणा करने की आवश्यकता है; 0.01; 0.001; 0.0001, आदि, आपको परिणामी उत्पाद में अल्पविराम को बाईं ओर ले जाना चाहिए, जितने अंकों में एक तक शून्य हो। यदि आवश्यक हो तो प्राकृत संख्या के आगे पर्याप्त शून्य लिख दिया जाता है।

उदाहरण 1... 56 और 0.01 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान... 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

उत्तर: 0,56.

उदाहरण 2... 4 और 0.001 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान... 4 x 0.001 = 0004 = 0.004।

उत्तर: 0,004.

इसलिए, विभिन्न भिन्नों के गुणनफल को खोजने में शायद परिणाम की गणना के अलावा कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए; इस मामले में, आप बस एक कैलकुलेटर के बिना नहीं कर सकते।

दशमलव गुणनतीन चरणों में होता है।

दशमलव भिन्न को एक कॉलम में लिखा जाता है और सामान्य संख्याओं की तरह गुणा किया जाता है।

हम पहले दशमलव भिन्न में और दूसरे में दशमलव स्थानों की संख्या गिनते हैं। हम उनकी संख्या जोड़ते हैं।

परिणामी परिणाम में, हम दाएं से बाएं उतने अंक गिनते हैं जितने हमें उपरोक्त पैराग्राफ में मिले हैं और अल्पविराम लगाते हैं।

दशमलव भिन्नों को कैसे गुणा करें

हम दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में लिखते हैं और अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए उन्हें प्राकृत संख्याओं के रूप में गुणा करते हैं। यानी हम 3.11 को 311 और 0.01 को 1 मानते हैं।

311 प्राप्त किया। अब हम दोनों भिन्नों के लिए दशमलव बिंदु के बाद अंकों (अंकों) की संख्या गिनते हैं। पहले दशमलव में दो अंक होते हैं और दूसरे में दो अंक होते हैं। अल्पविराम के बाद अंकों की कुल संख्या:

हम परिणामी संख्या से दाएं से बाएं 4 वर्णों (संख्याओं) की गणना करते हैं। परिणामी परिणाम में, आपको अल्पविराम से अलग करने की आवश्यकता से कम अंक हैं। इस मामले में, आपको चाहिए बाएंशून्य की लापता संख्या असाइन करें।

हम एक अंक खो रहे हैं, इसलिए हम बाईं ओर एक शून्य निर्दिष्ट करते हैं।

किसी दशमलव को गुणा करने पर 10 पर; एक सौ; 1000, आदि दशमलव बिंदु को उतने ही अंकों से दाईं ओर ले जाया जाता है, जितने एक के बाद एक शून्य होते हैं।

70.1 10 = 701

0.023 100 = 2.3

5.6 1000 = 5600

दशमलव को 0.1 से गुणा करना; 0.01; 0.001, आदि, इस भिन्न में अल्पविराम को बाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित करना आवश्यक है जितने कि इकाई के सामने शून्य हैं।

हम शून्य पूर्णांक गिनते हैं!

• 12 0.1 = 1.2
• 0.05 0.1 = 0.005
• 1.256 0.01 = 0.012 56

दशमलव भिन्नों को गुणा करने का तरीका समझने के लिए, आइए विशिष्ट उदाहरण देखें।

दशमलव गुणन नियम

1) हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए गुणा करते हैं।

2) परिणामस्वरूप, हम अल्पविराम के बाद उतने ही अंक अलग करते हैं जितने दोनों कारकों में अल्पविराम के बाद होते हैं।

दशमलव भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

दशमलव अंशों को गुणा करने के लिए, हम अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए गुणा करते हैं। यानी, हम 6.8 और 3.4 नहीं, बल्कि 68 और 34 को गुणा कर रहे हैं। परिणामस्वरूप, हम कॉमा के बाद जितने अंक दोनों कारकों में कॉमा के बाद होते हैं, उतने ही अलग करते हैं। दशमलव बिंदु के बाद पहले गुणक में एक अंक होता है, दूसरा - भी एक। कुल मिलाकर, हम दो अंकों को दशमलव बिंदु के बाद अलग करते हैं। इस प्रकार, हमें अंतिम उत्तर मिला: 6.8 3.4 = 23.12।

अल्पविराम को ध्यान में रखे बिना दशमलव को गुणा करें। यानी वास्तव में, 36.85 को 1.14 से गुणा करने के बजाय, हम 3685 को 14 से गुणा करते हैं। हमें 51590 मिलते हैं। अब, इस परिणाम में, हमें उतने अंकों को अल्पविराम से अलग करने की आवश्यकता है, जितने दोनों कारकों में एक साथ हैं। दशमलव बिंदु के बाद पहली संख्या में दो अंक होते हैं, दूसरा - एक। कुल मिलाकर, हम तीन अंकों को अल्पविराम से अलग करते हैं। चूंकि दशमलव बिंदु के बाद प्रविष्टि के अंत में शून्य है, हम इसे प्रतिक्रिया में नहीं लिखते हैं: 36.85 1.4 = 51.59।

इन दशमलव भिन्नों को गुणा करने के लिए, हम अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए संख्याओं को गुणा करते हैं। यानी हम प्राकृतिक संख्याओं को 2315 और 7 से गुणा करते हैं। हमें 16205 मिलते हैं। इस संख्या में, आपको दशमलव बिंदु के बाद चार अंकों को अलग करने की आवश्यकता होती है - जितने दोनों कारकों में एक साथ होते हैं (प्रत्येक में दो)। अंतिम उत्तर: 23.15 0.07 = 1.6205।

एक दशमलव अंश का एक प्राकृतिक संख्या से गुणा उसी तरह किया जाता है। हम अल्पविराम पर ध्यान न देते हुए संख्याओं को गुणा करते हैं, अर्थात 75 को 16 से गुणा करते हैं। परिणाम में, अल्पविराम के बाद उतने अंक होने चाहिए जितने दोनों कारकों में एक साथ हों - एक। अत: 75 1.6 = 120.0 = 120.

हम प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करके दशमलव अंशों को गुणा करना शुरू करते हैं, क्योंकि हम अल्पविराम पर ध्यान नहीं देते हैं। उसके बाद हम दशमलव बिंदु के बाद जितने अंक दोनों गुणनखंडों में होते हैं उतने अंकों को अलग करते हैं। दशमलव बिंदु के बाद पहली संख्या में दो अंक होते हैं, दूसरे में भी - दो। कुल मिलाकर, परिणामस्वरूप, दशमलव बिंदु के बाद चार अंक होने चाहिए: 4.72 5.04 = 23.7888।

और दशमलव भिन्नों को गुणा करने के लिए कुछ और उदाहरण:

www.for6cl.uznateshe.ru

दशमलव गुणन, नियम, उदाहरण, समाधान।

दशमलव भिन्नों के साथ अगली क्रिया के अध्ययन की ओर बढ़ते हुए, अब हम व्यापक रूप से विचार करेंगे दशमलव गुणन... सबसे पहले, आइए दशमलव भिन्नों को गुणा करने के सामान्य सिद्धांतों पर चर्चा करें। उसके बाद, हम एक दशमलव भिन्न को एक दशमलव भिन्न से गुणा करने के लिए आगे बढ़ेंगे, दिखाएंगे कि एक कॉलम द्वारा दशमलव अंशों का गुणन कैसे किया जाता है, उदाहरणों के समाधान पर विचार करें। इसके बाद, हम दशमलव भिन्नों को प्राकृत संख्याओं से गुणा करने का विश्लेषण करेंगे, विशेष रूप से 10, 100, आदि से। अंत में, आइए दशमलव भिन्नों को भिन्नों और मिश्रित संख्याओं से गुणा करने के बारे में बात करते हैं।

मान लीजिए कि इस लेख में हम केवल सकारात्मक दशमलव अंशों को गुणा करने के बारे में बात करेंगे (सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएं देखें)। शेष मामलों पर परिमेय संख्याओं के गुणन के लेख में चर्चा की गई है और वास्तविक संख्याओं का गुणन.

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दशमलव भिन्नों को गुणा करने के सामान्य सिद्धांत

आइए उन सामान्य सिद्धांतों पर चर्चा करें जिनका दशमलव अंशों के साथ गुणा करते समय पालन किया जाना चाहिए।

चूँकि परिमित दशमलव भिन्न और अनंत आवधिक भिन्न सामान्य भिन्नों को लिखने का दशमलव रूप हैं, ऐसे दशमलव भिन्नों का गुणन अनिवार्य रूप से सामान्य भिन्नों का गुणन है। दूसरे शब्दों में, अंत दशमलव गुणन, अंतिम और आवधिक दशमलव अंशों का गुणन, साथ ही साथ आवधिक दशमलव अंशों का गुणनदशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलने के बाद साधारण भिन्नों के गुणन में घटा दिया जाता है।

आइए दशमलव अंशों को गुणा करने के ध्वनि सिद्धांत का उपयोग करने के उदाहरणों पर विचार करें।

दशमलव भिन्नों को 1.5 और 0.75 से गुणा करें।

दशमलव भिन्नों को संबंधित सामान्य भिन्नों से गुणा करने के लिए बदलें। चूँकि 1.5 = 15/10 और 0.75 = 75/100, तब। आप अंश को कम कर सकते हैं, फिर अनुचित अंश से पूरे भाग का चयन कर सकते हैं, और परिणामी साधारण अंश 1 125/1000 को दशमलव अंश 1.125 के रूप में लिखना अधिक सुविधाजनक है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक कॉलम में अंतिम दशमलव अंशों को गुणा करना सुविधाजनक है, हम अगले पैराग्राफ में दशमलव अंशों को गुणा करने की इस पद्धति के बारे में बात करेंगे।

आइए आवधिक दशमलव अंशों को गुणा करने का एक उदाहरण देखें।

आवधिक दशमलव अंशों 0, (3) और 2, (36) के गुणनफल की गणना करें।

आइए आवधिक दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में अनुवाद करें:

फिर। आप परिणामी साधारण भिन्न को दशमलव भिन्न में बदल सकते हैं:


यदि गुणा किए गए दशमलव अंशों में अनंत गैर-आवधिक अंश हैं, तो परिमित और आवधिक वाले सहित सभी गुणा किए गए अंशों को एक निश्चित अंक तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए (देखें पूर्णांकन संख्या), और फिर पूर्णांकन के बाद प्राप्त अंतिम दशमलव अंशों को गुणा करें।

दशमलव गुणन 5.382 ... और 0.2 करें।

सबसे पहले, हम एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को पूर्णांकित करते हैं, सौवें तक पूर्णांकन किया जा सकता है, हमारे पास 5.382 ... ≈5.38 है। अंतिम दशमलव 0.2 से सौवें तक पूर्णांकित करने की कोई आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार, 5.382 ... · 0.2≈5.38 · 0.2. यह अंतिम दशमलव अंशों के उत्पाद की गणना करने के लिए बनी हुई है: 5.38 · 0.2 = 538/100 · 2/10 = 1,076/1000 = 1.076।

कॉलम दशमलव गुणन

अंतिम दशमलव अंशों का गुणन एक कॉलम में किया जा सकता है, प्राकृतिक संख्याओं के एक कॉलम में गुणा के समान।

आइए तैयार करें कॉलम दशमलव गुणन नियम... दशमलव अंशों को एक कॉलम से गुणा करने के लिए, आपको चाहिए:

• अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ के साथ गुणन के सभी नियमों के अनुसार गुणा करें;
• परिणामी संख्या में, दशमलव बिंदु के साथ दाईं ओर जितने अंक हैं, दोनों कारकों में एक साथ दशमलव स्थान हैं, और यदि उत्पाद में पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो बाईं ओर आपको आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ने की आवश्यकता है .

आइए एक कॉलम के साथ दशमलव अंशों को गुणा करने के उदाहरणों पर विचार करें।

दशमलव भिन्नों को 63.37 और 0.12 से गुणा करें।

आइए एक कॉलम द्वारा दशमलव भिन्नों का गुणन करें। सबसे पहले, हम अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए संख्याओं को गुणा करते हैं:


यह परिणामी उत्पाद में अल्पविराम लगाने के लिए बनी हुई है। उसे 4 अंकों को दाईं ओर से अलग करने की आवश्यकता है, क्योंकि कारक चार दशमलव स्थानों (अंश 3.37 में दो और अंश 0.12 में दो) तक जोड़ते हैं। पर्याप्त संख्याएं हैं, इसलिए बाईं ओर शून्य जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है। आइए रिकॉर्डिंग समाप्त करें:


परिणामस्वरूप, हमारे पास 3.37 0.12 = 7.6044 है।

दशमलव भिन्नों 3.2601 और 0.0254 के गुणनफल की गणना करें।

अल्पविराम को ध्यान में रखे बिना एक कॉलम से गुणा करने के बाद, हमें निम्नलिखित चित्र मिलता है:


अब उत्पाद में, आपको दायीं ओर 8 अंकों को अल्पविराम से अलग करने की आवश्यकता है, क्योंकि गुणा किए गए अंशों के दशमलव स्थानों की कुल संख्या आठ है। लेकिन उत्पाद में केवल 7 अंक हैं, इसलिए, आपको बाईं ओर इतने शून्य निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है कि आप 8 अंकों को अल्पविराम से अलग कर सकें। हमारे मामले में, आपको दो शून्य निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है:


यह एक कॉलम द्वारा दशमलव अंशों के गुणन को पूरा करता है।

दशमलव भिन्नों को 0.1, 0.01, आदि से गुणा करना।

अक्सर, आपको दशमलव भिन्नों को 0.1, 0.01, इत्यादि से गुणा करना होता है। इसलिए, इन संख्याओं से एक दशमलव अंश को गुणा करने के लिए एक नियम बनाने की सलाह दी जाती है, जो ऊपर चर्चा किए गए दशमलव अंशों को गुणा करने के सिद्धांतों का पालन करता है।

इसलिए, दिए गए दशमलव अंश को 0.1, 0.01, 0.001, और इसी तरह से गुणा करनाएक भिन्न देता है, जो मूल से प्राप्त होता है, यदि इसकी प्रविष्टि में अल्पविराम बाईं ओर क्रमशः 1, 2, 3 और इसी तरह अंकों में ले जाया जाता है, जबकि यदि अल्पविराम को ले जाने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो आपको बाईं ओर आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, दशमलव अंश 54.34 को 0.1 से गुणा करने के लिए, आपको अल्पविराम को 54.34 में 1 अंक से बाईं ओर ले जाना होगा, और आपको अंश 5.434, यानी 54.34 · 0.1 = 5.434 प्राप्त होगा। आइए एक और उदाहरण देते हैं। दशमलव 9.3 को 0.0001 से गुणा करें। ऐसा करने के लिए, हमें दशमलव अंश 9.3 में अल्पविराम 4 अंकों को बाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है, लेकिन अंश 9.3 में इतने अंक नहीं हैं। इसलिए, हमें बाईं ओर भिन्न 9.3 में इतने शून्य निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है ताकि हम आसानी से 4 अंकों से अल्पविराम का स्थानांतरण कर सकें, हमारे पास 9.3 · 0.0001 = 0.00093 है।

ध्यान दें कि दशमलव भिन्न को 0.1, 0.01, ... से गुणा करने का नियम अनंत दशमलव भिन्नों के लिए भी मान्य है। उदाहरण के लिए, 0, (18) · 0.01 = 0.00 (18) या 93.938 ... · 0.1 = 9.3938…।

एक प्राकृतिक संख्या से दशमलव गुणन

मूलतः प्राकृतिक संख्याओं से दशमलव गुणनदशमलव को दशमलव से गुणा करने से अलग नहीं है।

एक कॉलम में अंतिम दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करना सबसे सुविधाजनक है, जबकि आपको पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए दशमलव अंशों के कॉलम से गुणा करने के नियमों का पालन करना चाहिए।

उत्पाद की गणना 15 · 2.27 करें।

आइए एक कॉलम में एक प्राकृतिक संख्या को दशमलव अंश से गुणा करें:


किसी आवर्त दशमलव भिन्न को किसी प्राकृत संख्या से गुणा करते समय, आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न से बदल दें।

दशमलव 0, (42) को प्राकृत संख्या 22 से गुणा करें।

सबसे पहले, हम आवर्त दशमलव भिन्न को एक साधारण भिन्न में बदलते हैं:

अब गुणन करते हैं:। दशमलव रूप में यह परिणाम 9, (3) है।

और जब एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करते हैं, तो आपको पहले गोल करना होगा।

गुणा करें 4 · 2.145…।

मूल अनंत दशमलव अंश को सौवां तक ​​पूर्णांकित करने के बाद, हम एक प्राकृत संख्या और अंतिम दशमलव अंश के गुणन पर पहुंचते हैं। हमारे पास 4 · 2.145 ... 4 · 2.15 = 8.60 है।

दशमलव गुणा 10, 100, ...

अक्सर आपको दशमलव भिन्नों को 10, 100, से गुणा करना पड़ता है ... इसलिए, इन मामलों पर विस्तार से ध्यान देने की सलाह दी जाती है।

हम आवाज करेंगे दशमलव भिन्न को 10, 100, 1,000, आदि से गुणा करने का नियम।दशमलव अंश को उसके रिकॉर्ड में 10, 100, ... से गुणा करते समय, आपको कॉमा को क्रमशः 1, 2, 3, ... संख्याओं से दाईं ओर ले जाना होगा, और बाईं ओर अतिरिक्त शून्य को त्यागना होगा; यदि गुणा किए गए अंश के रिकॉर्ड में अल्पविराम लगाने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो आपको दाईं ओर आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ना होगा।

दशमलव 0.0783 को 100 से गुणा करें।

भिन्न 0.0783 दो अंकों को रिकॉर्ड में दाईं ओर ले जाएं, और हमें 007.83 प्राप्त होता है। दो शून्य को बायें से छोड़ने पर हमें दशमलव भिन्न 7.38 प्राप्त होता है। अत: 0.0783 100 = 7.83।

दशमलव 0.02 को 10,000 से गुणा करें।

0.02 को 10,000 से गुणा करने के लिए, हमें कॉमा 4 अंकों को दाईं ओर ले जाना होगा। जाहिर है, भिन्न 0.02 में अल्पविराम को 4 अंकों में स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, इसलिए हम दाईं ओर कुछ शून्य जोड़ देंगे ताकि हम अल्पविराम स्थानांतरण कर सकें। हमारे उदाहरण में, तीन शून्य जोड़ने के लिए पर्याप्त है, हमारे पास 0.02000 है। अल्पविराम को स्थानांतरित करने के बाद, हमें 00200.0 प्रविष्टि मिलती है। बाईं ओर शून्यों को छोड़ने पर, हमारे पास संख्या 200.0 है, जो प्राकृतिक संख्या 200 के बराबर है, जो दशमलव अंश 0.02 को 10,000 से गुणा करने का परिणाम है।

कहा गया नियम अनंत दशमलव अंशों को 10, 100, ... से गुणा करने के लिए भी सही है ... आवधिक दशमलव अंशों को गुणा करते समय, आपको अंश की अवधि से सावधान रहने की आवश्यकता है, जो गुणा का परिणाम है।

आवधिक दशमलव 5.32 (672) को 1,000 से गुणा करें।

गुणा करने से पहले, आइए आवधिक दशमलव अंश को 5.32672672672 के रूप में लिखते हैं ..., इससे हम गलतियों से बच सकेंगे। अब अल्पविराम को 3 अंकों से दाईं ओर ले जाते हैं, हमारे पास 5 326.726726…. इस प्रकार, गुणा के बाद, आवधिक दशमलव अंश 5 326, (726) प्राप्त होता है।

5.32 (672) 1000 = 5 326, (726)।

अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को 10, 100, ... से गुणा करते समय, आपको पहले अनंत भिन्न को एक निश्चित अंक में पूर्णांकित करना होगा, और फिर गुणा करना होगा।

भिन्न या मिश्रित संख्या से दशमलव गुणन

एक परिमित दशमलव अंश या एक अनंत आवधिक दशमलव अंश को एक साधारण अंश या मिश्रित संख्या से गुणा करने के लिए, आपको दशमलव अंश को एक साधारण अंश के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर गुणा करना होगा।

दशमलव 0.4 को मिश्रित संख्या से गुणा करें।

चूँकि 0.4 = 4/10 = 2/5 और, तब। परिणामी संख्या को आवर्त दशमलव भिन्न 1.5 (3) के रूप में लिखा जा सकता है।

अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को साधारण भिन्न या मिश्रित संख्या से गुणा करते समय, साधारण भिन्न या मिश्रित संख्या को दशमलव भिन्न से बदल देना चाहिए, फिर गुणा किए गए अंशों को पूर्णांकित करना चाहिए और गणना समाप्त करनी चाहिए।

चूँकि 2/3 = 0.6666 ..., तब। गुणा की गई भिन्नों को हजारवें में पूर्णांकित करने के बाद, हम दो अंतिम दशमलव भिन्नों 3.568 और 0.667 के गुणनफल पर आते हैं। आइए लंबा गुणा करें:


परिणाम को हजारवें तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए, क्योंकि गुणा किए जाने वाले अंशों को निकटतम हजारवें भाग में ले जाया गया था, हमारे पास 2.379856≈2.380 है।

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29. दशमलव भिन्नों का गुणन। नियमों




बराबर भुजाओं वाले आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
1.4 डीएम और 0.3 डीएम। आइए डेसीमीटर को सेंटीमीटर में बदलें:

1.4 डीएम = 14 सेमी; 0.3 डीएम = 3 सेमी।

अब क्षेत्रफल की गणना सेंटीमीटर में करते हैं।

एस = 14 3 = 42 सेमी 2।

वर्ग सेंटीमीटर को वर्ग सेंटीमीटर में बदलें
डेसीमीटर:

डीएम 2 = 0.42 डीएम 2.

इसलिए, एस = 1.4 डीएम 0.3 डीएम = 0.42 डीएम 2।

दो दशमलव भिन्नों का गुणन इस प्रकार किया जाता है:
1) संख्याओं को अल्पविराम की परवाह किए बिना गुणा किया जाता है।
2) काम में अल्पविराम लगाया जाता है ताकि दाएं से अलग हो सके
दोनों कारकों में विभाजित के रूप में कई संकेत
एक साथ रखा। उदाहरण के लिए:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

एक कॉलम में दशमलव अंशों को गुणा करने के उदाहरण:



किसी भी संख्या को 0.1 से गुणा करने के बजाय; 0.01; 0.001,
आप इस संख्या को 10 से विभाजित कर सकते हैं; एक सौ ; या 1000 क्रमशः।
उदाहरण के लिए:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

एक दशमलव अंश को एक प्राकृत संख्या से गुणा करते समय, हमें यह करना चाहिए:

1) अल्पविराम को अनदेखा करते हुए संख्याओं को गुणा करें;

2) परिणामी कार्य में, एक अल्पविराम लगाएं ताकि दाईं ओर
उसमें से उतने ही अंक थे जितने दशमलव भिन्न में थे।

3.12 10 का गुणनफल ज्ञात कीजिए। उपरोक्त नियम के अनुसार
पहले हम 312 को 10 से गुणा करते हैं। हम पाते हैं: 312 10 = 3120।
और अब हम दो अंकों को दाईं ओर अल्पविराम से अलग करते हैं और प्राप्त करते हैं:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

इसलिए, 3.12 को 10 से गुणा करते समय, हमने अल्पविराम को एक से हटा दिया
संख्या दाईं ओर। यदि हम 3.12 को 100 से गुणा करते हैं, तो हमें 312 प्राप्त होता है, अर्थात्
अल्पविराम को दो अंक दाईं ओर ले जाया गया।

3,12 100 = 312,00 = 312 .

किसी दशमलव को 10, 100, 1000, आदि से गुणा करते समय, आपको अवश्य करना चाहिए
इस भिन्न में, अल्पविराम को दायीं ओर उतने ही अंकों से खिसकाएँ जितने में शून्य हों
गुणक में खड़ा है। उदाहरण के लिए:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

दशमलव गुणन कार्य

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दशमलव अंशों का जोड़, घटाव, गुणा और भाग

दशमलव अंशों को जोड़ना और घटाना प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने और घटाने के समान है, लेकिन कुछ शर्तों के साथ।

नियम। प्राकृत संख्याओं के रूप में पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के अंकों द्वारा निर्मित होता है।

लेखन में दशमलव अंशों का जोड़ और घटावपूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने वाला अल्पविराम शब्दों और योग में होना चाहिए या एक कॉलम में कम, घटाया और अंतर में होना चाहिए (अल्पविराम के तहत स्थिति रिकॉर्ड से गणना के अंत तक अल्पविराम)।

दशमलव भिन्नों को जोड़ना और घटानालाइन के लिए:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

दशमलव भिन्नों को जोड़ना और घटानाएक कॉलम में:

जब अंकों का योग दस से अधिक हो जाता है तो दशमलव अंशों को जोड़ने के लिए संख्याओं को लिखने के लिए एक अतिरिक्त ऊपरी रेखा की आवश्यकता होती है। दशमलव के घटाव के लिए उस अंक को चिह्नित करने के लिए एक अतिरिक्त शीर्ष रेखा की आवश्यकता होती है जिसमें 1 उधार लिया गया है।

यदि जोड़ के दायीं ओर या घटा हुआ भाग के पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो भिन्नात्मक भाग में दाईं ओर, आप जितने अंक हैं, उतने शून्य (अंकीय भाग की अंकों की क्षमता में वृद्धि) जोड़ सकते हैं दूसरे जोड़ में या घटा हुआ।

दशमलव गुणनयह उसी तरह से किया जाता है जैसे प्राकृतिक संख्याओं के गुणन, समान नियमों के अनुसार, लेकिन उत्पाद में एक अल्पविराम लगाया जाता है, जो कि भिन्नात्मक भाग में कारकों के अंकों के योग के अनुसार होता है, दाएं से बाएं ( गुणनखंडों के अंकों का योग संयुक्त गुणनखंडों के दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या है)।

पर दशमलव गुणनएक कॉलम में, दाईं ओर पहला महत्वपूर्ण अंक दाईं ओर पहले महत्वपूर्ण अंक के तहत हस्ताक्षरित होता है, जैसा कि प्राकृतिक संख्याओं में होता है:

रिकॉर्डिंग दशमलव गुणनएक कॉलम में:

रिकॉर्डिंग दशमलव अंशों का विभाजनएक कॉलम में:

रेखांकित वर्ण वे वर्ण होते हैं जिनमें अल्पविराम होता है क्योंकि भाजक एक पूर्णांक होना चाहिए।

नियम। पर भिन्नों को विभाजित करनादशमलव भिन्न का भाजक उतने ही अंकों से बढ़ता है, जितने उसके भिन्नात्मक भाग में अंक होते हैं। ताकि भिन्न न बदले, लाभांश को अंकों की समान संख्या से बढ़ाया जाता है (लाभांश और भाजक में, अल्पविराम को अंकों की समान संख्या द्वारा स्थानांतरित किया जाता है)। अल्पविराम को भागफल में विभाजन के चरण में रखा जाता है जब अंश के पूर्णांक भाग को विभाजित किया जाता है।

दशमलव अंशों के साथ-साथ प्राकृतिक संख्याओं के लिए, नियम बना रहता है: आप दशमलव भिन्न को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!

§ 1 दशमलव भिन्नों के गुणन के नियम का अनुप्रयोग

इस पाठ में, आप परिचित होंगे और सीखेंगे कि दशमलव अंशों को गुणा करने के नियम को कैसे लागू किया जाए और दशमलव अंश को अंकों की इकाई से गुणा करने का नियम, जैसे कि 0.1, 0.01, आदि। इसके अलावा, हम दशमलव अंशों वाले व्यंजकों के मान ज्ञात करते समय गुणन के गुणों को देखेंगे।

आइए समस्या का समाधान करें:

वाहन 59.8 किमी/घंटा की गति से यात्रा करता है।

1.3 घंटे में कार किस तरह से तय करेगी?

जैसा कि आप जानते हैं, पथ खोजने के लिए, आपको समय से गति को गुणा करना होगा, अर्थात। 59.8 गुना 1.3।

आइए एक कॉलम में संख्याओं को लिखें और अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना उन्हें गुणा करना शुरू करें: 8 को 3 से गुणा करें, यह 24 होगा, 4 हम दिमाग में 2 लिखते हैं, 3 को 9 से गुणा करते हैं 27, और यहां तक ​​​​कि प्लस 2, हमें 29 मिलता है , हम मन में 9, 2 लिखते हैं। अब हम 3 को 5 से गुणा करते हैं, यह 15 होगा और 2 और जोड़ देगा, हमें 17 मिलता है।

हम दूसरी पंक्ति में जाते हैं: 1 को 8 से गुणा किया जाता है, यह 8 होगा, 1 को 9 से गुणा किया जाता है, हमें 9 मिलता है, 1 को 5 से गुणा किया जाता है, हमें 5 मिलता है, इन दो पंक्तियों को जोड़ें, हमें 4, 9 + 8 बराबर 17 मिलता है, 7 अपने दिमाग में 1 लिखें, 7 +9 16 है और 1 और, यह 17 होगा, 7 हम अपने दिमाग में 1 लिखते हैं, 1 + 5 और 1 और हमें 7 मिलता है।

अब देखते हैं कि दोनों दशमलव भिन्नों में कितने दशमलव स्थान हैं! पहले भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है और दूसरे भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, केवल दो अंक। इसका मतलब है कि परिणाम के दाईं ओर आपको दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है, अर्थात। 77.74 होगा। इसलिए, जब आप 59.8 को 1.3 से गुणा करते हैं, तो आपको 77.74 मिलता है। तो समस्या का उत्तर 77.74 किमी है।

इस प्रकार, दो दशमलव भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको चाहिए:

पहला: अल्पविराम को अनदेखा करते हुए गुणा करें

दूसरा: परिणामी उत्पाद में, दाईं ओर उतने अंक अल्पविराम से अलग करें जितने दोनों कारकों में अल्पविराम के बाद हैं।

यदि परिणामी उत्पाद में अल्पविराम से अलग किए जाने वाले अंक से कम अंक हैं, तो सामने एक या अधिक शून्य जोड़े जाने चाहिए।

उदाहरण के लिए: 0.145 को 0.03 से गुणा किया जाता है, हमें उत्पाद में 435 प्राप्त होता है, और हमें 5 अंकों को अल्पविराम से अलग करने की आवश्यकता होती है, इसलिए हम संख्या 4 के सामने 2 और शून्य जोड़ते हैं, एक अल्पविराम लगाते हैं और एक और शून्य जोड़ते हैं। . हमें उत्तर 0.00435 मिलता है।

§ 2 दशमलव भिन्नों के गुणन के गुण

दशमलव अंशों को गुणा करते समय, गुणन के सभी गुण प्राकृतिक संख्याओं के समान ही संरक्षित रहते हैं। आइए कुछ कार्य करते हैं।

कार्य संख्या 1:

आइए गुणन के बंटन गुणधर्म को योग में लागू करके इस उदाहरण को हल करें।

हम कोष्ठक के बाहर 5.7 (सामान्य गुणनखंड) रखते हैं, कोष्ठक में 3.4 जमा 0.6 होगा। इस योग का मान 4 है, और अब 4 को 5.7 से गुणा करना होगा, हमें 22.8 मिलता है।

कार्य संख्या 2:

आइए गुणन के स्थानान्तरण गुण को लागू करें।

पहले हम 2.5 को 4 से गुणा करते हैं, हमें 10 पूर्णांक मिलते हैं, और अब हमें 10 को 32.9 से गुणा करने की आवश्यकता है और हमें 329 प्राप्त होता है।

इसके अलावा, दशमलव अंशों को गुणा करते समय, आप निम्नलिखित देख सकते हैं:

किसी संख्या को गलत दशमलव से गुणा करने पर, अर्थात्। 1 से अधिक या उसके बराबर, यह बढ़ता है या नहीं बदलता है, उदाहरण के लिए:

किसी संख्या को सही दशमलव भिन्न से गुणा करने पर, अर्थात्। 1 से कम, यह घटता है, उदाहरण के लिए:

आइए एक उदाहरण हल करें:

23.45 गुना 0.1।

हमें 2345 को 1 से गुणा करना है और दायीं ओर तीन दशमलव स्थानों को अलग करना है, हमें 2.345 मिलता है।

अब एक और उदाहरण हल करते हैं: 23.45 को 10 से विभाजित करने पर, हमें अल्पविराम को एक वर्ण के बाईं ओर ले जाना है, क्योंकि 1 एक बिट में शून्य है, हमें 2.345 मिलता है।

इन दो उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दशमलव अंश को 0.1, 0.01, 0.001, आदि से गुणा करने का अर्थ है कि संख्या को 10, 100, 1000, आदि से विभाजित करना, अर्थात। दशमलव भिन्न में अल्पविराम को बाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित करना आवश्यक है जितने गुणक में 1 के सामने शून्य हैं।

परिणामी नियम का उपयोग करते हुए, हम उत्पादों के मूल्य पाते हैं:

13.45 गुना 0.01

संख्या 1 के सामने 2 शून्य हैं, इसलिए हम अल्पविराम को बाईं ओर 2 अंकों से ले जाते हैं, हमें 0.1345 मिलता है।

0.02 गुना 0.001

संख्या 1 के सामने 3 शून्य हैं, जिसका अर्थ है कि हम अल्पविराम को तीन अंक बाईं ओर ले जाते हैं, हमें 0.00002 मिलता है।

इस प्रकार, इस पाठ में आपने दशमलव भिन्नों को गुणा करना सीखा। ऐसा करने के लिए, आपको केवल अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए गुणा करने की आवश्यकता है, और परिणामी उत्पाद में, दोनों कारकों में एक साथ अल्पविराम के बाद जितने अंक हैं, उतने ही अंकों को अल्पविराम से अलग करें। इसके अलावा, हम दशमलव अंश को 0.1, 0.01, आदि से गुणा करने के नियम से परिचित हुए, और दशमलव अंशों को गुणा करने के गुणों पर भी विचार किया।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. गणित ग्रेड 5. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई. एट अल. 31वां संस्करण, मिटा दिया गया. - एम: 2013।
2. गणित ग्रेड 5 में उपदेशात्मक सामग्री। लेखक - पोपोव एम.ए. - वर्ष 2013
3. हम त्रुटियों के बिना गणना करते हैं। गणित में स्व-परीक्षण के साथ काम करता है, ग्रेड 5-6। लेखक - मिनेवा एस.एस. - वर्ष 2014
4. गणित ग्रेड 5 में उपदेशात्मक सामग्री। लेखक: डोरोफीव जी.वी., कुजनेत्सोवा एल.वी. - 2010
5. गणित में नियंत्रण और स्वतंत्र कार्य, ग्रेड 5। लेखक - पोपोव एम.ए. - वर्ष 2012
6. गणित। ग्रेड 5: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के छात्रों के लिए। संस्थान / आई। आई। जुबारेवा, ए। जी। मोर्दकोविच। - 9वां संस्करण, मिटा दिया गया। - एम।: निमोसिना, 2009

आप पहले से ही जानते हैं कि एक *10 = ए + ए + ए + ए + ए + ए + ए + ए + ए + ए।उदाहरण के लिए, 0.2 * 10 = 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2। यह अनुमान लगाना आसान है कि यह योग 2 के बराबर है, अर्थात। 0.2 * 10 = 2.

इसी तरह, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि:

5,2 * 10 = 52 ;

0,27 * 10 = 2,7 ;

1,253 * 10 = 12,53 ;

64,95 * 10 = 649,5 .

आपने शायद अनुमान लगाया था कि दशमलव भिन्न को 10 से गुणा करते समय, आपको इस भिन्न में अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाना होगा।

आप दशमलव को 100 से कैसे गुणा करते हैं?

हमारे पास है: ए * 100 = ए * 10 * 10। फिर:

2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5 .

इसी तरह तर्क करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

3,2 * 100 = 320 ;

28,431 * 100 = 2843,1 ;

0,57964 * 100 = 57,964 .

भिन्न 7.1212 को 1000 से गुणा करें।

हमारे पास है: 7.1212 * 1000 = 7.1212 * 100 * 10 = 712.12 * 10 = 7121.2।

ये उदाहरण निम्नलिखित नियम को स्पष्ट करते हैं।

दशमलव भिन्न को 10, 100, 1,000, आदि से गुणा करने के लिए, आपको इस भिन्न में अल्पविराम को क्रमशः 1, 2, 3, आदि से दाईं ओर ले जाना होगा। नंबर.

इसलिए, यदि अल्पविराम को 1, 2, 3, आदि द्वारा दाईं ओर ले जाया जाता है। अंक, तो अंश में क्रमशः 10, 100, 1,000, आदि की वृद्धि होगी। एक बार।

इसलिये, यदि अल्पविराम को 1, 2, 3, आदि द्वारा बाईं ओर ले जाया जाता है। अंक, तो अंश में क्रमशः 10, 100, 1,000, आदि की कमी होगी। एक बार .

आइए हम दिखाते हैं कि भिन्नों को लिखने का दशमलव रूप उन्हें गुणा करने का अवसर देता है, जो प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के नियम द्वारा निर्देशित होता है।

आइए, उदाहरण के लिए, उत्पाद 3.4 * 1.23 खोजें। आइए पहले कारक को 10 गुना और दूसरे को 100 गुना बढ़ाएँ। इसका मतलब है कि हमने काम को 1000 गुना बढ़ा दिया है।

इसलिए, प्राकृतिक संख्या 34 और 123 का गुणनफल वांछित उत्पाद से 1,000 गुना बड़ा है।

हमारे पास है: 34 * 123 = 4182। फिर, उत्तर पाने के लिए, संख्या 4 182 को 1000 गुना कम करना होगा। हम लिखते हैं: 4 182 = 4 182.0। संख्या 4 182.0 में अल्पविराम को बाईं ओर ले जाने पर हमें 4.182 संख्या प्राप्त होती है, जो संख्या 4 182 से 1,000 गुना कम है। इसलिए 3.4 * 1.23 = 4.182।

निम्नलिखित नियम का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

दो दशमलव अंशों को गुणा करने के लिए, आपको चाहिए:

1) अल्पविराम को अनदेखा करते हुए उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के रूप में गुणा करें;

2) परिणामी उत्पाद में, दाईं ओर अल्पविराम से उतने अंकों को अलग करें, जितने वे दोनों कारकों में अल्पविराम के बाद हैं।

ऐसे मामलों में जहां उत्पाद में अल्पविराम से अलग होने के लिए आवश्यक से कम अंक होते हैं, बाईं ओर, इससे पहले, उत्पाद को आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ा जाता है, और फिर अल्पविराम को आवश्यक अंकों की संख्या से बाईं ओर ले जाया जाता है .

उदाहरण के लिए, 2 * 3 = 6, फिर 0.2 * 3 = 0.006; 25 * 33 = 825, फिर 0.025 * 0.33 = 0.00825।

ऐसे मामलों में जहां कारकों में से एक 0.1 है; 0.01; 0.001, आदि, निम्नलिखित नियम का उपयोग करना सुविधाजनक है।

दशमलव को 0.1 से गुणा करना; 0.01; 0.001, आदि, इस अंश में क्रमशः 1, 2, 3, आदि द्वारा अल्पविराम को बाईं ओर ले जाना आवश्यक है। नंबर.

उदाहरण के लिए, 1.58 * 0.1 = 0.158; 324.7 * 0.01 = 3.247।

भिन्नात्मक संख्याओं के लिए प्राकृत संख्याओं के गुणन के गुण भी पूरे होते हैं:

ab = ba गुणन का विस्थापन गुण है,

(एबी) सी = ए (बी सी) गुणन की संयोजन संपत्ति है,

a (b + c) = ab + ac - योग के संबंध में गुणन का वितरण गुण।

साधारण संख्याओं की तरह।

2. हम पहले दशमलव भिन्न में और दूसरे में दशमलव स्थानों की संख्या गिनते हैं। हम उनकी संख्या जोड़ते हैं।

3. अंतिम परिणाम में, ऊपर दिए गए पैराग्राफ में जितने अंक मिलते हैं, उतने अंक दाएं से बाएं गिनें और अल्पविराम लगाएं।

दशमलव गुणन नियम।

1. अल्पविराम को अनदेखा करते हुए गुणा करें।

2. गुणनफल में, अल्पविराम के बाद जितने अंक दोनों गुणनखंडों में अल्पविराम के बाद हों उतने अलग-अलग करें।

एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने पर, आपको चाहिए:

1. अल्पविराम को अनदेखा करते हुए संख्याओं को गुणा करें;

2. परिणामस्वरूप, हम अल्पविराम लगाते हैं ताकि उसके दाईं ओर उतने ही अंक हों जितने दशमलव भिन्न में हैं।

एक कॉलम द्वारा दशमलव अंशों का गुणन।

आइए एक उदाहरण लेते हैं:

हम दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में लिखते हैं और अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए उन्हें प्राकृत संख्याओं के रूप में गुणा करते हैं। वे। हम 3.11 को 311 और 0.01 को 1 मानते हैं।

परिणाम 311 है। इसके बाद, हम दोनों भिन्नों के लिए दशमलव स्थानों की संख्या की गणना करते हैं। पहले दशमलव भिन्न में 2 अंक होते हैं और दूसरे - 2 में। अल्पविराम के बाद अंकों की कुल संख्या:

2 + 2 = 4

हम परिणाम में दाएं से बाएं चार वर्णों की गणना करते हैं। अंतिम परिणाम में, आपको अल्पविराम से अलग करने की आवश्यकता से कम संख्याएँ हैं। इस मामले में, बाईं ओर शून्य की लापता संख्या को जोड़ना आवश्यक है।

हमारे मामले में, पहला अंक गायब है, इसलिए हम बाईं ओर 1 शून्य जोड़ते हैं।

ध्यान दें:

किसी भी दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000 और इसी तरह से गुणा करने पर दशमलव बिंदु को उतने ही अंकों से दाईं ओर ले जाया जाता है, जितने एक के बाद एक शून्य होते हैं।

मिसाल के तौर पर:

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

ध्यान दें:

दशमलव को 0.1 से गुणा करना; 0.01; 0.001; और इसी तरह, आपको इस भिन्न में अल्पविराम को बाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है जितनी इकाई के सामने शून्य हैं।

हम शून्य पूर्णांक गिनते हैं!

उदाहरण के लिए:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 . 0,1 = 0,005

1,256 . 0,01 = 0,012 56