अनुपात की गणना कैसे करें। अनुपात कैसे बनाएं? कोई भी छात्र और वयस्क अनुपात 1 0 . को समझेंगे

अनुपात का सूत्र

समानुपात दो अनुपातों की समानता है जब a: b = c: d

अनुपात 1 : 10 अनुपात 7 . के बराबर है : 70, जिसे भिन्न के रूप में भी लिखा जा सकता है: 1 10 = 7 70 के रूप में पढ़ता है: "एक दस को संदर्भित करता है और साथ ही सात सत्तर को संदर्भित करता है"

मूल अनुपात गुण

चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है: यदि a: b = c: d, तो a⋅d = b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

अनुपात का व्युत्क्रम: यदि a: b = c: d तो b: a = d: c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

मध्य पदों का क्रमपरिवर्तन: यदि a: b = c: d, तो a: c = b: d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

चरम पदों का क्रमपरिवर्तन: यदि a: b = c: d, तो d: b = c: a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

एक अज्ञात के साथ अनुपात को हल करना | समीकरण

1 : 10 = एक्स : 70 या 1 10 = एक्स 70

एक्स को खोजने के लिए, आपको दो ज्ञात संख्याओं को क्रॉसवाइज गुणा करना होगा और विपरीत मान से विभाजित करना होगा

एक्स = 1 ⋅ 70 10 = 7

अनुपात की गणना कैसे करें

कार्य:आपको प्रति 10 किलोग्राम वजन में 1 टैबलेट सक्रिय कार्बन पीने की जरूरत है। अगर किसी व्यक्ति का वजन 70 किलो है तो आपको कितनी गोलियां लेनी चाहिए?

आइए अनुपात बनाएं: 1 टैबलेट - 10 किलो एक्सगोलियाँ - 70 किलो x खोजने के लिए, आपको दो ज्ञात संख्याओं को क्रॉसवाइज गुणा करना होगा और विपरीत मान से विभाजित करना होगा: 1 गोली एक्सगोलियाँ✕ 10 किग्रा 70 किलो एक्स = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 उत्तर: 7 गोलियाँ

कार्य:वास्या पांच घंटे में दो लेख लिखती है। वह 20 घंटे में कितने लेख लिखेगा?

आइए अनुपात बनाते हैं: 2 लेख - 5 घंटे एक्सलेख - 20 घंटे एक्स = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 उत्तर: 8 लेख

मैं भविष्य के स्कूल के स्नातकों से कह सकता हूं कि अनुपात बनाने की क्षमता मेरे लिए, और चित्रों को आनुपातिक रूप से कम करने के लिए, और वेब पेज के HTML लेआउट में और रोजमर्रा की स्थितियों में काम आई।

एक रिश्ते को हमारी दुनिया की संस्थाओं के बीच एक निश्चित संबंध कहा जाता है। ये संख्याएँ, भौतिक मात्राएँ, वस्तुएँ, उत्पाद, घटनाएँ, क्रियाएँ और यहाँ तक कि लोग भी हो सकते हैं।

दैनिक जीवन में, जब अनुपात की बात आती है, तो हम कहते हैं: "इस और उस का अनुपात"... उदाहरण के लिए, यदि एक फूलदान में 4 सेब और 2 नाशपाती हैं, तो हम कहते हैं "सेब और नाशपाती का अनुपात" "नाशपाती और सेब का अनुपात".

गणित में, अनुपात का प्रयोग अक्सर के रूप में किया जाता है " फलाने-फूलने का रवैया... उदाहरण के लिए, चार सेब और दो नाशपाती का अनुपात, जिसे हमने ऊपर माना है, गणित में पढ़ेगा "चार सेब से दो नाशपाती का अनुपात"या यदि आप सेब और नाशपाती की अदला-बदली करते हैं, तो "दो नाशपाती और चार सेब का अनुपात".

अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है एप्रति बी(जहाँ के बजाय एतथा बीकोई भी संख्या), लेकिन अधिक बार आप एक ऐसी प्रविष्टि पा सकते हैं जो एक कोलन का उपयोग करके बनाई गई है: ए: बी... आप इस प्रविष्टि को विभिन्न तरीकों से पढ़ सकते हैं:

• एप्रति बी
• एको संदर्भित करता है बी
• रवैया एप्रति बी

आइए अनुपात चिह्न का उपयोग करके चार सेब और दो नाशपाती का अनुपात लिखें:

4: 2

यदि हम सेब और नाशपाती के स्थान की अदला-बदली करें, तो हमारे पास 2:4 का अनुपात होगा। इस अनुपात को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है "दो से चार" या अन्यथा "दो नाशपाती चार सेबों को संदर्भित करते हैं" .

इस प्रकार, हम अनुपात को अनुपात कहेंगे।

पाठ सामग्री

एक रवैया क्या है?

संबंध, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, रूप में लिखा गया है ए: बी... इसे भिन्न के रूप में भी लिखा जा सकता है। और हम जानते हैं कि गणित में इस तरह के अंकन का अर्थ है विभाजन। तब संबंध का परिणाम भागफल होगा एतथा बी.

गणित में एक अनुपात को दो संख्याओं का भागफल कहा जाता है।

अनुपात आपको यह पता लगाने की अनुमति देता है कि एक इकाई का कितना हिस्सा दूसरे की इकाई पर पड़ता है। आइए चार सेब और दो नाशपाती (4:2) के अनुपात पर वापस जाएं। यह अनुपात हमें यह पता लगाने की अनुमति देगा कि प्रति यूनिट नाशपाती में कितने सेब हैं। एक इकाई का अर्थ है एक नाशपाती। सबसे पहले, आइए अनुपात 4:2 को भिन्न के रूप में लिखें:

यह अनुपात संख्या 4 का संख्या 2 से विभाजन है। यदि हम इस विभाजन को करते हैं, तो हमें इस प्रश्न का उत्तर मिलेगा कि नाशपाती की प्रति इकाई कितने सेब हैं।

प्राप्त 2. तो चार सेब और दो नाशपाती (4: 2) सहसंबंध (एक दूसरे के साथ जुड़े हुए हैं) ताकि प्रति नाशपाती दो सेब हों

चित्र दिखाता है कि कैसे चार सेब और दो नाशपाती एक दूसरे से संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक नाशपाती के लिए दो सेब हैं।

के रूप में लिखकर रिश्ते को उलटा किया जा सकता है। फिर हमें दो नाशपाती का अनुपात चार सेब, या "दो नाशपाती से चार सेब का अनुपात" मिलता है। यह अनुपात दिखाएगा कि प्रति यूनिट सेब में कितने नाशपाती हैं। सेब की इकाई का अर्थ है एक सेब।

किसी भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए।

0.5 प्राप्त किया। आइए इस दशमलव अंश को एक साधारण अंश में बदलें:

परिणामी भिन्न को 5 . से कम करें

उत्तर मिला (आधा नाशपाती)। इसका मतलब है कि दो नाशपाती और चार सेब (2:4) आपस में जुड़े हुए हैं (एक दूसरे के साथ जुड़े हुए हैं) ताकि एक सेब नाशपाती के आधे हिस्से के लिए हो।

चित्र दिखाता है कि कैसे दो नाशपाती और चार सेब एक दूसरे से संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक सेब के लिए आधा नाशपाती है।

अनुपात बनाने वाली संख्याएँ कहलाती हैं रिश्ते के सदस्य... उदाहरण के लिए, 4:2 के अनुपात में, सदस्य संख्याएँ 4 और 2 हैं।

आइए रिश्तों के अन्य उदाहरणों पर विचार करें। कुछ तैयार करने के लिए एक नुस्खा तैयार किया जाता है। नुस्खा उत्पादों के बीच संबंधों से बनाया गया है। उदाहरण के लिए, दलिया बनाने के लिए आमतौर पर दो गिलास दूध या पानी के लिए एक गिलास अनाज की आवश्यकता होती है। अनुपात 1: 2 ("एक से दो" या "दो गिलास दूध के लिए एक गिलास अनाज") है।

हम अनुपात 1:2 को भिन्न में परिवर्तित करते हैं, हमें प्राप्त होता है। इस भिन्न की गणना करने पर हमें 0.5 प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि एक गिलास अनाज और दो गिलास दूध आपस में जुड़े हुए हैं (एक दूसरे से जुड़े हुए हैं) ताकि एक गिलास दूध में आधा गिलास अनाज हो।

यदि आप अनुपात 1: 2 फ्लिप करते हैं, तो आपको 2: 1 अनुपात ("दो से एक" या "एक गिलास अनाज के लिए दो गिलास दूध") मिलता है। अनुपात 2:1 को भिन्न में बदलें, हमें प्राप्त होता है। इस अंश की गणना करने पर, हमें 2 मिलता है। तो दो गिलास दूध और एक गिलास अनाज आपस में जुड़े हुए हैं (एक दूसरे के साथ जुड़े हुए हैं) ताकि एक गिलास अनाज के लिए दो गिलास दूध हो।

उदाहरण 2।कक्षा में 15 विद्यार्थी हैं। इनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। आप लड़कियों और लड़कों का अनुपात 10:5 लिख सकते हैं और उस अनुपात को भिन्न में बदल सकते हैं। इस भिन्न की गणना करने पर, हमें 2 प्राप्त होता है। अर्थात, लड़कियां और लड़के एक-दूसरे से इस प्रकार संबंधित होते हैं कि प्रत्येक लड़के के लिए दो लड़कियां होती हैं।

चित्र में दिखाया गया है कि कैसे दस लड़कियां और पांच लड़के एक-दूसरे से संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि हर लड़के के लिए दो लड़कियां हैं।

अनुपात को हमेशा भिन्न में नहीं बदला जा सकता है और भागफल पाया जा सकता है। कुछ मामलों में, यह तर्कसंगत नहीं होगा।

इसलिए, यदि आप रवैये को पलटते हैं, तो यह पता चलता है, और यह लड़कों का लड़कियों के प्रति रवैया है। यदि आप इस भिन्न की गणना करते हैं, तो आपको 0.5 प्राप्त होता है। यह पता चला है कि पांच लड़के दस लड़कियों से इस तरह संबंध रखते हैं कि हर लड़की के लिए आधा लड़का होता है। गणितीय रूप से, यह निश्चित रूप से सच है, लेकिन वास्तविकता की दृष्टि से यह पूरी तरह से उचित नहीं है, क्योंकि एक लड़का एक जीवित व्यक्ति है और आप उसे नाशपाती या सेब की तरह ले और विभाजित नहीं कर सकते।

सही दृष्टिकोण का निर्माण एक महत्वपूर्ण समस्या समाधान कौशल है। तो भौतिकी में, समय के साथ तय की गई दूरी का अनुपात गति की गति है।

दूरी को चर द्वारा दर्शाया जाता है एस, समय - चर के माध्यम से टी, गति - चर के माध्यम से वी... फिर वाक्यांश "समय के साथ तय की गई दूरी का अनुपात गति की गति है"निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया जाएगा:

मान लीजिए कार ने 2 घंटे में 100 किलोमीटर का सफर तय किया है। फिर एक सौ किलोमीटर से दो घंटे की यात्रा का अनुपात कार की गति होगी:

यह गति को प्रति इकाई समय में शरीर द्वारा तय की गई दूरी को कॉल करने के लिए प्रथागत है। समय की इकाई का अर्थ है 1 घंटा, 1 मिनट या 1 सेकंड। और संबंध, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, आपको यह पता लगाने की अनुमति देता है कि एक इकाई का कितना हिस्सा दूसरे की इकाई पर पड़ता है। हमारे उदाहरण में, एक सौ किलोमीटर से दो घंटे के अनुपात से पता चलता है कि एक घंटे की आवाजाही के लिए कितने किलोमीटर हैं। हम देखते हैं कि हर घंटे की आवाजाही के लिए 50 किलोमीटर हैं।

इसलिए, गति को में मापा जाता है किमी / घंटा, मी / मिनट, मी / से... भिन्न चिह्न (/) दूरी और समय के अनुपात को दर्शाता है: किलोमीटर प्रति घंटा , मीटर प्रति मिनटतथा मीटर प्रति सेकंड क्रमश।

उदाहरण 2... किसी उत्पाद के मूल्य का उसकी मात्रा से अनुपात उत्पाद की एक इकाई की कीमत है

अगर हमने स्टोर से 5 चॉकलेट बार लिए और उनकी कुल कीमत 100 रूबल थी, तो हम एक बार की कीमत निर्धारित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको बार की संख्या के लिए एक सौ रूबल का अनुपात खोजने की आवश्यकता है। तब हम पाते हैं कि एक बार के लिए 20 रूबल हैं।

मात्राओं की तुलना

पहले हमने सीखा कि विभिन्न प्रकृति की मात्राओं के बीच संबंध एक नई मात्रा का निर्माण करते हैं। तो, समय के साथ तय की गई दूरी का अनुपात गति की गति है। किसी वस्तु के मूल्य का उसकी मात्रा से अनुपात वस्तु की एक इकाई की कीमत है।

लेकिन अनुपात का उपयोग मूल्यों की तुलना करने के लिए भी किया जा सकता है। इस तरह के संबंध का परिणाम एक संख्या है जो यह दर्शाती है कि पहला मान दूसरे से कितना गुना अधिक है, या पहले मान का कितना दूसरा मान है।

यह पता लगाने के लिए कि पहला मान दूसरे से कितना गुना बड़ा है, अनुपात के अंश में एक बड़ा मान और हर में एक छोटा मान लिखा जाना चाहिए।

यह पता लगाने के लिए कि पहले मान का कौन सा भाग दूसरे से है, आपको अनुपात के अंश में एक छोटा मान और हर में एक बड़ा मान लिखना होगा।

संख्या 20 और 2 पर विचार करें। आइए जानें कि संख्या 20 संख्या 2 से कितनी गुना बड़ी है। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 20 और संख्या 2 का अनुपात ज्ञात करते हैं। अनुपात के अंश में हम संख्या लिखते हैं। 20, और हर में - संख्या 2

इस अनुपात का मान दस . है

संख्या 20 का संख्या 2 से अनुपात संख्या 10 है। यह संख्या दर्शाती है कि संख्या 20 संख्या 2 से कितनी गुना अधिक है। अतः संख्या 20 संख्या 2 से दस गुना अधिक है।

उदाहरण 2।कक्षा में 15 विद्यार्थी हैं। इनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या कितनी गुना अधिक है।

हम लड़कों के प्रति लड़कियों के रवैये को लिखते हैं। हम रिश्ते के अंश में लड़कियों की संख्या और रिश्ते के हर में लड़कों की संख्या लिखते हैं:

इस अनुपात का मान 2 है। इसका मतलब है कि 15 की कक्षा में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या दोगुनी है।

अब सवाल यह नहीं है कि एक लड़के के लिए कितनी लड़कियां हैं। इस मामले में, अनुपात का उपयोग लड़कों की संख्या के साथ लड़कियों की संख्या की तुलना करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण 3... संख्या 2 का कौन सा भाग संख्या 20 से है।

हम संख्या 2 से संख्या 20 का अनुपात पाते हैं। अनुपात के अंश में हम संख्या 2 लिखते हैं, और हर में - संख्या 20

इस रिश्ते का मतलब जानने के लिए आपको याद रखना होगा

संख्या 2 से संख्या 20 के अनुपात का मान संख्या 0.1 . है

इस मामले में, दशमलव अंश 0.1 को सामान्य में बदला जा सकता है। इस उत्तर को समझना आसान होगा:

तो 20 की संख्या 2 एक दहाई है।

आप देख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 20 से पाते हैं। यदि हमने सब कुछ सही ढंग से किया है, तो हमें संख्या 2 . प्राप्त करनी चाहिए

20: 10 = 2

2 × 1 = 2

हमें संख्या 2 मिली है। अतः संख्या 20 का दसवां भाग संख्या 2 है। इसलिए हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि समस्या का समाधान सही ढंग से हुआ है।

उदाहरण 4.कक्षा में 15 लोग हैं। इनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि स्कूली बच्चों की कुल संख्या का कितना अनुपात लड़के हैं।

हम स्कूली बच्चों की कुल संख्या में लड़कों के अनुपात को लिखते हैं। हम रिश्ते के अंश में पांच लड़के और हर में छात्रों की कुल संख्या लिखते हैं। स्कूली बच्चों की कुल संख्या 5 लड़के जमा 10 लड़कियां हैं, इसलिए हम रिश्ते के हर में 15 लिखते हैं

इस अनुपात का अर्थ जानने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस मामले में, संख्या 5 को संख्या 15 . से विभाजित किया जाना चाहिए

जब आप 5 को 15 से भाग देते हैं, तो आपको एक आवर्त भिन्न मिलता है। आइए इस भिन्न को एक साधारण भिन्न में बदलें

हमें अंतिम उत्तर मिला। तो लड़के कक्षा का एक तिहाई हिस्सा बनाते हैं।

चित्र से पता चलता है कि 15 छात्रों की एक कक्षा में, 5 लड़के कक्षा का एक तिहाई हिस्सा बनाते हैं।

सत्यापन के लिए यदि हम 15 स्कूली बच्चों से पाते हैं, तो हमें 5 लड़के मिलते हैं

15: 3 = 5

5 × 1 = 5

उदाहरण 5. 35, 5 से कितनी बार बड़ा है?

हम संख्या 35 से संख्या 5 के अनुपात को लिखते हैं। अनुपात के अंश में, आपको संख्या 35 को हर में लिखना होगा - संख्या 5, लेकिन इसके विपरीत नहीं

इस अनुपात का मान 7 है। अतः 35 की संख्या 5 की संख्या का सात गुना है।

उदाहरण 6.कक्षा में 15 लोग हैं। इनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि लड़कियों की कुल संख्या का कितना अनुपात है।

हम स्कूली बच्चों की कुल संख्या में लड़कियों के अनुपात को लिखते हैं। हम दस लड़कियों को रिश्ते के अंश में और स्कूली बच्चों की कुल संख्या को हर में लिखते हैं। स्कूली बच्चों की कुल संख्या 5 लड़के जमा 10 लड़कियां हैं, इसलिए हम रिश्ते के हर में 15 लिखते हैं

इस अनुपात का अर्थ जानने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस मामले में, संख्या 10 को संख्या 15 . से विभाजित किया जाना चाहिए

जब आप 10 को 15 से भाग देते हैं, तो आपको एक आवर्त भिन्न मिलता है। आइए इस भिन्न को एक साधारण भिन्न में बदलें

परिणामी भिन्न को 3 . से कम करें

हमें अंतिम उत्तर मिला। इसलिए लड़कियां कक्षा में दो-तिहाई हिस्सा बनाती हैं।

चित्र से पता चलता है कि 15 छात्रों की एक कक्षा में, कक्षा के दो तिहाई में 10 लड़कियां हैं।

सत्यापन के लिए 15 स्कूली बच्चों से मिले तो 10 लड़कियां मिलती हैं

15: 3 = 5

5 × 2 = 10

उदाहरण 7. 10 सेमी का कौन सा भाग 25 सेमी . है

हम दस सेंटीमीटर से पच्चीस सेंटीमीटर के अनुपात को लिखते हैं। हम अनुपात के अंश में 10 सेमी, हर में 25 सेमी लिखते हैं

इस अनुपात का अर्थ जानने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस मामले में, संख्या 10 को संख्या 25 . से विभाजित किया जाना चाहिए

आइए परिणामी दशमलव अंश को साधारण में बदलें

परिणामी भिन्न को 2 . से कम करें

हमें अंतिम उत्तर मिला। इसका मतलब है कि 10 सेमी 25 सेमी से हैं।

उदाहरण 8. 25 सेमी 10 सेमी . से कितना गुना अधिक है?

हम पच्चीस सेंटीमीटर से दस सेंटीमीटर के अनुपात को लिखते हैं। अनुपात के अंश में हम 25 सेमी लिखते हैं, हर में - 10 सेमी

उत्तर 2.5 था। मतलब 25 सेमी 10 सेमी से अधिक 2.5 गुना (ढाई गुना)

महत्वपूर्ण लेख।एक ही नाम की भौतिक मात्राओं का अनुपात ज्ञात करते समय, इन राशियों को माप की एक इकाई में अनिवार्य रूप से व्यक्त किया जाना चाहिए, अन्यथा उत्तर गलत होगा।

उदाहरण के लिए, यदि हम दो लंबाई के साथ काम कर रहे हैं और हम जानना चाहते हैं कि पहली लंबाई दूसरी से कितनी गुना अधिक है, या पहली लंबाई का कौन सा हिस्सा दूसरी से है, तो दोनों लंबाई को पहले एक इकाई में व्यक्त किया जाना चाहिए माप।

उदाहरण 9. 150 सेमी 1 मीटर से कितना गुना अधिक है?

पहले, आइए इसे इस प्रकार बनाते हैं कि दोनों लंबाई माप की एक ही इकाई में व्यक्त की जाती हैं। ऐसा करने के लिए, आइए 1 मीटर को सेंटीमीटर में बदलें। एक मीटर एक सौ सेंटीमीटर है

1 मीटर = 100 सेमी

अब हम एक सौ पचास सेंटीमीटर से एक सौ सेंटीमीटर का अनुपात पाते हैं। अनुपात के अंश में हम 150 सेंटीमीटर लिखते हैं, हर में - 100 सेंटीमीटर

आइए इस अनुपात का मान ज्ञात करें

जवाब 1.5 था। इसका मतलब है कि 150 सेमी 100 सेमी (डेढ़ गुना) से 1.5 गुना अधिक है।

और अगर उन्होंने मीटर को सेंटीमीटर में नहीं बदला और तुरंत 150 सेमी से एक मीटर का अनुपात खोजने की कोशिश की, तो हमें निम्नलिखित मिलेगा:

यह पता चलेगा कि 150 सेमी एक मीटर से एक सौ पचास गुना अधिक है, लेकिन यह सच नहीं है। इसलिए, रिश्ते में शामिल भौतिक मात्राओं के मापन की इकाइयों पर ध्यान देना अनिवार्य है। यदि इन मात्राओं को माप की विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किया जाता है, तो इन मात्राओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए, आपको माप की एक इकाई पर जाना होगा।

उदाहरण 10.पिछले महीने, एक व्यक्ति का वेतन 25,000 रूबल था, और इस महीने, वेतन बढ़कर 27,000 रूबल हो गया। निर्धारित करें कि वेतन कितनी बार बढ़ा है

हम सत्ताईस हजार से पच्चीस हजार का अनुपात लिखते हैं। हम अनुपात के अंश में 27000, हर में 25000 लिखते हैं।

आइए इस अनुपात का मान ज्ञात करें

उत्तर 1.08 था। इसका मतलब है कि वेतन में 1.08 गुना की वृद्धि हुई है। भविष्य में, जब हमें प्रतिशत का पता चलता है, तो हम ऐसे संकेतकों को वेतन के रूप में प्रतिशत के रूप में व्यक्त करेंगे।

उदाहरण 11... अपार्टमेंट बिल्डिंग की चौड़ाई 80 मीटर और ऊंचाई 16 मीटर है। घर अपनी ऊंचाई से कितने गुना चौड़ा है?

हम घर की चौड़ाई और उसकी ऊंचाई का अनुपात लिखते हैं:

इस अनुपात का मान 5 होता है। इसका मतलब है कि घर की चौड़ाई उसकी ऊंचाई से पांच गुना है।

संबंध संपत्ति

यदि इसके सदस्यों को एक ही संख्या से गुणा या भाग दिया जाए तो अनुपात नहीं बदलेगा।

यह रिश्ते के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से एक है जो विशेष की संपत्ति से होता है। हम जानते हैं कि यदि भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो भागफल नहीं बदलेगा। और चूंकि संबंध विभाजन से ज्यादा कुछ नहीं है, विशेष की संपत्ति भी इसके लिए काम करती है।

आइए लड़कों के प्रति लड़कियों के रवैये पर वापस जाएं (10:5)। इस रवैये से पता चला कि हर लड़के के लिए दो लड़कियां हैं। आइए देखें कि संबंध संपत्ति कैसे काम करती है, आइए इसके सदस्यों को उसी संख्या से गुणा या विभाजित करने का प्रयास करें।

हमारे उदाहरण में, रिश्ते के सदस्यों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) द्वारा विभाजित करना अधिक सुविधाजनक है।

सदस्यों 10 और 5 की जीसीडी संख्या 5 है। इसलिए, रिश्ते के सदस्यों को संख्या 5 . से विभाजित किया जा सकता है

नया नजरिया मिला। यह दो-से-एक अनुपात (2: 1) है। यह अनुपात, पिछले अनुपात 10: 5 की तरह, दर्शाता है कि एक लड़के के लिए दो लड़कियां हैं।

यह आंकड़ा 2: 1 (दो से एक) के अनुपात को दर्शाता है। पहले की तरह, प्रति लड़के 10:5 के अनुपात में दो लड़कियां हैं। दूसरे शब्दों में, रवैया नहीं बदला है।

उदाहरण 2... एक कक्षा में 10 लड़कियां और 5 लड़के हैं। एक अन्य कक्षा में 20 लड़कियां और 10 लड़के हैं। पहली कक्षा में लड़कियों की संख्या लड़कों से कितनी गुना अधिक है? दूसरी कक्षा में लड़कियों की संख्या लड़कों से कितनी गुना अधिक है?

दोनों कक्षाओं में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या दोगुनी है, क्योंकि रिश्ते और संख्या समान हैं।

संबंध संपत्ति आपको विभिन्न मॉडल बनाने की अनुमति देती है जिसमें वास्तविक वस्तु के समान पैरामीटर होते हैं। मान लीजिए एक अपार्टमेंट बिल्डिंग 30 मीटर चौड़ी और 10 मीटर ऊंची है।

कागज पर एक समान घर बनाने के लिए, आपको इसे 30:10 के समान अनुपात में बनाने की आवश्यकता है।

इस अनुपात के दोनों पदों को संख्या 10 से भाग दें। तब हमें 3:1 का अनुपात प्राप्त होता है। यह अनुपात 3 है, ठीक वैसे ही जैसे पिछला अनुपात 3 . है

आइए मीटर को सेंटीमीटर में बदलें। 3 मीटर 300 सेंटीमीटर है, और 1 मीटर 100 सेंटीमीटर है

3 मीटर = 300 सेमी

1 मीटर = 100 सेमी

हमारे पास 300 सेमी: 100 सेमी का अनुपात है। इस अनुपात की शर्तों को 100 से विभाजित करें। हमें 3 सेमी: 1 सेमी का अनुपात मिलता है। अब हम 3 सेमी की चौड़ाई और 1 सेमी की ऊंचाई के साथ एक घर बना सकते हैं।

बेशक, खींचा गया घर वास्तविक घर की तुलना में बहुत छोटा है, लेकिन चौड़ाई और ऊंचाई का अनुपात अपरिवर्तित रहता है। इसने हमें वास्तविक के जितना संभव हो सके एक घर बनाने की अनुमति दी।

मनोवृत्ति को अन्य तरीकों से भी समझा जा सकता है। मूल रूप से कहा गया था कि एक वास्तविक घर की चौड़ाई 30 मीटर और ऊंचाई 10 मीटर होती है। कुल 30 + 10, यानी 40 मीटर है।

इन 40 मीटर को 40 भागों के रूप में समझा जा सकता है। 30:10 के अनुपात का मतलब है कि चौड़ाई के लिए 30 टुकड़े और ऊंचाई के लिए 10 टुकड़े हैं।

इसके अलावा, 30:10 के अनुपात के सदस्यों को 10 से विभाजित किया गया था। परिणाम 3: 1 का अनुपात था। इस अनुपात को 4 भागों के रूप में समझा जा सकता है, जिनमें से तीन चौड़ाई के लिए हैं, एक ऊंचाई के लिए है। इस मामले में, आपको आमतौर पर यह पता लगाना होगा कि चौड़ाई और ऊंचाई में कितने मीटर हैं।

दूसरे शब्दों में, आपको यह पता लगाना होगा कि 3 भागों में कितने मीटर हैं और 1 भाग में कितने मीटर हैं। पहले आपको यह पता लगाना होगा कि एक हिस्से में कितने मीटर हैं। ऐसा करने के लिए, कुल 40 मीटर को 4 से विभाजित किया जाना चाहिए, क्योंकि 3:1 के अनुपात में केवल चार भाग होते हैं

आइए निर्धारित करें कि चौड़ाई में कितने मीटर हैं:

10 मी × 3 = 30 मी

आइए निर्धारित करें कि कितने मीटर ऊंचाई पर हैं:

10 मी × 1 = 10 मी

एकाधिक संबंध सदस्य

यदि एक संबंध में कई सदस्य दिए गए हैं, तो उन्हें किसी चीज के हिस्से के रूप में समझा जा सकता है।

उदाहरण 1... 18 सेब खरीदे। इन सेबों को माँ, पिताजी और बेटी के बीच 2: 1: 3 के अनुपात में बांटा गया था। प्रत्येक को कितने सेब मिले?

अनुपात 2: 1: 3 का मतलब है कि माँ को 2 भाग मिले, पिताजी को - 1 भाग, बेटी - 3 भाग। दूसरे शब्दों में, 2: 1: 3 अनुपात का प्रत्येक सदस्य 18 सेबों का एक विशिष्ट अंश है:

यदि आप 2:1:3 के अनुपात के सदस्यों को जोड़ दें, तो आप यह पता लगा सकते हैं कि कुल कितने भाग हैं:

2 + 1 + 3 = 6 (भाग)

ज्ञात कीजिए कि एक भाग में कितने सेब हैं। ऐसा करने के लिए, 18 सेबों को 6 . से विभाजित करें

18: 6 = 3 (सेब प्रति टुकड़ा)

अब आइए निर्धारित करें कि प्रत्येक को कितने सेब मिले। 2: 1: 3 अनुपात के प्रत्येक सदस्य द्वारा तीन सेबों को गुणा करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि माँ को कितने सेब मिले, पिताजी को कितने सेब मिले और कितनी बेटी मिली।

आइए जानें माँ को कितने सेब मिले:

3 × 2 = 6 (सेब)

पता करें कि पिताजी को कितने सेब मिले:

3 × 1 = 3 (सेब)

आइए जानें कि मेरी बेटी को कितने सेब मिले:

3 × 3 = 9 (सेब)

उदाहरण 2... न्यू सिल्वर (अल्पाका) 3: 4:13 के अनुपात में निकल, जस्ता और तांबे का मिश्र धातु है। 4 किलो नई चांदी प्राप्त करने के लिए आपको प्रत्येक धातु के कितने किलोग्राम लेने की आवश्यकता है?

4 किलोग्राम नई चांदी में 3 भाग निकल, 4 भाग जस्ता और 13 भाग तांबा होगा। सबसे पहले, हम यह पता लगाते हैं कि चार किलोग्राम चांदी में कितने भाग होंगे:

3 + 4 + 13 = 20 (भाग)

आइए निर्धारित करें कि एक भाग में कितने किलोग्राम होंगे:

4 किग्रा: 20 = 0.2 किग्रा

आइए निर्धारित करें कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम निकेल होगा। 3: 4:13 के अनुपात में मिश्रधातु के तीन भागों में निकेल होने का संकेत मिलता है। इसलिए, हम 0.2 को 3 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 3 = 0.6 किग्रा निकेल

अब आइए निर्धारित करें कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम जस्ता होगा। 3: 4:13 के अनुपात में मिश्रधातु के चारों भागों में जिंक पाया जाता है। इसलिए, हम 0.2 को 4 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 4 = 0.8 किग्रा जिंक

अब आइए निर्धारित करें कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम तांबा होगा। 3: 4:13 के अनुपात में मिश्र धातु के तेरह भागों में तांबा होता है। इसलिए, हम 0.2 को 13 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 13 = 2.6 किग्रा तांबा

इसका मतलब है कि 4 किलो नई चांदी प्राप्त करने के लिए, आपको 0.6 किलो निकल, 0.8 किलो जस्ता और 2.6 किलो तांबा लेना होगा।

उदाहरण 3... पीतल तांबे और जस्ता का मिश्र धातु है, जिसका वजन 3:2 है। पीतल का एक टुकड़ा बनाने के लिए 120 ग्राम तांबे की आवश्यकता होती है। पीतल के इस टुकड़े को बनाने में कितना जस्ता लगता है?

आइए निर्धारित करें कि एक भाग में कितने ग्राम मिश्र धातु हैं। शर्त यह है कि पीतल का एक टुकड़ा बनाने के लिए 120 ग्राम तांबे की आवश्यकता होती है। यह भी कहा जाता है कि मिश्रधातु के तीन भागों में तांबा होता है। यदि हम 120 को 3 से विभाजित करते हैं, तो हम पाते हैं कि एक भाग में कितने ग्राम मिश्र धातु है:

120: 3 = 40 ग्राम प्रति भाग

अब आइए निर्धारित करें कि पीतल का एक टुकड़ा बनाने के लिए कितने जस्ता की आवश्यकता होती है। ऐसा करने के लिए, 40 ग्राम को 2 से गुणा करें, क्योंकि 3: 2 के अनुपात से यह संकेत मिलता है कि दो भागों में जस्ता होता है:

40 ग्राम × 2 = 80 ग्राम जिंक

उदाहरण 4... हमने सोने और चाँदी की दो मिश्रधातुएँ लीं। एक में इन धातुओं की मात्रा 1:9 के अनुपात में है, और दूसरे में 2:3। 1:4 का अनुपात?

समाधान

नई मिश्रधातु का 15 किग्रा 1:4 के अनुपात में होना चाहिए। यह अनुपात बताता है कि मिश्र धातु का एक भाग सोना होगा, और चार भाग चांदी का होगा। कुल पाँच भाग हैं। इसे योजनाबद्ध रूप से निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है

आइए एक भाग का द्रव्यमान निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, पहले सभी भागों (1 और 4) को जोड़ें, फिर मिश्र धातु के द्रव्यमान को इन भागों की संख्या से विभाजित करें

1 + 4 = 5
15 किग्रा: 5 = 3 किग्रा

मिश्रधातु के एक भाग का द्रव्यमान 3 किग्रा होगा। फिर 15 किलो नई मिश्र धातु में 3 × 1 = 3 किलो सोना और चांदी 3 × 4 = 12 किलो चांदी होगी।

इसलिए, 15 किलो वजन वाली मिश्र धातु प्राप्त करने के लिए, हमें 3 किलो सोना और 12 किलो चांदी चाहिए।

आइए अब समस्या के प्रश्न का उत्तर दें - " आपको प्रत्येक मिश्र धातु का कितना लेना चाहिए? »

हम पहले मिश्र धातु का 10 किलो लेंगे, क्योंकि इसमें सोना और चांदी 1:9 के अनुपात में हैं। यानी यह पहली मिश्र धातु हमें 1 किलो सोना और 9 किलो चांदी देगी।

हम दूसरी मिश्रधातु का 5 किलो लेंगे, क्योंकि इसमें सोना और चांदी 2:3 के अनुपात में हैं, यानी यह दूसरी मिश्र धातु हमें 2 किलो सोना और 3 किलो चांदी देगी।

क्या आपको पाठ पसंद आया?
हमारे नए Vkontakte समूह में शामिल हों और नए पाठों के बारे में सूचनाएं प्राप्त करना शुरू करें

बुनियादगणितीय शोध कुछ मात्राओं के बारे में अन्य मात्राओं के साथ तुलना करके ज्ञान प्राप्त करने की क्षमता है जो या तो हैं बराबर हैंया अधिकया कमउन लोगों की तुलना में जो शोध का विषय हैं। यह आमतौर पर श्रृंखला का उपयोग करके किया जाता है समीकरणतथा अनुपात... जब हम समीकरणों का उपयोग करते हैं, तो हम इसे ज्ञात करके आवश्यक मान निर्धारित करते हैं समानताकुछ अन्य पहले से ही परिचित मात्रा या मात्रा के साथ।

हालाँकि, अक्सर ऐसा होता है कि हम किसी अज्ञात मात्रा की तुलना दूसरों से करते हैं कि बराबर नहींउसे, लेकिन कम या ज्यादा। इसके लिए डेटा प्रोसेसिंग के लिए एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। हमें यह पता लगाने की आवश्यकता हो सकती है, उदाहरण के लिए, कितनाएक मात्रा दूसरे से अधिक है, या कितनी बारएक में दूसरा शामिल है। इन सवालों के जवाब खोजने के लिए, हम सीखेंगे कि क्या है अनुपातदो मात्रा। एक अनुपात कहा जाता है अंकगणितऔर दूसरा ज्यामितिक... हालांकि, यह ध्यान देने योग्य है कि इन दोनों शर्तों को गलती से या केवल भेद के उद्देश्यों के लिए नहीं अपनाया गया था। अंकगणित और ज्यामितीय दोनों संबंध अंकगणित और ज्यामिति दोनों पर लागू होते हैं।

एक विशाल और महत्वपूर्ण विषय के एक घटक के रूप में, अनुपात अनुपात पर निर्भर करता है, इसलिए इन अवधारणाओं की स्पष्ट और पूर्ण समझ आवश्यक है।

338. अंकगणित अनुपात यह अंतरदो मात्राओं या मात्राओं की एक श्रृंखला के बीच... मात्राएँ स्वयं कहलाती हैं के सदस्योंअनुपात, यानी वे पद जिनके बीच एक अनुपात होता है। इस प्रकार, 2 5 और 3 का अंकगणितीय अनुपात है। यह दो मानों के बीच एक ऋण चिह्न लगाकर व्यक्त किया जाता है, अर्थात 5 - 3। बेशक, अंकगणितीय अनुपात और इसकी स्क्रिबलिंग शब्द व्यावहारिक रूप से बेकार है, क्योंकि केवल शब्द है जगह ले ली अंतरव्यंजक में ऋण चिह्न द्वारा।

339. यदि अंकगणितीय संबंध के दोनों पद गुणाया विभाजनउसी राशि से, तो अनुपात,अंततः, इस मान से गुणा या भाग किया जाएगा।
इस प्रकार, यदि हमारे पास a - b = r . है
फिर हम दोनों पक्षों को h से गुणा करते हैं, (Ax. 3.) ha - hb = hr
और h से भाग देने पर, (Ax. 4.) $ \ frac (a) (h) - \ frac (b) (h) = \ frac (r) (h) $

340. यदि एक अंकगणितीय अनुपात के पदों को दूसरे के संगत पदों में जोड़ा या घटाया जाता है, तो योग या अंतर का अनुपात दो अनुपातों के योग या अंतर के बराबर होगा।
अगर ए - बी
और डी - एच,
दो रिश्ते हैं,
तब (ए + डी) - (बी + एच) = (ए - बी) + (डी - एच)। जो प्रत्येक स्थिति में = a + d - b - h।
और (ए - डी) - (बी - एच) = (ए - बी) - (डी - एच)। जो प्रत्येक स्थिति में = a - d - b + h।
अतः अंकगणितीय अनुपात 11 - 4 है 7
और 5 - 2 का अंकगणितीय अनुपात 3 . है
16 - 6 के सदस्यों के योग का अनुपात 10 है, अनुपातों का योग है।
पदों 6 - 2 के अंतर का अनुपात 4 है, अनुपातों का अंतर है।

341. ज्यामितीय अनुपात मात्राओं के बीच संबंध है, जिसे व्यक्त किया जाता है निजीयदि एक मात्रा को दूसरी मात्रा से विभाजित किया जाता है।
इस प्रकार 8 से 4 के अनुपात को 8/4 या 2 के रूप में लिखा जा सकता है। यानी 8 बटा 4 का भागफल। दूसरे शब्दों में, यह दर्शाता है कि 8 में 4 कितनी बार समाहित है।

इसी प्रकार, किसी भी मात्रा का दूसरी से अनुपात, पहली को दूसरे से विभाजित करके या, सिद्धांत रूप में, वही, पहले को अंश का अंश और दूसरे को हर बनाकर निर्धारित किया जा सकता है।
तो a से b का अनुपात है $\ frac (a) (b) $
d + h से b + c का अनुपात $ \ frac (d + h) (b + c) $ है।

342. तुलना किए जा रहे मानों के बीच दो बिंदुओं को एक के ऊपर एक रखकर ज्यामितीय संबंध भी दर्ज किया जाता है।
इस प्रकार, a: b, a से b के अनुपात का एक रिकॉर्ड है, और 12:4, 12 से 4 का अनुपात है। दोनों मात्राएँ मिलकर बनती हैं। जोड़ाजिसमें पहला पद कहा जाता है पूर्वपदऔर आखिरी है फलस्वरूप.

343. यह अंकन बिंदुओं की सहायता से और अन्य, भिन्न के रूप में, आवश्यकतानुसार विनिमेय हैं, जबकि पूर्ववर्ती भिन्न का अंश बन जाता है, और परिणामी हर बन जाता है।
तो 10: 5 $ \ frac (10) (5) $ के समान है और b: d, $ \ frac (b) (d) $ के समान है।

344. यदि इन तीन मानों में से: पूर्ववर्ती, परिणामी और अनुपात, कोई भी दोतो तीसरा मिल सकता है।

माना a = पूर्ववृत्त, c = परिणामी, r = अनुपात।
परिभाषा के अनुसार, $ r = \ frac (ए) (सी) $, यानी अनुपात परिणामी द्वारा विभाजित पूर्ववर्ती के बराबर है।
c, a = cr से गुणा करने पर, अर्थात पूर्ववृत्त परिणामी गुणा के अनुपात के बराबर होता है।
r से विभाजित करें, $ c = \ frac (a) (r) $, यानी परिणामी अनुपात से विभाजित पूर्ववृत्त के बराबर है।

तदनुसार 1. यदि दो जोड़ों के पूर्ववृत्त और परिणाम समान हों, तो उनका अनुपात भी बराबर होता है।

तदनुसार 2. यदि दो युग्मों के लिए अनुपात और पूर्ववृत्त समान हैं, तो परिणाम समान हैं, और यदि अनुपात और परिणाम समान हैं, तो पूर्ववृत्त भी समान हैं।

345. यदि दो तुलना किए गए मान बराबर हैं, तो उनका अनुपात एक या समानता के अनुपात के बराबर होता है। अनुपात 3*6:18 एक के बराबर है, क्योंकि किसी भी मात्रा का भागफल स्वयं से विभाजित होने पर 1 के बराबर होता है।

यदि युग्म का पूर्ववृत्त अधिक,परिणामी की तुलना में, अनुपात एक से अधिक है। चूंकि भाजक भाजक से बड़ा होता है, भागफल एक से बड़ा होता है। अतः 18:6 का अनुपात 3 है। इसे अनुपात कहते हैं अधिक असमानता.

दूसरी ओर, यदि पूर्ववृत्त कमपरिणाम की तुलना में, तो अनुपात एकता से कम होता है और इसे अनुपात कहा जाता है कम असमानता... अतः 2:3 का अनुपात एक से कम है, क्योंकि भाज्य भाजक से कम है।

346. ठीक उल्टाअनुपात दो व्युत्क्रमों का अनुपात है।
अतः 6 से 3 का व्युत्क्रमानुपात k है, अर्थात्:।
a से b का प्रत्यक्ष अनुपात $\ frac (a) (b) $ है, अर्थात पूर्ववृत्त को एक परिणामी में विभाजित किया जाता है।
व्युत्क्रम संबंध $ \ frac (1) (a) $: $ \ frac (1) (b) $ या $ \ frac (1) (a) \ Frac (b) (1) = \ frac (b) है। (ए) $।
अर्थात्, परवर्ती b को पूर्ववर्ती a से विभाजित किया जाता है।

अतः व्युत्क्रम संबंध व्यक्त किया जाता है भिन्न को उलटने से, जो एक सीधा अनुपात प्रदर्शित करता है, या, जब डॉट्स का उपयोग करके रिकॉर्डिंग की जाती है, सदस्यों के आदेश को उलटना.
इस प्रकार, ए, बी को उसी तरह संदर्भित करता है जैसे बी से ए।

347. जटिल अनुपातयह अनुपात काम करता हैदो या दो से अधिक सरल संबंधों के साथ संगत शब्द।
अत: 6:3 का अनुपात 2 . है
और अनुपात 12: 4 बराबर 3
इनसे बना अनुपात 72:12 = 6 है।

यहां, आपस में दो पूर्ववृत्तों और साधारण संबंधों के दो परिणामों को गुणा करके एक जटिल संबंध प्राप्त किया जाता है।
तो अनुपात बनाया
अनुपात से a: b
और अनुपात c: d
और अनुपात एच: वाई
यह अनुपात $ ach: bdy = \ frac (ach) (bdy) $ है।
यौगिक अनुपात इसके में भिन्न नहीं होता है प्रकृतिकिसी अन्य अनुपात से। इस शब्द का प्रयोग कुछ मामलों में रिश्ते की उत्पत्ति को दिखाने के लिए किया जाता है।

तदनुसार एक सम्मिश्र अनुपात साधारण अनुपातों के गुणनफल के बराबर होता है।
अनुपात ए: बी $ \ फ़्रेक के बराबर है (ए) (बी) $
अनुपात c: d $ \ frac के बराबर है (c) (d) $
एच: वाई अनुपात $ \ फ्रैक (एच) (वाई) $ है
और इन तीनों का जोड़ा गया अनुपात ach/bdy होगा, जो साधारण अनुपातों को व्यक्त करने वाली भिन्नों का गुणनफल है।

348. यदि प्रत्येक पिछले जोड़े में अनुपात के क्रम में परिणामी अगले एक में पूर्ववर्ती है, तो पहले पूर्ववर्ती और अंतिम परिणाम का अनुपात मध्यवर्ती अनुपात से प्राप्त अनुपात के बराबर है।
तो कई रिश्तों में
ए: बी
बी: सी
सी: डी
घ: हो
अनुपात ए: एच अनुपात ए: बी और बी: सी और सी: डी और डी: एच से जोड़े गए अनुपात के बराबर है। तो पिछले लेख में सम्मिश्र अनुपात $ \ frac (abcd) (bcdh) = \ frac (a) (h) $, या a: h है।

इसी तरह, सभी मात्राएँ जो पूर्ववृत्त और परिणाम दोनों हैं गायब, जब भिन्नों के गुणनफल को उसके निम्नतम पदों तक सरलीकृत किया जाएगा और शेष में सम्मिश्र अनुपात पहले पूर्ववर्ती और अंतिम परिणाम द्वारा व्यक्त किया जाएगा।

349. एक साधारण संबंध को से गुणा करने पर जटिल संबंधों का एक विशेष वर्ग प्राप्त होता है खुदया कुछ और बराबरी काअनुपात। इन अनुपातों को कहा जाता है दोहरा, ट्रिपल, क्वाड्स, और इसी तरह, गुणन संक्रियाओं की संख्या के अनुसार।

से बना अनुपात दोसमान अनुपात, अर्थात्, वर्ग दोहराअनुपात।

की रचना तीन, अर्थात्, घनक्षेत्रसरल संबंध कहलाते हैं ट्रिपल, आदि।

इसी प्रकार, अनुपात वर्गमूलदो राशियों को अनुपात कहा जाता है वर्गमूलऔर अनुपात घन जड़ें- अनुपात घन जड़, आदि।
तो a से b का सरल अनुपात a: b . है
a से b का दोहरा अनुपात a 2: b 2 . के बराबर है
a से b का त्रिक अनुपात a 3: b 3 . के बराबर है
a से b के वर्गमूल का अनुपात √a: b . है
a से b के घनमूल का अनुपात 3 a: 3 b है, और इसी तरह आगे भी।
मामले दोहरा, ट्रिपल, और इसी तरह के साथ मिश्रित करने की आवश्यकता नहीं है दोगुनी, तीन गुना, आदि।
6 से 2 का अनुपात 6: 2 = 3 . है
इस अनुपात को दुगुना करने पर अर्थात अनुपात को दुगुना करने पर हमें 12:2 = 6 . प्राप्त होता है
हम इस अनुपात को तिगुना करते हैं, यानी यह अनुपात तीन गुना है, तो हमें 18: 2 = 9 . मिलता है
ए दोहराअनुपात, अर्थात् वर्गअनुपात 6 2: 2 2 = 9 . है
तथा ट्रिपलअनुपात, यानी अनुपात का घन, 6 3: 2 3 = 27 . है

350. मात्राओं को एक दूसरे के साथ सहसंबद्ध होने के लिए, उन्हें एक ही प्रकार का होना चाहिए, ताकि कोई आत्मविश्वास से दावा कर सके कि वे एक दूसरे के बराबर हैं, या उनमें से एक बड़ा या कम है। एक इंच के संबंध में एक पैर 12 से 1 जैसा होता है: यह एक इंच से 12 गुना बड़ा होता है। लेकिन कोई यह नहीं कह सकता, उदाहरण के लिए, एक घंटा एक छड़ी से लंबा या छोटा है, या एक एकड़ एक डिग्री से बड़ा या कम है। हालाँकि, यदि इन मात्राओं को में व्यक्त किया जाता है नंबर, तो इन संख्याओं के बीच संबंध हो सकता है। अर्थात्, प्रति घंटे मिनटों की संख्या और प्रति मील कदमों की संख्या के बीच संबंध हो सकता है।

351. की ओर मुड़ना प्रकृतिअनुपात, अगला कदम हमें यह ध्यान में रखना होगा कि एक या दो शब्दों में परिवर्तन, जिसकी एक दूसरे के साथ तुलना की जाती है, अनुपात को ही प्रभावित करेगा। याद रखें कि प्रत्यक्ष अनुपात को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां पूर्ववर्तीजोड़े हमेशा यह मीटर, ए फलस्वरूप - भाजक... तब भिन्नों के गुणधर्म से यह प्राप्त करना आसान होगा कि तुलनात्मक मूल्यों में परिवर्तन से अनुपात में परिवर्तन होता है। दो मात्राओं का अनुपात समान है अर्थभिन्न, जिनमें से प्रत्येक प्रतिनिधित्व करता है निजी: अंश भाजक से विभाजित। (अनुच्छेद। 341।) अब यह दिखाया गया है कि किसी भिन्न के अंश को किसी भी मान से गुणा करना गुणा करने के समान है अर्थएक ही राशि से और अंश को विभाजित करना एक अंश के मूल्यों को विभाजित करने के समान है। इसलिए,

352. किसी युग्म के पूर्ववृत्त को किसी भी मान से गुणा करने का अर्थ है अनुपातों को इस मान से गुणा करना, और पूर्ववृत्त को विभाजित करना इस अनुपात को विभाजित करना है.
अत: 6:2 का अनुपात 3 . होता है
और 24:2 का अनुपात 12 के बराबर है.
यहाँ पिछले जोड़े में पूर्ववृत्त और अनुपात पहले की तुलना में 4 गुना अधिक है।
ए: बी अनुपात $ \ फ्रैक (ए) (बी) $ है
और अनुपात na: b बराबर है $\ frac (na) (b) $।

तदनुसार एक ज्ञात परिणाम के साथ, अधिक पूर्वपद, अधिक अनुपात, और इसके विपरीत, अनुपात जितना बड़ा होगा, पूर्ववृत्त उतना ही बड़ा होगा।

353. युग्म के परिणामी को किसी भी मान से गुणा करने पर परिणामतः हमें इस मान से अनुपात का भाग मिलता है और परिणामी को भाग देने पर हम अनुपात को गुणा कर देते हैं।किसी भिन्न के हर को गुणा करके, हम मान को विभाजित करते हैं, और हर को विभाजित करके, मान को गुणा किया जाता है।
अतः 12:2 का अनुपात 6 . है
और 12:4 का अनुपात 3 है।
यहाँ दूसरी जोड़ी का परिणाम है दो बारअधिक, और अनुपात दो बारपहले से कम।
ए: बी अनुपात $ \ फ्रैक (ए) (बी) $ है
और a: nb अनुपात $ \ frac (a) (nb) $ के बराबर है।

तदनुसार किसी दिए गए पूर्ववृत्त के साथ, परिणाम जितना बड़ा होगा, अनुपात उतना ही कम होगा। इसके विपरीत, अनुपात जितना बड़ा होगा, परिणाम उतना ही छोटा होगा।

354. पिछले दो लेखों से यह निम्नानुसार है कि पूर्ववृत्त का गुणनकिसी भी राशि से जोड़ी का अनुपात पर समान प्रभाव पड़ेगा परिणामी का विभाजनइस राशि से, और पूर्ववृत्त का विभाजन, के समान प्रभाव पड़ेगा परिणामी गुणन.
अत: 8:4 का अनुपात 2 . के बराबर है
पूर्ववृत्त को 2 से गुणा करने पर 16:4 का अनुपात 4 . होता है
पूर्ववृत्त को 2 से भाग देने पर 8:2 का अनुपात 4 होता है।

तदनुसार कोई फ़ैक्टरया विभक्तअनुपात को बदले बिना जोड़ी के पूर्ववृत्त से परिणामी या परिणामी से पूर्ववृत्त में स्थानांतरित किया जा सकता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि जब कोई कारक इस प्रकार एक पद से दूसरे पद में स्थानांतरित होता है, तो यह एक भाजक बन जाता है, और स्थानांतरित भाजक एक कारक बन जाता है।
तो अनुपात 3.6:9 = 2 . है
कारक 3, $6: \ फ़्रेक (9) (3) = 2 $
एक ही अनुपात।

अनुपात $ \ frac (ma) (y): b = \ frac (ma) (द्वारा) $
y $ ma से अधिक ले जाना: by = \ frac (ma) (by) $
मूविंग एम, ए: $ ए: \ फ्रैक (एम) (बाय) = \ फ्रैक (एमए) (बाय) $।

355. जैसा कि लेखों से स्पष्ट है। 352 और 353, यदि पूर्ववर्ती और परिणामी दोनों को एक ही मान से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो अनुपात नहीं बदलता है.

तदनुसार 1. दोनों का अनुपात अंशों, जिसका एक सामान्य भाजक है, उनके के अनुपात के समान है अंश.
तो ए / एन: बी / एन अनुपात ए: बी के समान है।

तदनुसार 2. सीधेदो भिन्नों का अनुपात जिनका एक सामान्य अंश होता है, उनके के व्युत्क्रम अनुपात के बराबर होता है हरों.

356. लेख से किन्हीं दो भिन्नों के अनुपात को निर्धारित करना आसान है। यदि प्रत्येक पद को दो हरों से गुणा किया जाता है, तो अनुपात अभिन्न व्यंजकों द्वारा दिया जाएगा। इस प्रकार, युग्म के पदों a/b: c/d को bd से गुणा करने पर, हमें $ \ frac (abd) (b) $: $ \ frac (bcd) (d) $ प्राप्त होता है, जो कम करके विज्ञापन: bc बन जाता है। अंश और हर से सामान्य मान।

356. ख. अनुपात अधिक असमानता बढ़ती हैउनके
मान लीजिए कि बड़ी असमानता का अनुपात 1 + n: 1 . के रूप में दिया गया है
और कोई भी अनुपात जैसे ए: बी
यौगिक अनुपात होगा (कला। 347,) a + na: b
जो अनुपात a: b से अधिक है (अनुच्छेद 351. सम्मान।)
लेकिन अनुपात कम असमानताएक अलग अनुपात के साथ मुड़ा हुआ, कम कर देता हैउनके।
मान लीजिए छोटे अंतर का अनुपात 1-n: 1
कोई दिया गया अनुपात ए: बी
जटिल अनुपात ए - ना: बी
जो a: b से कम है।

357. यदि किसी जोड़ी के सदस्यों को या उनसेजोड़ें या दो अन्य राशियों को घटाएं जो समान अनुपात में हैं, तो योग या शेष राशि का अनुपात समान होगा.
मान लीजिए अनुपात a: b
c: d . जैसा ही होगा
फिर रिश्ता रकमपरिणामों के योग के पूर्ववृत्त, अर्थात् a + c से b + d, भी समान हैं।
यानी $\ फ़्रेक (ए + सी) (बी + डी) $ = $ \ फ़्रेक (सी) (डी) $ = $ \ फ़्रेक (ए) (बी) $।

सबूत।

1. धारणा के अनुसार, $ \ frac (a) (b) $ = $ \ frac (c) (d) $
2. बी और डी से गुणा करें, विज्ञापन = बीसी
3. दोनों पक्षों में सीडी जोड़ें, विज्ञापन + सीडी = बीसी + सीडी
4. d से भाग दें, $a + c = \ frac (bc + cd) (d) $
5. बी + डी, $ \ फ़्रेक (ए + सी) (बी + डी) $ = $ \ फ़्रेक (सी) (डी) $ = $ \ फ़्रेक (ए) (बी) $ से विभाजित करें।

अनुपात मतभेदपरिणामी अंतर के पूर्ववृत्त भी समान हैं।

358. यदि कई युग्मों में अनुपात बराबर हैं, तो सभी पूर्ववृत्तों का योग सभी परिणामों के योग को संदर्भित करता है, इसके परिणाम के किसी भी पूर्ववृत्त के रूप में।
इस प्रकार, अनुपात
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
इस प्रकार, अनुपात (12 + 10 + 8 + 6) :( 6 + 5 + 4 + 3) = 2।

358. ख. अनुपात अधिक असमानताकम हो जाती हैजोड़ने एक ही मूल्यदोनों सदस्यों को।
मान लीजिए दिए गए संबंध a + b: a या $ \ frac (a + b) (a) $
दोनों सदस्यों में x जोड़ने पर हमें a + b + x: a + x या $ \ frac (a + b) (a) $ मिलता है।

पहला $ \ frac (a ^ 2 + ab + ax + bx) (a (a + x)) $ बन जाता है
और आखिरी वाला $ \ frac (a ^ 2 + ab + ax) (a (a + x)) $ है।
चूँकि अंतिम अंश दूसरे से स्पष्ट रूप से कम है, तो अनुपातकम होना चाहिए। (कला। 351। सम्मान।)

लेकिन अनुपात कम असमानता बढ़ती हैदोनों पदों में समान राशि जोड़कर।
मान लीजिए दिया गया संबंध (a-b): a, या $\ frac (a-b) (a) $।
दोनों पदों में x जोड़ने पर यह (a-b + x) :( a + x) या $ \ frac (a-b + x) (a + x) $ का रूप लेता है।
उन्हें एक आम भाजक में लाना,
पहला वाला $ \ frac (a ^ 2-ab + ax-bx) (a (a + x)) $ बन जाता है
और आखिरी वाला, $ \ frac (a ^ 2-ab + ax) (a (a + x))। \ Frac ((a ^ 2-ab + ax)) (a (a + x)) $।

चूँकि अंतिम अंश दूसरे से बड़ा है, तो अनुपातअधिक।
यदि समान मान जोड़ने के बजाय ले जाओदो पदों से स्पष्ट है कि अनुपात पर प्रभाव विपरीत होगा।

उदाहरण।

1. कौन सा बड़ा है: 11:9 अनुपात, या 44:35 अनुपात?

2. कौन सा अधिक है: अनुपात $ (a + 3): \ frac (a) (6) $, या अनुपात $ (2a + 7): \ frac (a) (3) $?

3. यदि युग्म का पूर्ववृत्त 65 है और अनुपात 13 है, तो परिणाम क्या है?

4. यदि एक युग्म का परिणाम 7 है और अनुपात 18 है, तो पूर्ववृत्त क्या है?

5. 8: 7, और 2a: 5b, और (7x + 1) :( 3y-2) से बना एक जटिल अनुपात कैसा दिखता है?

6. (x + y): b, और (x-y) :( a + b), और (a + b): h से बना एक जटिल अनुपात कैसा दिखता है? सम्मान (x 2 - y 2) : भ.

7. यदि अनुपात (5x + 7) :( 2x-3), और $ (x + 2): \ बाएँ (\ frac (x) (2) +3 \ दाएँ) $ एक जटिल अनुपात बनाते हैं, तो अनुपात क्या है प्राप्त होगा: कम या ज्यादा असमानता? सम्मान अधिक असमानता का अनुपात।

8. (x + y): a और (x - y): b, और $ b: \ frac (x ^ 2-y ^ 2) (a) $ से बना अनुपात क्या है? सम्मान समानता अनुपात।

9. 7:5 का अनुपात और 4:9 के अनुपात का दोगुना और 3:2 के अनुपात का तीन गुना क्या है?
सम्मान 14:15.

10. 3:7 से बना अनुपात क्या है और 49:9 के अनुपात से x: y अनुपात और जड़ निष्कर्षण का तिगुना है?
सम्मान एक्स 3: वाई 3.