Statističke metode odlučivanja. Metode donošenja upravljačkih odluka

Kako se pristupi, ideje i rezultati teorije vjerovatnoće i matematičke statistike koriste u donošenju odluka?

Osnova je probabilistički model realne pojave ili procesa, tj. matematički model u kojem se objektivni odnosi izražavaju u terminima teorije vjerovatnoće. Vjerovatnoće se prvenstveno koriste za opisivanje neizvjesnosti koje se moraju uzeti u obzir prilikom donošenja odluka. To se odnosi i na nepoželjne prilike (rizici) i na one atraktivne („sretna prilika“). Ponekad se slučajnost namjerno uvodi u situaciju, na primjer, prilikom izvlačenja ždrijeba, nasumičnog odabira jedinica za kontrolu, provođenja lutrije ili provođenja anketa potrošača.

Teorija vjerovatnoće dozvoljava da se jedna vjerovatnoća koristi za izračunavanje drugih od interesa za istraživača. Na primjer, koristeći vjerovatnoću da dobijete grb, možete izračunati vjerovatnoću da ćete u 10 bacanja novčića dobiti najmanje 3 grba. Takav proračun se temelji na vjerojatnosnom modelu, prema kojem se bacanja novčića opisuju obrascem nezavisnih pokušaja; osim toga, grb i heš oznake su podjednako mogući, pa je vjerovatnoća svakog od ovih događaja jednaka do ½. Složeniji model je onaj koji razmatra provjeru kvaliteta jedinice proizvodnje umjesto bacanja novčića. Odgovarajući probabilistički model zasniva se na pretpostavci da je kontrola kvaliteta različitih proizvodnih jedinica opisana nezavisnom šemom testiranja. Za razliku od modela bacanja novčića, potrebno je uvesti novi parametar - vjerovatnoću p da je proizvodna jedinica neispravna. Model će biti u potpunosti opisan ako pretpostavimo da sve proizvodne jedinice imaju istu vjerovatnoću da će biti neispravne. Ako je posljednja pretpostavka netačna, tada se povećava broj parametara modela. Na primjer, možete pretpostaviti da svaka jedinica proizvodnje ima svoju vlastitu vjerovatnoću da će biti neispravna.

Razmotrimo model kontrole kvaliteta sa vjerovatnoćom kvara p zajedničkim za sve jedinice proizvodnje. Da bi se „došlo do broja“ pri analizi modela, potrebno je p zamijeniti nekom određenom vrijednošću. Da bi se to postiglo, potrebno je ići dalje od vjerovatnog modela i okrenuti se podacima dobijenim tokom kontrole kvaliteta.

Matematička statistika rješava inverzni problem u odnosu na teoriju vjerovatnoće. Njegov cilj je da se na osnovu rezultata opservacija (mjerenja, analiza, testova, eksperimenata) pribave zaključci o vjerovatnoćama koje su u osnovi vjerovatnostnog modela. Na primjer, na osnovu učestalosti pojavljivanja neispravnih proizvoda tokom inspekcije, mogu se izvući zaključci o vjerovatnoći neispravnosti (vidjeti Bernoullijevu teoremu iznad).

Na osnovu Čebiševe nejednakosti izvedeni su zaključci o korespondenciji učestalosti pojavljivanja neispravnih proizvoda hipotezi da vjerojatnost neispravnosti poprima određenu vrijednost.

Stoga se primjena matematičke statistike zasniva na vjerovatnom modelu pojave ili procesa. Koriste se dvije paralelne serije koncepata - oni koji se odnose na teoriju (vjerovatni model) i oni koji se odnose na praksu (uzorkovanje rezultata posmatranja). Na primjer, teorijska vjerovatnoća odgovara frekvenciji pronađenoj iz uzorka. Matematičko očekivanje (teorijski niz) odgovara uzorku aritmetičke sredine (praktične serije). Po pravilu, karakteristike uzorka su procjene teorijskih. Istovremeno, količine koje se odnose na teorijske serije „su u glavama istraživača“, odnose se na svijet ideja (prema starogrčkom filozofu Platonu) i nisu dostupne za direktno mjerenje. Istraživači imaju samo uzorke podataka pomoću kojih pokušavaju utvrditi svojstva teorijskog vjerojatnosnog modela koji ih zanimaju.

Zašto nam je potreban probabilistički model? Činjenica je da se samo uz njegovu pomoć svojstva utvrđena analizom konkretnog uzorka mogu prenijeti na druge uzorke, kao i na cjelokupnu tzv. opštu populaciju. Termin "populacija" se koristi kada se odnosi na veliku, ali konačnu kolekciju jedinica koje se proučavaju. Na primjer, o ukupnosti svih stanovnika Rusije ili ukupnosti svih potrošača instant kafe u Moskvi. Cilj marketinških ili socioloških istraživanja je prenošenje izjava dobijenih sa uzorka od stotina ili hiljada ljudi na populaciju od nekoliko miliona ljudi. U kontroli kvaliteta, serija proizvoda djeluje kao opća populacija.

Za prenošenje zaključaka sa uzorka na veću populaciju potrebne su neke pretpostavke o odnosu karakteristika uzorka sa karakteristikama ove veće populacije. Ove pretpostavke su zasnovane na odgovarajućem vjerovatnostnom modelu.

Naravno, moguće je obraditi podatke uzorka bez korištenja jednog ili drugog vjerovatnostnog modela. Na primjer, možete izračunati uzorak aritmetičke sredine, izbrojati učestalost ispunjenja određenih uslova itd. Međutim, rezultati proračuna odnosit će se samo na određeni uzorak, a prenošenje zaključaka dobivenih uz njihovu pomoć na bilo koju drugu populaciju nije ispravno. Ova aktivnost se ponekad naziva "analiza podataka". U poređenju sa probabilističko-statističkim metodama, analiza podataka ima ograničenu edukativnu vrijednost.

Dakle, upotreba probabilističkih modela zasnovanih na procjeni i testiranju hipoteza korištenjem karakteristika uzorka predstavlja suštinu vjerovatno-statističkih metoda donošenja odluka.

Naglašavamo da logika korištenja karakteristika uzorka za donošenje odluka zasnovanih na teorijskim modelima podrazumijeva istovremenu upotrebu dvije paralelne serije koncepata, od kojih jedan odgovara vjerojatnosnim modelima, a drugi uzorku podataka. Nažalost, u nizu književnih izvora, obično zastarjelih ili napisanih u duhu recepta, ne pravi se razlika između uzorka i teorijskih karakteristika, što čitatelje dovodi do zabune i grešaka u praktičnoj upotrebi statističkih metoda.

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

[Unesite tekst]

Uvod

1. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika u odlučivanju

1.1 Kako se koriste teorija vjerovatnoće i matematička statistika

1.2 Primjeri primjene teorije vjerovatnoće i matematičke statistike

1.3 Ciljevi procjene

1.4 Šta je "matematička statistika"

1.5 Ukratko o istoriji matematičke statistike

1.6 Probabilističko-statističke metode i optimizacija

2. Tipični praktični problemi vjerovatno-statističkog odlučivanja i metode za njihovo rješavanje

2.1 Statistika i primijenjena statistika

2.2 Zadaci statističke analize tačnosti i stabilnosti tehnoloških procesa i kvaliteta proizvoda

2.3 Problemi jednodimenzionalne statistike (statistika slučajnih varijabli)

2.4 Multivarijantna statistička analiza

2.5 Statistika slučajnih procesa i vremenskih serija

2.6 Statistika objekata nenumeričke prirode

3. Primena probabilističkih i statističkih metoda odlučivanja u rešavanju ekonomskih problema

Zaključak

Reference

Uvod

Probabilističko-statističke metode odlučivanja koriste se u slučaju kada efikasnost donesenih odluka zavisi od faktora koji su slučajne varijable za koje su poznati zakoni distribucije vjerovatnoće i druge statističke karakteristike. Štaviše, svaka odluka može dovesti do jednog od mnogih mogućih ishoda, a svaki ishod ima određenu vjerovatnoću nastanka, koja se može izračunati. Indikatori koji karakteriziraju problemsku situaciju također su opisani korištenjem probabilističkih karakteristika. U takvim zadacima odlučivanja donosilac odluke uvijek rizikuje da dobije rezultat koji nije onaj na koji se orijentiše pri izboru optimalnog rješenja na osnovu prosječnih statističkih karakteristika slučajnih faktora, odnosno odluka se donosi pod uslovi rizika.

U praksi se često koriste probabilističke i statističke metode kada se zaključci izvučeni iz podataka uzorka prenose na cijelu populaciju (na primjer, iz uzorka na cijelu seriju proizvoda). Međutim, u svakoj konkretnoj situaciji prvo treba procijeniti temeljnu mogućnost dobijanja dovoljno pouzdanih vjerovatnostnih i statističkih podataka.

Kada se pri donošenju odluka koriste ideje i rezultati teorije vjerovatnoće i matematičke statistike, osnova je matematički model u kojem se objektivni odnosi izražavaju u terminima teorije vjerovatnoće. Vjerovatnoće se prvenstveno koriste za opisivanje slučajnosti koja se mora uzeti u obzir prilikom donošenja odluka. To se odnosi i na nepoželjne prilike (rizici) i na one atraktivne („sretna prilika“).

Suština probabilističko-statističkih metoda odlučivanja je upotreba probabilističkih modela zasnovanih na procjeni i testiranju hipoteza korištenjem karakteristika uzorka.

Logika korišćenja karakteristika uzorka za donošenje odluka zasnovanih na teorijskim modelima uključuje istovremenu upotrebu dve paralelne serije koncepata – onih koji se odnose na teoriju (verovatni model) i onih koji se odnose na praksu (uzorkovanje rezultata posmatranja). Na primjer, teorijska vjerovatnoća odgovara frekvenciji pronađenoj iz uzorka. Matematičko očekivanje (teorijski niz) odgovara uzorku aritmetičke sredine (praktične serije). Tipično, karakteristike uzorka su procjene teorijskih karakteristika.

Prednosti korištenja ovih metoda uključuju mogućnost uzimanja u obzir različitih scenarija razvoja događaja i njihove vjerovatnoće. Nedostatak ovih metoda je što je vrijednosti vjerovatnoće za scenarije korištene u proračunima obično vrlo teško dobiti u praksi.

Primjena specifične probabilističko-statističke metode odlučivanja sastoji se od tri faze:

Prelazak sa ekonomske, menadžerske, tehnološke stvarnosti na apstraktnu matematičku i statističku shemu, tj. izgradnja vjerovatnog modela sistema upravljanja, tehnološkog procesa, postupka odlučivanja, posebno na osnovu rezultata statističke kontrole i dr.;

Vjerovatni model realnog fenomena treba smatrati konstruiranim ako su veličine koje se razmatraju i veze između njih izražene u terminima teorije vjerovatnoće. Adekvatnost probabilističkog modela potkrepljena je, posebno, statističkim metodama za testiranje hipoteza.

Na osnovu vrste problema koji se rješava, matematička statistika se obično dijeli u tri dijela: opis podataka, procjena i testiranje hipoteze. Na osnovu vrste statističkih podataka koji se obrađuju, matematička statistika je podijeljena u četiri oblasti:

Primjer kada je preporučljivo koristiti vjerovatno-statističke modele.

Prilikom kontrole kvaliteta bilo kojeg proizvoda, iz njega se odabire uzorak kako bi se odlučilo da li serija proizvoda koja se proizvodi ispunjava utvrđene zahtjeve. Na osnovu rezultata kontrole uzorka donosi se zaključak o cijeloj seriji. U ovom slučaju je vrlo važno izbjeći subjektivnost prilikom formiranja uzorka, odnosno potrebno je da svaka jedinica proizvoda u kontrolisanoj seriji ima istu vjerovatnoću da bude odabrana za uzorak. Odabir na osnovu lota u takvoj situaciji nije dovoljno objektivan. Stoga se u proizvodnim uvjetima odabir jedinica proizvoda za uzorak obično ne vrši putem lota, već pomoću posebnih tablica slučajnih brojeva ili korištenjem kompjuterskih senzora slučajnih brojeva.

U statističkoj regulaciji tehnoloških procesa, na osnovu metoda matematičke statistike, izrađuju se pravila i planovi za statističko upravljanje procesima, koji imaju za cilj pravovremeno otkrivanje problema u tehnološkim procesima i preduzimanje mjera za njihovo prilagođavanje i sprečavanje puštanja u promet proizvoda koji ne rade. ispunjavaju utvrđene zahtjeve. Ove mjere imaju za cilj smanjenje troškova proizvodnje i gubitaka od nabavke nekvalitetnih jedinica. Prilikom statističke kontrole prijema, na osnovu metoda matematičke statistike, izrađuju se planovi kontrole kvaliteta analizom uzoraka iz serija proizvoda. Poteškoća je u tome da se pravilno izgrade vjerovatno-statistički modeli odlučivanja, na osnovu kojih se može odgovoriti na postavljena pitanja. U matematičkoj statistici su u tu svrhu razvijeni vjerovatnosni modeli i metode za provjeru hipoteza.

Osim toga, u nizu upravljačkih, proizvodnih, ekonomskih i nacionalno-ekonomskih situacija javljaju se problemi drugačijeg tipa – problemi procjene karakteristika i parametara distribucije vjerovatnoće.

Ili, kada se statistički analizira tačnost i stabilnost tehnoloških procesa, potrebno je procijeniti takve pokazatelje kvaliteta kao što su prosječna vrijednost kontroliranog parametra i stepen njegovog raspršenosti u procesu koji se razmatra. Prema teoriji vjerovatnoće, preporučljivo je koristiti njeno matematičko očekivanje kao prosječnu vrijednost slučajne varijable, a disperziju, standardnu ​​devijaciju ili koeficijent varijacije kao statističku karakteristiku širenja. Ovo postavlja pitanje: kako procijeniti ove statističke karakteristike iz podataka uzorka i s kojom tačnošću se to može učiniti? U literaturi ima mnogo sličnih primjera. Svi oni pokazuju kako se teorija vjerovatnoće i matematička statistika mogu koristiti u upravljanju proizvodnjom pri donošenju odluka u oblasti statističkog upravljanja kvalitetom proizvoda.

U određenim oblastima primjene koriste se i probabilističke i statističke metode opće primjene i specifične. Na primjer, u dijelu upravljanja proizvodnjom koji je posvećen statističkim metodama upravljanja kvalitetom proizvoda, koristi se primijenjena matematička statistika (uključujući dizajn eksperimenata). Koristeći njegove metode, vrši se statistička analiza tačnosti i stabilnosti tehnoloških procesa i statistička procjena kvaliteta. Specifične metode uključuju metode statističke kontrole prihvatljivosti kvaliteta proizvoda, statističku regulaciju tehnoloških procesa, procjenu i kontrolu pouzdanosti
i sl.

U upravljanju proizvodnjom, posebno, kada se optimizira kvalitet proizvoda i osigurava usklađenost sa zahtjevima standarda, posebno je važno primijeniti statističke metode na početna fazaživotni ciklus proizvoda, tj. u fazi istraživačke pripreme razvoja eksperimentalnog projekta (izrada perspektivnih zahtjeva proizvoda, idejni projekt, tehničke specifikacije za izradu eksperimentalnog projekta). To je zbog ograničenih informacija dostupnih u početnoj fazi životnog ciklusa proizvoda i potrebe za predviđanjem tehničkih mogućnosti i ekonomske situacije za budućnost.

Najčešće probabilističke statističke metode su regresiona analiza, faktorska analiza, analiza varijanse, statističke metode za procjenu rizika, metoda scenarija itd. Područje statističkih metoda posvećeno analizi statističkih podataka nenumeričke prirode, odnosno postaje sve važnije. rezultati mjerenja zasnovani na kvalitativnim i različitim tipovima karakteristika. Jedna od glavnih primjena statistike objekata nenumeričke prirode je teorija i praksa stručnih procjena vezanih za teoriju statističkih odluka i problema glasanja.

Uloga osobe pri rješavanju problema metodama teorije statističkih rješenja je da postavi problem, odnosno da realni problem svede na odgovarajući standardni, da na osnovu statističkih podataka odredi vjerovatnoće događaja, kao i da odobriti dobijeno optimalno rješenje.

1. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika u odlučivanju

1.1 Kako se koristi teorija vjerovatnoćei matematičke statistike

Ove discipline su osnova probabilističkih i statističkih metoda donošenja odluka. Za korištenje njihovog matematičkog aparata potrebno je probleme odlučivanja izraziti u terminima vjerovatno-statističkih modela. Primjena specifične probabilističko-statističke metode odlučivanja sastoji se od tri faze:

Prelazak sa ekonomske, menadžerske, tehnološke stvarnosti na apstraktnu matematičku i statističku shemu, tj. izgradnja vjerovatnog modela sistema upravljanja, tehnološkog procesa, postupka odlučivanja, posebno na osnovu rezultata statističke kontrole, itd.

Izvođenje proračuna i izvođenje zaključaka koristeći čisto matematička sredstva u okviru vjerovatnog modela;

Tumačenje matematičkih i statističkih zaključaka u odnosu na realno stanje i donošenje odgovarajuće odluke (npr. o usklađenosti ili neusklađenosti kvaliteta proizvoda sa utvrđenim zahtjevima, potrebi prilagođavanja tehnološkog procesa i sl.), posebno zaključci (o udjelu neispravnih jedinica proizvoda u seriji, o specifičnom obliku zakona raspodjele kontrolisanih parametara tehnološkog procesa i dr.).

Matematička statistika koristi koncepte, metode i rezultate teorije vjerovatnoće. Razmotrimo glavna pitanja konstruisanja probabilističkih modela donošenja odluka u ekonomskim, menadžerskim, tehnološkim i drugim situacijama. Za aktivnu i ispravnu upotrebu regulatornih, tehničkih i instruktivnih dokumenata o probabilističkim i statističkim metodama odlučivanja potrebno je prethodno znanje. Dakle, potrebno je znati pod kojim uslovima treba koristiti određeni dokument, koje početne informacije je potrebno imati za njegov odabir i primjenu, koje odluke treba donijeti na osnovu rezultata obrade podataka itd.

1.2 Primjeri primjene teorije vjerovatnoćei matematičke statistike

Razmotrimo nekoliko primjera gdje su vjerovatno-statistički modeli dobar alat za rješavanje upravljačkih, proizvodnih, ekonomskih i nacionalnih ekonomskih problema. Tako se, na primjer, u romanu A. N. Tolstoja „Hod kroz muke“ (tom 1) kaže: „radionica proizvodi dvadeset i tri posto odbačenih proizvoda, držite se ove brojke“, rekao je Strukov Ivanu Iljiču.

Postavlja se pitanje kako razumjeti ove riječi u razgovoru direktora fabrike, jer jedna proizvodna jedinica ne može biti 23% neispravna. Može biti dobar ili neispravan. Strukov je vjerovatno mislio da velika serija sadrži otprilike 23% neispravnih jedinica proizvodnje. Postavlja se onda pitanje šta znači "otprilike"? Neka se 30 od 100 testiranih jedinica proizvodnje pokaže neispravnim, ili od 1000 - 300, ili od 100 000 - 30 000 itd., da li je potrebno optužiti Strukova za laž?

Ili drugi primjer. Novčić koji se koristi kao lot mora biti „simetričan“, tj. pri bacanju, u prosjeku, u pola slučajeva grb bi trebao ispasti, au pola slučajeva - heš (repovi, broj). Ali šta znači "u prosjeku"? Ako izvodite mnogo serija od 10 bacanja u svakoj seriji, onda ćete često naići na serije u kojima novčić slijeće kao grb 4 puta. Za simetričan novčić, to će se dogoditi u 20,5% serija. A ako nakon 100.000 bacanja ima 40.000 grbova, može li se novčić smatrati simetričnim? Procedura donošenja odluka zasniva se na teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici.

Primjer koji je u pitanju možda ne izgleda dovoljno ozbiljan. Međutim, nije. Žreb se široko koristi u organizaciji industrijskih tehničkih i ekonomskih eksperimenata, na primjer, prilikom obrade rezultata mjerenja indikatora kvalitete (momenta trenja) ležajeva u zavisnosti od različitih tehnoloških faktora (utjecaj okoliša očuvanja, metode pripreme ležajeva prije mjerenja). , uticaj opterećenja ležaja tokom procesa merenja itd.). P.). Recimo da je potrebno uporediti kvalitet ležajeva u zavisnosti od rezultata njihovog skladištenja u različitim konzervacionim uljima, tj. u uljima sastava A i B. Prilikom planiranja ovakvog eksperimenta postavlja se pitanje koje ležajeve staviti u ulje sastava A, a koje u ulje sastava B, ali na način da se izbjegne subjektivnost i osigurati objektivnost donesene odluke.

Odgovor na ovo pitanje može se dobiti žrijebom. Sličan primjer može se dati s kontrolom kvalitete bilo kojeg proizvoda. Da bi se odlučilo da li kontrolisana serija proizvoda ispunjava ili ne ispunjava utvrđene zahteve, iz nje se bira uzorak. Na osnovu rezultata kontrole uzorka donosi se zaključak o cijeloj seriji. U ovom slučaju je vrlo važno izbjeći subjektivnost prilikom formiranja uzorka, odnosno potrebno je da svaka jedinica proizvoda u kontrolisanoj seriji ima istu vjerovatnoću da bude odabrana za uzorak. U proizvodnim uvjetima, odabir jedinica proizvoda za uzorak obično se ne vrši putem lota, već pomoću posebnih tablica slučajnih brojeva ili korištenjem kompjuterskih senzora slučajnih brojeva.

Slični problemi obezbeđivanja objektivnosti poređenja javljaju se prilikom poređenja različitih šema za organizovanje proizvodnje, nagrađivanja, tokom tendera i konkursa, odabira kandidata za upražnjena radna mesta itd. Svugdje nam treba žrijeb ili slične procedure. Objasnimo na primjeru identifikacije najjače i druge najjače ekipe pri organizaciji turnira po olimpijskom sistemu (poraženi je eliminisan). Neka jača ekipa uvijek pobjeđuje slabiju. Jasno je da će najjača ekipa sigurno postati šampion. Druga po snazi ​​ekipa će u finale samo ako nema utakmica sa budućim šampionom prije finala. Ako je takva utakmica planirana, druga po snazi ​​ekipa neće proći u finale. Onaj ko planira turnir može ili "nokautirati" drugu najjaču ekipu sa turnira pre roka, suprotstaviti je lideru u prvom susretu, ili joj obezbediti drugo mesto tako što će obezbediti susrete sa slabijim ekipama sve do final. Kako bi se izbjegla subjektivnost, izvodi se žrijeb. Za turnir sa 8 ekipa, vjerovatnoća da će se dvije najbolje ekipe sastati u finalu je 4/7. Shodno tome, sa vjerovatnoćom od 3/7, drugi najjači tim će rano napustiti turnir.

Svako mjerenje jedinica proizvoda (pomoću čeljusti, mikrometra, ampermetra, itd.) sadrži greške. Da bi se utvrdilo da li postoje sistematske greške, potrebno je izvršiti ponovljena mjerenja jedinice proizvoda čije su karakteristike poznate (na primjer, standardni uzorak). Treba imati na umu da pored sistematske greške postoji i slučajna greška.

Stoga se postavlja pitanje kako iz rezultata mjerenja saznati da li postoji sistemska greška. Ako samo zapazimo da li je greška dobijena prilikom sljedećeg mjerenja pozitivna ili negativna, onda se ovaj zadatak može svesti na prethodni. Zaista, usporedimo mjerenje s bacanjem novčića, pozitivnu grešku s gubitkom grba, a negativnu grešku s mrežom (nulta greška s dovoljnim brojem podjela ljestvice gotovo se nikada ne pojavljuje). Tada je provjera odsustva sistematske greške ekvivalentna provjeri simetrije novčića.

Svrha ovih razmatranja je da se problem provjere odsustva sistematske greške svede na problem provjere simetrije novčića. Gornje rezonovanje vodi do takozvanog „kriterijuma predznaka“ u matematičkoj statistici.

U statističkoj regulaciji tehnoloških procesa, na osnovu metoda matematičke statistike, izrađuju se pravila i planovi za statističko upravljanje procesima, koji imaju za cilj pravovremeno otkrivanje problema u tehnološkim procesima i preduzimanje mjera za njihovo prilagođavanje i sprečavanje puštanja u promet proizvoda koji ne rade. ispunjavaju utvrđene zahtjeve. Ove mjere imaju za cilj smanjenje troškova proizvodnje i gubitaka od nabavke nekvalitetnih jedinica. Prilikom statističke kontrole prijema, na osnovu metoda matematičke statistike, izrađuju se planovi kontrole kvaliteta analizom uzoraka iz serija proizvoda. Poteškoća je u tome da se pravilno izgrade vjerovatno-statistički modeli odlučivanja, na osnovu kojih se može odgovoriti na postavljena pitanja. U matematičkoj statistici, u tu svrhu su razvijeni probabilistički modeli i metode za testiranje hipoteza, posebno hipoteza da je udio neispravnih jedinica proizvodnje jednak određenom broju p0, na primjer, p0 = 0,23 (podsjetite se riječi Strukova iz romana A.N. Tolstoja).

1.3 Ciljevi procjene

U nizu upravljačkih, proizvodnih, ekonomskih i nacionalno-ekonomskih situacija javljaju se problemi drugačijeg tipa - problemi procene karakteristika i parametara distribucije verovatnoće.

Pogledajmo primjer. Neka serija od N električnih lampi stigne na pregled. Iz ove serije nasumično je odabran uzorak od n električnih lampi. Postavlja se niz prirodnih pitanja. Kako odrediti iz rezultata ispitivanja elemenata uzorka prosečan rok vijek trajanja električnih svjetiljki i s kojom se tačnošću može procijeniti ova karakteristika? Kako će se promijeniti tačnost ako uzmemo veći uzorak? Za koji broj sati T se može garantovati da će najmanje 90% električnih lampi trajati T ili više sati?

Pretpostavimo da se prilikom testiranja uzorka od n električnih lampi X električnih lampi pokazalo neispravnim. Tada se postavljaju sljedeća pitanja. Koje granice se mogu odrediti za broj D neispravnih električnih lampi u seriji, za nivo neispravnosti D/N itd.?

Ili, kada se statistički analizira tačnost i stabilnost tehnoloških procesa, potrebno je procijeniti takve pokazatelje kvaliteta kao što su prosječna vrijednost kontroliranog parametra i stepen njegovog raspršenosti u procesu koji se razmatra. Prema teoriji vjerovatnoće, preporučljivo je koristiti njeno matematičko očekivanje kao prosječnu vrijednost slučajne varijable, a disperziju, standardnu ​​devijaciju ili koeficijent varijacije kao statističku karakteristiku širenja. Ovo postavlja pitanje: kako procijeniti ove statističke karakteristike iz podataka uzorka i s kojom tačnošću se to može učiniti? Postoji mnogo sličnih primjera koji se mogu navesti. Ovdje je bilo važno pokazati kako se teorija vjerovatnoće i matematička statistika mogu koristiti u upravljanju proizvodnjom pri donošenju odluka u oblasti statističkog upravljanja kvalitetom proizvoda.

1.4 Šta je "matematička statistika"

Pod matematičkom statistikom se podrazumijeva „grana matematike koja je posvećena matematičkim metodama prikupljanja, sistematizacije, obrade i tumačenja statističkih podataka, kao i njihovog korištenja za naučne ili praktične zaključke. Pravila i procedure matematičke statistike zasnivaju se na teoriji vjerovatnoće, što nam omogućava da na osnovu dostupnog statističkog materijala ocijenimo tačnost i pouzdanost zaključaka dobijenih u svakom problemu.” U ovom slučaju, statistički podaci se odnose na informaciju o broju objekata u bilo kojoj manje ili više obimnoj zbirci koji imaju određene karakteristike.

Na osnovu vrste problema koji se rješava, matematička statistika se obično dijeli u tri dijela: opis podataka, procjena i testiranje hipoteza.

Na osnovu vrste statističkih podataka koji se obrađuju, matematička statistika je podijeljena u četiri oblasti:

Univarijantna statistika (statistika slučajnih varijabli), u kojoj je rezultat posmatranja opisan realnim brojem;

Multivarijantna statistička analiza, gde se rezultat posmatranja objekta opisuje sa nekoliko brojeva (vektora);

Statistika slučajnih procesa i vremenskih serija, gdje je rezultat promatranja funkcija;

Statistika objekata nenumeričke prirode, u kojoj je rezultat posmatranja nenumeričke prirode, na primjer, skup ( geometrijska figura), naručivanjem ili dobijenim kao rezultat mjerenja prema kvalitativnom kriteriju.

Istorijski gledano, prve su se pojavile neke oblasti statistike objekata nenumeričke prirode (posebno problemi procjene proporcije defekata i testiranja hipoteza o tome) i jednodimenzionalne statistike. Za njih je matematički aparat jednostavniji, pa se na njihovom primjeru obično demonstriraju osnovne ideje matematičke statistike.

Samo one metode obrade podataka, tj. matematička statistika je zasnovana na dokazima, koja je zasnovana na probabilističkim modelima relevantnih stvarnih pojava i procesa. Radi se o o modelima ponašanja potrošača, pojavi rizika, funkcionisanju tehnološke opreme, dobijanju eksperimentalnih rezultata, toku bolesti itd. Vjerovatni model realnog fenomena treba smatrati konstruiranim ako su veličine koje se razmatraju i veze između njih izražene u terminima teorije vjerovatnoće. Korespondencija sa probabilističkim modelom stvarnosti, tj. njegova adekvatnost se potkrepljuje, posebno, korištenjem statističkih metoda za testiranje hipoteza.

Neverovatnostne metode obrade podataka su istraživačke i mogu se koristiti samo u preliminarnoj analizi podataka, jer ne omogućavaju procenu tačnosti i pouzdanosti zaključaka dobijenih na osnovu ograničenog statističkog materijala.

Probabilističke i statističke metode primjenjive su gdje god je moguće konstruirati i opravdati vjerovatnostni model pojave ili procesa. Njihova upotreba je obavezna kada se zaključci izvedeni iz podataka uzorka prenose na cijelu populaciju (na primjer, iz uzorka na cijelu seriju proizvoda).

U određenim oblastima primjene koriste se i probabilističke i statističke metode opće primjene i specifične. Na primjer, u dijelu upravljanja proizvodnjom koji je posvećen statističkim metodama upravljanja kvalitetom proizvoda, koristi se primijenjena matematička statistika (uključujući dizajn eksperimenata). Koristeći njegove metode, vrši se statistička analiza tačnosti i stabilnosti tehnoloških procesa i statistička procjena kvaliteta. Specifične metode uključuju metode statističke kontrole prihvatljivosti kvaliteta proizvoda, statističke regulacije tehnoloških procesa, procjene i kontrole pouzdanosti itd.

Primijenjene probabilističke i statističke discipline kao što su teorija pouzdanosti i teorija čekanja se široko koriste. Sadržaj prvog od njih je jasan iz naziva, drugi se bavi proučavanjem sistema kao što je telefonska centrala, koja prima pozive u nasumično vrijeme - zahtjevima pretplatnika koji biraju brojeve na svojim telefonskim aparatima. Trajanje servisiranja ovih zahtjeva, tj. trajanje razgovora je također modelirano slučajnim varijablama. Veliki doprinos razvoju ovih disciplina dao je dopisni član Akademije nauka SSSR-a A.Ya. Khinčin (1894-1959), akademik Akademije nauka Ukrajinske SSR B.V. Gnedenko (1912-1995) i drugi domaći naučnici.

1.5 Ukratko o istoriji matematičke statistike

Matematička statistika kao nauka počinje radovima poznatog njemačkog matematičara Carla Friedricha Gausa (1777-1855), koji je na osnovu teorije vjerovatnoće istražio i opravdao metod najmanjih kvadrata, koji je on stvorio 1795. godine i korišten za obradu astronomskih podataka ( kako bi se razjasnila orbita male planete Ceres). Jedna od najpopularnijih distribucija vjerovatnoće, normalna, često se naziva po njemu, a u teoriji slučajnih procesa glavni predmet proučavanja su Gausovi procesi.

IN kasno XIX V. - početkom 20. veka Veliki doprinos matematičkoj statistici dali su engleski istraživači, prvenstveno K. Pearson (1857-1936) i R. A. Fisher (1890-1962). Konkretno, Pearson je razvio hi-kvadrat test za testiranje statističkih hipoteza, a Fisher je razvio analizu varijanse, teoriju eksperimentalnog dizajna i metodu maksimalne vjerovatnoće za procjenu parametara.

Tridesetih godina dvadesetog veka. Poljak Jerzy Neumann (1894-1977) i Englez E. Pearson razvili su opću teoriju testiranja statističkih hipoteza, a sovjetski matematičari akademik A.N. Kolmogorov (1903-1987) i dopisni član Akademije nauka SSSR-a N. V. Smirnov (1900-1966) postavili su temelje neparametarske statistike. Četrdesetih godina dvadesetog veka. Rumun A. Wald (1902-1950) izgradio je teoriju sekvencijalne statističke analize.

Matematička statistika se u današnje vrijeme ubrzano razvija. Tako se u proteklih 40 godina mogu izdvojiti četiri fundamentalno nova područja istraživanja:

Razvoj i implementacija matematičkih metoda za planiranje eksperimenata;

Razvoj statistike objekata nenumeričke prirode kao samostalnog smjera u primijenjenoj matematičkoj statistici;

Razvoj statističkih metoda otpornih na mala odstupanja od primijenjenog vjerovatnostnog modela;

Rasprostranjen razvoj rada na kreiranju računarskih softverskih paketa namenjenih statističkoj analizi podataka.

1.6 Probabilističko-statističke metode i optimizacija

Ideja optimizacije prožima modernu primijenjenu matematičku statistiku i druge statističke metode. Naime, metode planiranja eksperimenata, statističke kontrole prihvatljivosti, statističke regulacije tehnoloških procesa itd. rasprostranjena upotreba probabilističkih statističkih metoda, prvenstveno primijenjene matematičke statistike.

U upravljanju proizvodnjom, posebno kod optimizacije kvaliteta proizvoda i zahtjeva standarda, posebno je važna primjena statističkih metoda u početnoj fazi životnog ciklusa proizvoda, tj. u fazi istraživačke pripreme razvoja eksperimentalnog projekta (izrada perspektivnih zahtjeva proizvoda, idejni projekt, tehničke specifikacije za izradu eksperimentalnog projekta). To je zbog ograničenih informacija dostupnih u početnoj fazi životnog ciklusa proizvoda i potrebe za predviđanjem tehničkih mogućnosti i ekonomske situacije za budućnost. Statističke metode treba koristiti u svim fazama rješavanja problema optimizacije - pri skaliranju varijabli, razvoju matematičkih modela funkcionisanja proizvoda i sistema, izvođenju tehničkih i ekonomskih eksperimenata itd.

U problemima optimizacije, uključujući optimizaciju kvaliteta proizvoda i standardne zahtjeve, koriste se sva područja statistike. Naime, statistika slučajnih varijabli, multivarijantna statistička analiza, statistika slučajnih procesa i vremenskih serija, statistika objekata nenumeričke prirode. Preporučljivo je odabrati statističku metodu za analizu specifičnih podataka prema preporukama.

2. Tipični praktični problemi vjerovatnoće-statističko odlučivanjei metode za njihovo rješavanje

2.1 Statistika i primijenjena statistika

Pod primijenjenom statistikom podrazumijeva se dio matematičke statistike posvećen metodama obrade stvarnih statističkih podataka, kao i odgovarajućim matematičkim i softver. Dakle, čisto matematički problemi nisu uključeni u primijenjenu statistiku.

Pod statističkim podacima se podrazumijevaju numeričke ili nenumeričke vrijednosti kontrolisanih parametara (znakova) objekata koji se proučavaju, a koji se dobijaju kao rezultat posmatranja (merenja, analize, ispitivanja, eksperimenti, itd.) određenog broja znakove za svaku jedinicu uključenu u studiju. Metode za dobijanje statističkih podataka i veličina uzorka utvrđuju se na osnovu formulacije specifičnog primenjenog problema na osnovu metoda matematičke teorije planiranja eksperimenata.

Rezultat posmatranja xi proučavane karakteristike X (ili skupa proučavanih karakteristika X) yi-te jedinice uzorka odražava kvantitativna i/ili kvalitativna svojstva ispitivane jedinice sa brojem i (ovdje i = 1, 2, . .., n, gdje je n veličina uzorka).

Rezultati opservacija x1, x2,…, xn, gdje je xi rezultat posmatranja i-te jedinice uzorka, ili rezultati posmatranja za više uzoraka, obrađuju se metodom primijenjene statistike koja odgovara zadatku. U pravilu se koriste analitičke metode, tj. metode zasnovane na numeričkim proračunima (objekti nenumeričke prirode opisuju se brojevima). U nekim slučajevima je dozvoljena upotreba grafičkih metoda (vizuelna analiza).

2.2 Zadaci statističke analize tačnosti i stabilnosti tehnoloških procesa i kvaliteta proizvoda

Statističke metode se posebno koriste za analizu tačnosti i stabilnosti tehnoloških procesa i kvaliteta proizvoda. Cilj je priprema rješenja koja osiguravaju efikasno funkcionisanje tehnoloških jedinica i unapređuju kvalitet i konkurentnost proizvedenih proizvoda. Statističke metode treba koristiti u svim slučajevima kada je na osnovu rezultata ograničenog broja posmatranja potrebno utvrditi razloge za poboljšanje ili pogoršanje tačnosti i stabilnosti tehnološke opreme. Točnost tehnološkog procesa podrazumijeva se kao svojstvo tehnološkog procesa koje određuje blizinu stvarnih i nominalnih vrijednosti parametara proizvedenog proizvoda. Stabilnost tehnološkog procesa se shvata kao svojstvo tehnološkog procesa koje određuje konstantnost distribucije verovatnoće za njegove parametre u određenom vremenskom periodu bez spoljne intervencije.

Ciljevi primjene statističkih metoda za analizu tačnosti i stabilnosti tehnoloških procesa i kvaliteta proizvoda u fazama razvoja, proizvodnje i eksploatacije (potrošnje) proizvoda su, posebno:

* utvrđivanje stvarnih pokazatelja tačnosti i stabilnosti tehnološkog procesa, opreme ili kvaliteta proizvoda;

* utvrđivanje usklađenosti kvaliteta proizvoda sa zahtjevima regulatorne i tehničke dokumentacije;

* provjera poštivanja tehnološke discipline;

* proučavanje slučajnih i sistematskih faktora koji mogu dovesti do kvarova;

* identifikacija proizvodnih i tehnoloških rezervi;

* opravdanje tehnički standardi i odobrenja proizvoda;

* procjena rezultata ispitivanja prototipova prilikom opravdavanja zahtjeva proizvoda i standarda za njih;

* obrazloženje izbora tehnološke opreme i instrumenata za mjerenje i ispitivanje;

* poređenje različitih uzoraka proizvoda;

* opravdanost zamjene kontinuirane kontrole statističkom kontrolom;

* utvrđivanje mogućnosti uvođenja statističkih metoda za upravljanje kvalitetom proizvoda, itd.

Da bi se postigli gore navedeni ciljevi, koriste se različite metode za opisivanje podataka, evaluaciju i testiranje hipoteza. Navedimo primjere iskaza problema.

2.3 Problemi jednodimenzionalne statistike (statistika slučajnih varijabli)

Poređenje matematičkih očekivanja vrši se u slučajevima kada je potrebno utvrditi korespondenciju pokazatelja kvaliteta proizvedenog proizvoda i referentnog uzorka. Ovo je zadatak testiranja hipoteze:

H0: M(X) = m0,

gdje je m0 vrijednost koja odgovara referentnom uzorku; X je slučajna varijabla koja modelira rezultate opservacija. U zavisnosti od formulacije vjerovatnog modela situacije i alternativne hipoteze, poređenje matematičkih očekivanja vrši se parametarskim ili neparametarskim metodama.

Poređenje disperzija se vrši kada je potrebno utvrditi razliku između disperzije indikatora kvaliteta i nominalnog. Da bismo to učinili, testiramo hipotezu:

Ništa manje važni od problema testiranja hipoteza su problemi procjene parametara. Oni se, kao i problemi testiranja hipoteza, dijele na parametarske i neparametarske ovisno o vjerovatnostnom modelu situacije koja se koristi.

U problemima parametarske estimacije usvojen je probabilistički model prema kojem se rezultati posmatranja x1, x2,..., xn smatraju realizacijom n nezavisnih slučajnih varijabli sa funkcijom raspodjele F(x;u). Ovdje i je nepoznati parametar koji leži u prostoru parametara specificiranom upotrebljenim vjerojatnosnim modelom. Zadatak procjene je određivanje tačaka procjena i granica povjerenja (ili regije povjerenja) za parametar i.

Parametar i je ili broj ili vektor fiksne konačne dimenzije. Dakle, za normalnu distribuciju i = (m, y2) je dvodimenzionalni vektor, za binomnu distribuciju i = p je broj, za gama distribuciju
i = (a, b, c) je trodimenzionalni vektor, itd.

U savremenoj matematičkoj statistici razvijen je niz opštih metoda za određivanje procjena i granica pouzdanosti - metoda momenata, metoda maksimalne vjerovatnoće, metoda jednostepenih procjena, metoda stabilnih (robusnih) procjena, metoda nepristrasne procjene itd.

Pogledajmo ukratko prva tri od njih.

Metoda momenata zasniva se na korištenju izraza za momente slučajnih varijabli koje se razmatraju kroz parametre njihovih funkcija raspodjele. Procjene metode momenata dobivaju se zamjenom uzoraka momenata umjesto teorijskih u funkcije koje izražavaju parametre u terminima momenata.

U metodi maksimalne vjerovatnoće, koju je uglavnom razvio R.A. Fisher, vrijednost u* za koju je takozvana funkcija vjerovatnoće maksimalna uzima se kao procjena parametra u

f(x1, u) f(x2, u) … f(xn, u),

gdje su x1, x2,…, xn rezultati posmatranja; f(x, u) je njihova gustina raspodjele, ovisno o parametru u, koji treba procijeniti.

Procjene maksimalne vjerovatnoće imaju tendenciju da budu efikasni (ili asimptotski efikasni) i imaju manju varijansu od estimatora metoda momenata. U nekim slučajevima, formule za njih se ispisuju eksplicitno (normalna raspodjela, eksponencijalna raspodjela bez pomaka). Međutim, češće je za njihovo pronalaženje potrebno numerički riješiti sistem transcendentalnih jednačina (Weibull-Gnedenko raspodjela, gama). U takvim slučajevima, preporučljivo je koristiti ne procjene maksimalne vjerovatnoće, već druge vrste procjena, prvenstveno procjene u jednom koraku.

U problemima neparametarske estimacije usvojen je probabilistički model u kojem se rezultati posmatranja x1, x2,..., xn smatraju realizacijom n nezavisnih slučajnih varijabli sa funkcijom distribucije F(x) opšteg oblika. F(x) je potrebno samo da ispuni određene uslove kao što su kontinuitet, postojanje matematičkog očekivanja i disperzije, itd. Takvi uslovi nisu tako strogi kao uslov pripadnosti određenoj parametarskoj porodici.

U neparametrijskom okruženju, procjenjuju se ili karakteristike slučajne varijable (matematičko očekivanje, disperzija, koeficijent varijacije) ili njena funkcija distribucije, gustina, itd. Dakle, na osnovu zakona velikih brojeva, aritmetička sredina uzorka je konzistentna procjena matematičkog očekivanja M(X) (za bilo koju funkciju distribucije F(x) rezultata posmatranja za koje postoji matematičko očekivanje). Koristeći središnju graničnu teoremu, određuju se asimptotske granice povjerenja

(M(X))H = , (M(X))B = .

gdje je r vjerovatnoća povjerenja, kvantil reda standardne normalne distribucije N(0;1) sa nultim matematičkim očekivanjem i jediničnom varijansom, je aritmetička sredina uzorka, s je standardna devijacija uzorka. Termin "asimptotske granice pouzdanosti" znači da su vjerovatnoće

P((M(X))H< M(X)}, P{(M(X))B >M(X)),

P((M(X))H< M(X) < (M(X))B}

teže, odnosno r, za n > ?, ali, općenito govoreći, nisu jednake ovim vrijednostima za konačno n. U praksi, asimptotske granice pouzdanosti daju dovoljnu tačnost za n reda 10.

Drugi primjer neparametarske procjene je procjena funkcije distribucije. Prema Glivenkovoj teoremi, empirijska funkcija raspodjele Fn(x) je konzistentna procjena funkcije raspodjele F(x). Ako je F(x) kontinuirana funkcija, tada su, na osnovu Kolmogorovljeve teoreme, granice povjerenja za funkciju distribucije F(x) specificirane u obliku

(F(x))N = max, (F(x))B = min,

gdje je k(r,n) kvantil reda r distribucije Kolmogorovljeve statistike za veličinu uzorka n (podsjetimo da distribucija ove statistike ne zavisi od F(x)).

Pravila za određivanje procjena i granica povjerenja u parametarskom slučaju zasnivaju se na parametarskoj porodici distribucija F(x;u). Prilikom obrade stvarnih podataka postavlja se pitanje: da li ti podaci odgovaraju prihvaćenom probabilističkom modelu? One. statistička hipoteza da rezultati posmatranja imaju funkciju distribucije iz porodice (F(x;u) i U) za neki u = u0? Takve hipoteze se nazivaju hipotezama sporazuma, a kriterijumi za njihovo testiranje nazivaju se kriterijumi dogovora.

Ako je poznata prava vrijednost parametra u = u0, funkcija distribucije F(x; u0) je kontinuirana, tada se Kolmogorov test, baziran na statistici, često koristi za testiranje hipoteze o dobrobiti uklapanja

gdje je Fn(x) empirijska funkcija raspodjele.

Ako je prava vrijednost parametra u0 nepoznata, na primjer, kada se testira hipoteza o normalnosti distribucije rezultata posmatranja (tj. kada se testira da li ova distribucija pripada porodici normalnih distribucija), tada se ponekad koristi statistika

Razlikuje se od Kolmogorovljeve statistike Dn po tome što se umjesto prave vrijednosti parametra u0 zamjenjuje njegova procjena u*.

Distribucija Dn(u*) statistike se veoma razlikuje od distribucije Dn statistike. Kao primjer, razmotrite test normalnosti kada je u = (m, y2) i u* = (, s2). Za ovaj slučaj, kvantili distribucija statistike Dn i Dn(u*) dati su u tabeli 1. Dakle, kvantili se razlikuju otprilike 1,5 puta.

Tabela 1 – Kvantili statistike Dn i Dn(i*) prilikom provjere normalnosti

Prilikom početne obrade statističkih podataka, važan zadatak je da se isključe rezultati opservacije dobijeni kao rezultat grubih grešaka i promašaja. Na primjer, prilikom pregleda podataka o težini (u kilogramima) novorođene djece, uz brojeve 3.500, 2.750, 4.200, može se pojaviti i broj 35,00. Jasno je da je riječ o grešci, a pogrešan broj je dobiven zbog pogrešnog snimanja - decimalna točka je pomaknuta za jedan znak, kao rezultat toga, rezultat promatranja je greškom povećan za 10 puta.

Statističke metode za isključivanje outliera zasnovane su na pretpostavci da takva opažanja imaju distribucije koje se oštro razlikuju od onih koje se proučavaju i stoga ih treba isključiti iz uzorka.

Najjednostavniji probabilistički model je ovaj. Pod nultom hipotezom, rezultati promatranja se smatraju realizacijom nezavisnih identično raspoređenih slučajnih varijabli X1, X2, Xn sa funkcijom raspodjele F(x). Pod alternativnom hipotezom, X1, X2, Xn-1 su isti kao i pod nultom hipotezom, a Xn odgovara gruboj grešci i ima funkciju raspodjele G(x) = F(x - c), gdje je c veliko. Zatim s vjerovatnoćom bliskom 1 (tačnije, teži 1 kako se veličina uzorka povećava),

Xn = max (X1, X2, Xn) = Xmax,

one. Prilikom opisivanja podataka, Xmax treba uzeti u obzir kao moguću grešku. Kritična regija ima oblik

Š = (x: x > d).

Kritična vrijednost d = d(b,n) se bira u zavisnosti od nivoa značajnosti b i veličine uzorka n iz uslova

P(Xmax > d | H0) = b (1)

Uslov (1) je ekvivalentan sljedećem za veliko n i malo b:

Ako je poznata funkcija distribucije rezultata promatranja F(x), tada se kritična vrijednost d nalazi iz relacije (2). Ako je F(x) poznat do parametara, na primjer, poznato je da je F(x) normalna funkcija raspodjele, tada su također razvijena pravila za testiranje hipoteze koja se razmatra.

Međutim, često oblik funkcije distribucije rezultata opservacije nije poznat apsolutno tačno i ne sa tačnošću parametara, već samo sa određenom greškom. Tada relacija (2) postaje praktično beskorisna, jer mala greška u određivanju F(x), kao što se može pokazati, dovodi do velike greške u određivanju kritične vrijednosti d iz uslova (2), a za fiksni d nivo od značajnost kriterijuma može se značajno razlikovati od nominalnog.

Stoga, u situaciji u kojoj ne postoje potpune informacije o F(x), ali su matematičko očekivanje M(X) i varijansa y2 = D(X) rezultata posmatranja X1, X2, Xn poznati, neparametarska pravila odbijanja su poznata. o Čebiševovoj nejednakosti može se koristiti. Koristeći ovu nejednakost, nalazimo kritičnu vrijednost d = d(b,n) takvu da

tada će relacija (3) biti zadovoljena ako

Po Čebiševovoj nejednakosti

dakle, da bi (4) bila zadovoljena, dovoljno je izjednačiti desne strane formula (4) i (5), tj. odrediti d iz uslova

Pravilo odbijanja, zasnovano na kritičnoj vrijednosti d izračunatoj pomoću formule (6), koristi minimalne informacije o funkciji distribucije F(x) i stoga isključuje samo rezultate opservacije koji su veoma udaljeni od mase. Drugim riječima, vrijednost d1 date relacijom (1) je obično mnogo manja od vrijednosti d2 date relacijom (6).

2.4 Multivarijantna statistička analiza

Multivarijantna statistička analiza se koristi za rješavanje sljedećih problema:

* proučavanje zavisnosti između znakova;

* klasifikacija objekata ili karakteristika specificiranih vektorima;

* smanjenje dimenzije prostora karakteristika.

U ovom slučaju, rezultat promatranja je vektor vrijednosti fiksnog broja kvantitativnih, a ponekad i kvalitativnih karakteristika mjerenih u objektu. Kvantitativna karakteristika je karakteristika jedinice koja se može posmatrati koja se može direktno izraziti brojem i jedinicom mere. Kvantitativna karakteristika je u suprotnosti s kvalitativnom karakteristikom - karakteristikom posmatrane jedinice, koja je određena pripisivanjem jednoj od dvije ili više uvjetnih kategorija (ako postoje točno dvije kategorije, onda se karakteristika naziva alternativnom). Statistička analiza kvalitativnih karakteristika dio je statistike objekata nenumeričke prirode. Kvantitativne karakteristike se dijele na karakteristike mjerene na skalama intervala, omjera, razlika i apsolutnih.

I kvalitativnih - za karakteristike mjerene u skali imena i ordinalnoj skali. Metode obrade podataka moraju biti u skladu sa skalama u kojima se mjere dotične karakteristike.

Ciljevi proučavanja zavisnosti između karakteristika su dokazivanje postojanja veze između karakteristika i proučavanje te veze. Da bi se dokazalo postojanje veze između dvije slučajne varijable X i Y, koristi se korelaciona analiza. Ako je zajednička raspodjela X i Y normalna, tada se statistički zaključci zasnivaju na uzorku linearnog koeficijenta korelacije, u ostalim slučajevima koriste se Kendall i Spearman rang koeficijenti korelacije, a za kvalitativne karakteristike koristi se hi-kvadrat test.

Regresiona analiza se koristi za proučavanje funkcionalne zavisnosti kvantitativne osobine Y o kvantitativnim osobinama x(1), x(2), ..., x(k). Ova zavisnost se naziva regresija ili, skraćeno, regresija. Najjednostavniji probabilistički model regresione analize (u slučaju k = 1) koristi kao početnu informaciju skup parova rezultata posmatranja (xi, yi), i = 1, 2, … , n, i ima oblik

yi = axi + b + ei, i = 1, 2, … , n,

gdje su ei greške opažanja. Ponekad se pretpostavlja da su ei nezavisne slučajne varijable sa istom normalnom distribucijom N(0, y2). Budući da je distribucija grešaka posmatranja obično drugačija od normalne, preporučljivo je razmotriti regresijski model u neparametarskoj formulaciji, tj. sa proizvoljnom raspodjelom ei.

Glavni zadatak regresione analize je procjena nepoznatih parametara a i b, koji definiraju linearnu ovisnost y od x. Za rješavanje ovog problema koristi se metoda najmanjih kvadrata koju je razvio K. Gauss 1794. godine, tj. naći procjene nepoznatih parametara modela a i b iz uslova minimiziranja zbira kvadrata

po varijablama a i b.

Analiza varijanse se koristi za proučavanje uticaja kvalitativnih karakteristika na kvantitativnu varijablu. Na primjer, neka postoji k uzoraka rezultata mjerenja kvantitativnog indikatora kvaliteta jedinica proizvoda proizvedenih na k mašinama, tj. skup brojeva (x1(j), x2(j), … , xn(j)), gdje je j broj mašine, j = 1, 2, …, k, a n je veličina uzorka. U uobičajenoj formulaciji analize varijanse, pretpostavlja se da su rezultati mjerenja nezavisni i da u svakom uzorku imaju normalnu raspodjelu N(m(j), y2) sa istom varijansom.

Provjera ujednačenosti kvaliteta proizvoda, tj. odsustvo uticaja broja mašine na kvalitet proizvoda, svodi se na testiranje hipoteze

H0: m(1) = m(2) = … = m(k).

Analiza varijanse razvila je metode za testiranje takvih hipoteza.

Hipoteza H0 se testira u odnosu na alternativnu hipotezu H1, prema kojoj barem jedna od navedenih jednakosti nije zadovoljena. Test ove hipoteze zasniva se na sljedećoj "razgradnji varijanse" koju je odredio R. A. Fisher:

gdje je s2 varijansa uzorka u zbirnom uzorku, tj.

Dakle, prvi član na desnoj strani formule (7) odražava unutargrupnu disperziju. Konačno, postoji međugrupna varijansa,

Područje primijenjene statistike povezane s proširenjima varijanse poput formule (7) naziva se analiza varijanse. Kao primjer analize problema varijanse, razmotrite testiranje gornje hipoteze H0 pod pretpostavkom da su rezultati mjerenja nezavisni i da u svakom uzorku imaju normalnu raspodjelu N(m(j), y2) sa istom varijansom. Ako je H0 tačno, prvi član na desnoj strani formule (7), podijeljen sa y2, ima hi-kvadrat raspodjelu sa k(n-1) stupnjeva slobode, a drugi član, podijeljen sa y2, također ima distribuciju hi-kvadrat, ali sa (k-1) stepenima slobode, pri čemu su prvi i drugi član nezavisni kao slučajne varijable. Stoga slučajna varijabla

ima Fisherovu distribuciju sa (k-1) brojivim stupnjevima slobode i k(n-1) nazivnicima stepena slobode. Hipoteza H0 je prihvaćena ako je F< F1-б, и отвергается в противном случае, где F1-б - квантиль порядка 1-б распределения Фишера с указанными числами степеней свободы. Такой выбор критической области определяется тем, что при Н1 величина F безгранично увеличивается при росте объема выборок n. Значения F1-б берут из соответствующих таблиц.

Razvijene su neparametarske metode za rješavanje klasičnih problema analize varijanse, posebno za testiranje hipoteze H0.

Sljedeći tip problema multivarijantne statističke analize su problemi klasifikacije. One su u osnovi podijeljene na tri razne vrste- diskriminantna analiza, klaster analiza, problemi grupisanja.

Zadatak diskriminantne analize je pronaći pravilo za razvrstavanje posmatranog objekta u jednu od prethodno opisanih klasa. U ovom slučaju, objekti se opisuju u matematičkom modelu pomoću vektora, čije su koordinate rezultati promatranja određenog broja karakteristika u svakom objektu. Časovi su opisani ili direktno matematičkim terminima ili korištenjem uzoraka za obuku. Skup za obuku je uzorak za svaki element za koji je naznačeno kojoj klasi pripada.

...

Slični dokumenti

Istorija ekonometrije i primenjene statistike. Primijenjena statistika u nacionalnoj ekonomiji. Tačke rasta. Neparametrijska statistika. Statistika objekata nenumeričke prirode je dio primijenjene statistike.

sažetak, dodan 01.08.2009


Strukturne komponente deterministička komponenta. Osnovna svrha statističke analize vremenskih serija. Ekstrapolacijsko predviđanje ekonomskih procesa. Identifikacija anomalnih opažanja, kao i konstrukcija modela vremenskih serija.

kurs, dodato 11.03.2014


Statistički modeli odlučivanja. Opis modela sa poznatom distribucijom vjerovatnoće stanja okoline. Razmatranje najjednostavnija šema dinamičan proces donošenja odluka. Izvođenje proračuna vjerovatnoće modifikacije preduzeća.

test, dodano 11.07.2011


Statističke metode za analizu jednodimenzionalnih vremenskih serija, rješavanje problema analize i prognoze, crtanje grafikona indikatora koji se proučava. Kriterijumi za identifikaciju komponenti serije, testiranje hipoteze o slučajnosti serije i vrednosti standardnih grešaka.

test, dodano 13.08.2010


Uloga statističkih metoda u objektivnoj proceni kvantitativnih i kvalitativnih karakteristika procesa upravljanja. Upotreba kvalitetnih alata u analizi procesa i parametara proizvoda. Diskretne slučajne varijable. Teorija vjerovatnoće.

rad na kursu, dodan 01.11.2015


Matematička teorija optimalnog odlučivanja. Tabelarni simpleks metoda. Formulacija i rješenje problema dualnog linearnog programiranja. Matematički model transportnog problema. Analiza izvodljivosti proizvodnje u preduzeću.

test, dodano 13.06.2012


Općenito, uzorkovana populacija. Metodološke osnove probabilističke statističke analize. MathCad funkcije dizajnirane za rješavanje problema matematičke statistike. Rješavanje problema u MS Excelu pomoću formula i korištenjem menija "Analiza podataka".

kurs, dodato 20.01.2014


Obračun iznosa troškova za plan proizvodnje. Koeficijenti linearne jednadžbe uparene regresije. Karakteristike grafičke interpretacije rezultata. Razvoj ekonomskih procesa. Osobine ekonometrijskog modeliranja vremenskih serija.

test, dodano 22.02.2011


Osnovni elementi ekonometrijske analize vremenskih serija. Zadaci analize i njihova početna obrada. Rješavanje problema kratkoročnog i srednjoročnog predviđanja vrijednosti vremenskih serija. Metode za pronalaženje parametara jednadžbe trenda. Metoda najmanjeg kvadrata.

test, dodano 03.06.2009


Elementarni pojmovi o slučajnim događajima, količinama i funkcijama. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli. Vrste asimetrije distribucije. Statistička procjena distribucije slučajnih varijabli. Rješavanje problema strukturno-parametarske identifikacije.

Metode za donošenje odluka u uslovima rizika su takođe razvijene i opravdane u okviru tzv. teorije statističkih odluka. Statistička teorija odlučivanja je teorija pravljenja statističkih zapažanja, obrade ovih zapažanja i njihovog korištenja. Kao što je poznato, zadatak ekonomskog istraživanja je da shvati prirodu ekonomskog objekta i otkrije mehanizam odnosa između njegovih najvažnijih varijabli. Ovo razumijevanje nam omogućava da razvijemo i implementiramo potrebne mjere za upravljanje ovim objektom, odnosno ekonomskom politikom. Za to su nam potrebne metode adekvatne zadatku koje uzimaju u obzir prirodu i specifičnost ekonomskih podataka, koji služe kao osnova za kvalitativne i kvantitativne izjave o onome što se proučava. ekonomski objekat ili fenomen.

Bilo koji ekonomski podatak predstavlja kvantitativne karakteristike bilo kojeg ekonomskog objekta. Nastaju pod uticajem mnogih faktora, od kojih nisu svi dostupni eksternoj kontroli. Nekontrolisani faktori mogu uzeti nasumične vrijednosti iz nekog skupa vrijednosti i time uzrokovati da podaci koje definiraju budu nasumični. Stohastička priroda ekonomskih podataka iziskuje upotrebu posebnih statističkih metoda koje su im adekvatne za njihovu analizu i obradu.

Kvantitativna procjena poslovnog rizika, bez obzira na sadržaj konkretnog zadatka, po pravilu je moguća korištenjem metoda matematičke statistike. Glavni alati ovu metodu procjene - disperzija, standardna devijacija, koeficijent varijacije.

Tipični dizajni zasnovani na mjerama varijabilnosti ili vjerovatnoće uslova rizika se široko koriste u aplikacijama. Tako se finansijski rizici uzrokovani fluktuacijama rezultata oko očekivane vrijednosti, na primjer efikasnosti, procjenjuju disperzijom ili očekivanim apsolutnim odstupanjem od prosjeka. U problemima upravljanja kapitalom, uobičajena mjera stepena rizika je vjerovatnoća gubitka ili gubitka prihoda u poređenju sa predviđenom opcijom.

Da bismo procijenili veličinu rizika (stepen rizika), fokusirat ćemo se na sljedeće kriterije:

• 1) prosečna očekivana vrednost;
• 2) fluktuacija (varijabilnost) mogućeg rezultata.

Za statističko uzorkovanje

Gdje Xj - očekivana vrijednost za svaki slučaj posmatranja (/" = 1, 2,...), l, - broj slučajeva (frekvencija) vrijednost l:, x=E - prosječna očekivana vrijednost, st - varijansa,

V - koeficijent varijacije, imamo:

Razmotrimo problem procjene rizika po poslovnim ugovorima. Interprodukt doo odlučuje da sklopi ugovor za nabavku prehrambenih proizvoda iz jedne od tri osnove. Nakon prikupljanja podataka o uslovima plaćanja robe po ovim osnovama (tabela 6.7), potrebno je, nakon procene rizika, izabrati osnovicu koja plaća robu u najkraćem mogućem roku prilikom sklapanja ugovora o isporuci proizvoda. .

Tabela 6.7

	Uslovi plaćanja u danima	Broj uočenih slučajeva P	HP	(x-x)	(x-x ) 2	(x-x) 2 str

Za prvu bazu, na osnovu formula (6.4.1):

Za drugu bazu

Za treću bazu

Koeficijent varijacije za prvu bazu je najmanji, što ukazuje na preporučljivost sklapanja ugovora o nabavci proizvoda sa ovom bazom.

Razmatrani primjeri pokazuju da rizik ima matematički izraženu vjerovatnoću gubitka, koja se zasniva na statističkim podacima i može se izračunati sa dovoljnom visok stepen tačnost. Prilikom izbora najprihvatljivijeg rješenja korišteno je pravilo optimalne vjerovatnoće rezultata, koje se sastoji u tome da se među mogućim rješenjima odabere ono kod kojeg je vjerovatnoća rezultata prihvatljiva za poduzetnika.

U praksi se primjena pravila optimalne vjerovatnoće rezultata obično kombinuje sa pravilom optimalne varijabilnosti rezultata.

Kao što je poznato, varijabilnost indikatora se izražava njihovom disperzijom, standardnom devijacijom i koeficijentom varijacije. Suština pravila optimalne fluktuacije rezultata je da se od mogućih rješenja izabere ono u kojem vjerovatnoće dobitka i gubitka za isto rizično ulaganje kapitala imaju mali jaz, tj. najmanji iznos varijanse, standardna devijacija varijacije. U razmatranim problemima izbor optimalnih rješenja izvršen je korištenjem ova dva pravila.

Stranica 1
Statističke metode za donošenje odluka u uslovima rizika.

Prilikom analize ekonomskog rizika uzimaju se u obzir njegovi kvalitativni, kvantitativni i pravni aspekti. Da bi se rizik numerički izrazio, koristi se određeni matematički aparat.

Slučajnom varijablom nazivamo varijablu koja pod utjecajem slučajnih faktora može s određenim vjerovatnoćama poprimiti određene vrijednosti iz određenog skupa brojeva.

Ispod vjerovatnoća nekog događaja (na primjer, događaj da slučajna varijabla zauzme određenu vrijednost) se obično razumije kao proporcija broja ishoda povoljnih za ovaj događaj u ukupan broj mogući jednako vjerovatni ishodi. Slučajne varijable su označene slovima: X, Y, ξ, R, Ri, x ~, itd.

Za procjenu veličine rizika (stepena rizika), fokusirat ćemo se na sljedeće kriterije.

1. Matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) slučajne varijable.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable X nalazi se po formuli

gdje su xi vrijednosti slučajne varijable; pi su vjerovatnoće s kojima su te vrijednosti prihvaćene.

Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable X nalazi se po formuli

Gdje je f(x) gustina distribucije vrijednosti slučajnih varijabli.

2. Disperzija (varijacija) i standardna devijacija slučajne varijable.

Disperzija je stepen disperzije (rasipanja) vrednosti slučajne varijable oko njene prosečne vrednosti. Varijanca i standardna devijacija slučajne varijable nalaze se, respektivno, pomoću formula:

Standardna devijacija je jednaka korijenu varijanse slučajne varijable

3. Koeficijent varijacije.

Koeficijent varijacije slučajne varijable- mjera relativnog širenja slučajne varijable; pokazuje koliki je udio prosječne vrijednosti ove vrijednosti njen prosječni raspon.

Jednako omjeru standardna devijacija To matematičko očekivanje.

Koeficijent varijacije V - bezdimenzionalna količina. Uz njegovu pomoć možete čak uporediti varijabilnost karakteristika izraženih u različitim mjernim jedinicama. Koeficijent varijacije varira od 0 do 100%. Što je veći koeficijent, to je jača fluktuacija. Utvrđena je sledeća kvalitativna procena različitih vrednosti koeficijenta varijacije: do 10% - slaba varijabilnost, 10-25% - umerena varijabilnost, preko 25% - visoka varijabilnost.

Koristeći ovu metodu procjene rizika, tj. Na osnovu izračunavanja disperzije, standardne devijacije i koeficijenta varijacije moguće je procijeniti rizik ne samo određene transakcije, već i privrednog društva u cjelini (analizom dinamike njegovog prihoda) za određeni period. od vremena.

Primjer 1. Tokom konverzije, kompanija uspostavlja proizvodnju novih brendova mašine za pranje veša mala zapremina. Istovremeno, mogući su dobici kroz nedovoljno proučeno tržište prodaje tokom marketinškog istraživanja. Moguće tri opcije akcije (strategije) u pogledu potražnje za proizvodima. Gotovina će u ovom slučaju biti 700, 500 i -300 miliona rubalja, respektivno. (dodatni profit). Vjerovatnoće ovih strategija su:

P 1 =0.4; R 2 =0,5; P 3 =0,1.

Odredite očekivani iznos rizika, tj. gubici.

Rješenje. Izračunavamo iznos rizika koristeći formulu (1.2). Označimo

X 1 = 700; X G = 500; X G = -300. Onda

TO= M(X) = 700*0,4+ 500*0,5 + (-300) *0,1 =280+250-30=500

Primjer2. Postoji mogućnost izbora proizvodnje i prodaje dva seta robe široke potrošnje sa istim očekivanim prihodom (150 miliona rubalja). Prema marketinškom odjelu, koji je sproveo istraživanje tržišne niše, prihod od proizvodnje i prodaje prvog seta robe zavisi od specifične vjerovatnoće ekonomske situacije. Moguća dva jednako vjerovatna prihoda:

200 miliona UAH. Predmet uspješne prodaje prvog seta robe

100 miliona UAH kada su rezultati manje uspješni.

Prihod od prodaje drugog seta robe može biti 151 milion UAH, ali se ne može isključiti mogućnost niske potražnje za ovim proizvodima, kada će prihod biti samo 51 milion UAH.

Rezultati razmatranog izbora i njihove vjerovatnoće koje je dobio odjel marketinga sumirani su u tabeli.

Poređenje proizvodnih i prodajnih opcija

Mogućnost proizvodnje i prodaje robe	Rezultat 1		Rezultat 2
	Vjerovatnoća	Prihod 2 miliona UAH	Vjerovatnoće Rí	Prihod 2 miliona UAH
Prvo	0,5	200	0,5	100
Sekunda	0,99	151	0,01	51

Potrebno je izmjeriti veličinu rizika i donijeti odluku o puštanju jednog od dva seta robe.

Rješenje. Označimo sa X prihod od proizvodnje i prodaje prvog seta robe, a preko Y - prihod od proizvodnje i prodaje drugog seta robe.

Izračunajmo matematičko očekivanje za svaku od opcija:

M(X) =X 1 p,+X 2 R 2 = 200*0.5 + 100*0.5 = 150 (miliona UAH)

M(Y) =y 1R1 + y 2 R 2 =151*0,99 + 51*0,01 = 150 (miliona UAH..)

Imajte na umu da obje opcije imaju isti očekivani povrat jer...

M(X) = M(Y) = 150 (miliona UAH) Međutim, disperzija rezultata nije jednaka. Koristimo disperziju rezultata kao meru rizika.

Za prvi set robe, vrijednost rizika D x = (200-150) 2 *0,5(100-150) 2 *0,5= 2500, za drugi set

D at = (151 -150) 2 *0.99+ (51 -150) 2 *0.01= 99.

Budući da je iznos rizika u vezi sa proizvodnjom i prodajom robe široke potrošnje veći u prvoj opciji nego u drugoj TO X >K U , onda je druga opcija manje rizična u odnosu na prvu. Isti rezultat možemo dobiti uzimajući standardnu ​​devijaciju kao mjeru rizika K.

Primjer3 . Promenimo neke uslove prethodnog primera. Pretpostavimo da je u prvoj opciji prihod povećan za 10 milijuna UAH. za svaki od razmatranih rezultata, tj. X 1 = 210, X 2 =110. Ostali podaci su ostali nepromijenjeni.

Potrebno je izmjeriti veličinu rizika i donijeti odluku o puštanju u promet jednog od dva seta robe široke potrošnje.

Rješenje. Za prvu opciju proizvodnje i prodaje robe široke potrošnje, očekivana vrijednost prihoda je M(X) = 160, varijansa D(X) = 2500. Za drugu opciju dobijamo M(Y) = 150, tj. i D(Y) = 99.

Ovdje je teško uporediti brojke apsolutne disperzije. Stoga je preporučljivo prijeći na relativne vrijednosti, uzimajući koeficijent varijacije kao meru rizika K

U našem slučaju imamo:

R Y =CV(X)=
=50/160=0.31

R X =CV(Y)=9,9/150=0,07

Pošto je R X > R Y, onda je druga opcija manje rizična od prve.

Imajte na umu da općenito, u sličnim situacijama (kada M(Y) (X), D(Y) > D(X)) treba uzeti u obzir i sklonost (odbojnost) osobe (subjekta upravljanja) riziku. Za to je potrebno znanje iz teorije korisnosti.

Zadaci.

Zadatak 1. Imamo dva projekta A i B vezano za ulaganja. Poznate procjene vrijednosti projektovanih prihoda od svakog od ovih projekata i odgovarajuće vrijednosti vjerovatnoće.

Projekat A.

Projekat B.

Potrebno je procijeniti nivo rizika svakog od ovih projekata, birajući jedan od njih (onaj koji obezbjeđuje manji iznos rizika) za ulaganje.

Zadatak2 . Prihod (u milionima rubalja) od izvoza koji je zadruga primila od proizvodnje i izvoza vezenih peškira i košulja je slučajna varijabla X. Zakon raspodjele ove diskretne vrijednosti dat je u tabeli.

X=xi	100+20*i	400+30*i	600+20*i	900+10*i
P(X=xi)=pi	0.5	0.1	0.1	0.3

Definišite mjeru rizika kao standardnu ​​devijaciju prihoda.

Zadatak 3.

Tabela prikazuje moguće neto prihode i njihove vjerovatnoće za dvije opcije ulaganja. Odredite koja se investicija isplati na osnovu očekivane dobiti i standardne devijacije, koeficijenta varijacije.

	Neto dobit, tisuća UAH.
Vjerojatnosti:	-3-i-j	-2-i-j	-1-i-j	0+i+j	1+i+j	2+i+j	3+i+j	4+i+j
Investicija 1	0	0	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2	0
Investicija 2	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.2	0.2

Zadatak 2. Privredno društvo bavi se proizvodnjom upaljača na malo koje dobija od četiri dobavljača i to:

od prvog -40% robe, od drugog 25%, od trećeg 15%, od četvrtog 20%.Među upaljačima koji su od prvog dobavljača, neispravni čine (5+i)%, od drugi (9+i)%, treći (7+i)%, četvrti (3+i)% . Odredite količinu rizika povezanog s pronalaskom neispravnih proizvoda.

Stranica 1

Dati koncept statističkih odluka za jedan dijagnostički parametar i za donošenje odluke u prisustvu zone neizvjesnosti. Objasnite proces donošenja odluka u različitim situacijama. Kakva je veza između granica odlučivanja i vjerovatnoća grešaka prvog i drugog tipa?Razmatrane metode su statističke....

Podijelite svoj rad na društvenim mrežama

Ako vam ovaj rad ne odgovara, na dnu stranice nalazi se lista sličnih radova. Možete koristiti i dugme za pretragu

Predavanje 7

Predmet. METODE STATISTIČKIH RJEŠENJA

Target. Dati koncept statističkih odluka za jedan dijagnostički parametar i za donošenje odluke u prisustvu zone neizvjesnosti.

Obrazovni. Objasnite proces donošenja odluka u različitim situacijama.

Razvojni. Develop logičko razmišljanje i prirodno – naučni pogled na svet.

Obrazovni . Negovati interesovanje za naučna dostignuća i otkrića u industriji telekomunikacija.

Interdisciplinarne veze:

Podrška: informatika, matematika, Computer Engineering i MP, sistemi za programiranje.

pod uvjetom: Internship

Metodološka podrška i oprema:

Metodološki razvoj u razred.

Nastavni plan i program.

Program obuke

Radni program.

Safety brifing.

Tehnička nastavna sredstva: personalni računar.

Pružanje poslova:

Radne sveske

Napredak predavanja.

Organiziranje vremena.

Analiza i provjera domaćih zadataka

Odgovori na pitanja:

1. Šta vam omogućava da odredite Bayesova formula?
2. Koje su osnove Bayesove metode?Dajte formulu. Definirajte tačno značenje svih veličina uključenih u ovu formulu.
3. Šta to značiimplementacija određenog skupa karakteristika K* je određujući?
4. Objasnite princip formiranjadijagnostička matrica.
5. Šta to znači odlučujuće pravilo prihvatanja?
6. Definirati metodu sekvencijalne analize.
7. Kakav je odnos između granica odlučivanja i vjerovatnoće grešaka prvog i drugog tipa?

Pregled predavanja

Metode koje se razmatraju su statističke. U statističkim metodama odlučivanja, pravilo odlučivanja se bira na osnovu određenih uslova optimalnosti, na primjer, uvjet minimalnog rizika. Nastale u matematičkoj statistici kao metode za testiranje statističkih hipoteza (rad Neymana i Pearsona), metode koje se razmatraju našle su široku primjenu u radaru (detekcija signala na pozadini smetnji), radiotehnici, općoj teoriji komunikacija i drugim oblastima. Metode statističkog rješenja uspješno se koriste u tehničkim dijagnostičkim problemima.

STATISTIČKA RJEŠENJA ZA JEDAN DIJAGNOSTIČKI PARAMETAR

Ako je stanje sistema okarakterisano jednim parametrom, onda sistem ima jednodimenzionalni prostor karakteristika. Podjela je napravljena u dvije klase ( diferencijalna dijagnoza ili dihotomiju(bifurkacija, sekvencijalna podjela na dva dijela koji nisu međusobno povezani.) ).

Slika 1. Statističke distribucije gustine vjerovatnoće dijagnostičkog parametra x za servisni D 1 i neispravna stanja D 2

Važno je da su površine uslužne D 1 i neispravan D 2 stanja se sijeku i stoga je fundamentalno nemoguće izabrati vrijednost x 0, na kojoj nije bilo bile bi pogrešne odluke.Zadatak je odabrati x 0 bio je u nekom smislu optimalan, na primjer, dao je najmanji broj pogrešnih odluka.

Lažni alarm i promašen cilj (kvar).Ovi pojmovi koji se ranije susreli su jasno povezani sa radarskom tehnologijom, ali se lako tumače u dijagnostičkim zadacima.

Poziva se lažna uzbunaslučaj kada se donese odluka o prisustvu kvara, a u stvarnosti je sistem u dobrom stanju (umjesto D 1 se prihvata kao D 2).

Nedostaje meta (defekt)donošenje odluke o radnom stanju, dok sistem sadrži kvar (umjesto D 2 se prihvata kao D 1).

U teoriji upravljanja ove greške se nazivajurizik dobavljača i rizik kupaca. Očigledno je da ove dvije vrste grešaka mogu imati različite posljedice ili različite ciljeve.

Vjerovatnoća lažnog alarma jednaka je vjerovatnoći dva događaja: prisutnost u ispravnom stanju i vrijednost x > x 0 .

Srednji rizik. Verovatnoća donošenja pogrešne odluke sastoji se od verovatnoće lažnog alarma i propuštanja greške (matematičko očekivanje) rizika.

Naravno, cijena greške je relativna, ali mora uzeti u obzir očekivane posljedice lažnog alarma i propuštanja kvara. U problemima s pouzdanošću, trošak propuštanja kvara obično je znatno veći od cijene lažnog alarma.

Metoda minimalnog rizika. Vjerovatnoća donošenja pogrešne odluke definira se kao minimiziranje tačke ekstrema prosječnog rizika od pogrešnih odluka uz maksimalnu vjerovatnoću, tj. izračunava se minimalni rizik od nastanka događaja at dostupnost informacija o što većem broju sličnih događaja.

pirinač. 2. Ekstremne tačke prosječnog rizika od pogrešnih odluka

Rice. 3. Ekstremne tačke za dvostruke distribucije

Odnos gustoće vjerovatnoće distribucije x pod dva stanja naziva se omjer vjerovatnoće.

Podsjetimo da je dijagnoza D 1 odgovara dobrom stanju, D 2 neispravno stanje objekta; WITH 21 trošak lažne uzbune, C 12 trošak promašenog cilja (prvi indeks prihvaćeno stanje, drugi važeći); WITH 11 < 0, С 22 < 0 — цены правильных решений (условные выигрыши). В большинстве практических задач условные выигрыши (поощрения) для правильных решений не вводятся.

Često je zgodno uzeti u obzir ne omjer vjerovatnoće, već logaritam ovog omjera. Ovo ne mijenja rezultat, jer logaritamska funkcija monotono raste sa svojim argumentom. Proračun za normalne i neke druge distribucije kada se koristi logaritam omjera vjerovatnoće pokazuje se nešto jednostavnijim. Uvjet minimalnog rizika može se dobiti iz drugih razmatranja koja će se kasnije pokazati važnima.

Metoda minimalnog broja pogrešnih odluka.

Vjerovatnoća pogrešne odluke za pravilo odluke

U problemima pouzdanosti, metoda koja se razmatra često daje „nepažljive odluke“, budući da se posljedice pogrešnih odluka značajno razlikuju jedna od druge. Obično je trošak propuštanja kvara znatno veći od cijene lažnog alarma. Ako su naznačeni troškovi približno isti (za nedostatke sa ograničenim posljedicama, za neke kontrolne zadatke itd.), tada je korištenje metode potpuno opravdano.

Namijenjena je minimax metodaza situaciju u kojoj ne postoje preliminarne statističke informacije o vjerovatnoći dijagnoze D 1 i D 2 . Smatra se „najgori slučaj“, odnosno najmanje povoljne vrijednosti P 1 i P 2 , što dovodi do najveće vrijednosti (maksimuma) rizika.

Za unimodalne distribucije može se pokazati da vrijednost rizika postaje minimalna (tj. minimalna među maksimalnim vrijednostima uzrokovanim „nepovoljnijom“ vrijednošću Pi ). Imajte na umu da za P 1 = 0 i P 1 = 1 ne postoji rizik od donošenja pogrešne odluke, jer situacija nema neizvjesnost. Kod P 1 = 0 (svi proizvodi su neispravni) curenja x 0 → -oo i svi objekti su zaista prepoznati kao neispravni; kod P 1 = 1 i P 2 = 0 x 0 → +oo iu skladu sa postojećom situacijom svi objekti se klasifikuju kao uslužni.

Za srednje vrijednosti 0< Pi < 1 риск возрастает и при P 1= P 1* postaje maksimum. Metoda koja se razmatra koristi se za odabir vrijednosti x 0 na način da za najnepovoljnije vrijednosti Pi gubici povezani sa pogrešnim odlukama bili bi minimalni.

pirinač . 4. Određivanje granične vrijednosti dijagnostičkog parametra primjenom minimax metode

NeymanPearsonova metoda. Kao što je već navedeno, procjene troškova grešaka su često nepoznate i njihovo pouzdano određivanje je povezano sa velikim poteškoćama. Istovremeno, jasno je da u svemu s l u U čajevima je poželjno, na određenom (prihvatljivom) nivou jedne od grešaka, minimizirati vrijednost druge. Ovdje se centar problema pomiče na razuman izbor prihvatljivog nivoa greške sa koristeći prethodno iskustvo ili intuitivna razmatranja.

NeymanPearsonova metoda minimizira vjerovatnoću promašaja cilja na datom prihvatljivom nivou vjerovatnoće lažnog alarma.Dakle, vjerovatnoća lažnog alarma

gdje je A specificirani prihvatljivi nivo vjerovatnoće lažnog alarma; R 1 vjerovatnoća dobrog stanja.

Imajte na umu da obično Ovo stanje se odnosi na uslovna verovatnoća lažni alarm (množitelj P 1 odsutan). U tehničkim dijagnostičkim zadacima, vrijednosti P 1 i P 2 u većini slučajeva su poznati iz statističkih podataka.

Tabela 1 Primjer - Rezultati proračuna korištenjem statističkih metoda rješenja

br.	Metoda		Granična vrijednost	Verovatnoća lažne uzbune	Vjerovatnoća da nedostaje kvar	Srednji rizik
	Metoda minimalnog rizika		7,46	0,0984	0,0065	0,229
	Metoda minimalnog broja grešaka		9,79	0,0074	0,0229	0,467
	Minimax metoda	Osnovna opcija	5,71	0,3235	0,0018	0,360
				Opcija 2	7,80	0,0727	0,0081	0,234
	NeymanPearsonova metoda		7,44	0,1000	0,0064	0,230
	Metoda maksimalne vjerovatnoće		8,14	0,0524	0,0098	0,249

Iz poređenja je jasno da metoda minimalnog broja grešaka daje neprihvatljivo rješenje, jer su troškovi grešaka značajno različiti. Granična vrijednost ove metode dovodi do značajne vjerovatnoće propuštanja kvara. Minimax metoda u glavnoj verziji zahtijeva vrlo veliko razgradnju ispitivanih uređaja (otprilike 32%), budući da se zasniva na najmanje povoljnom slučaju (vjerovatnoća neispravnog stanja P 2 = 0,39). Upotreba metode može biti opravdana ako ne postoje čak ni indirektne procjene vjerovatnoće neispravnog stanja. U primjeru koji se razmatra, zadovoljavajući rezultati se dobijaju primjenom metode minimalnog rizika.

1. STATISTIČKA RJEŠENJA U PRISUSTVU ZONE NESIGURNOSTI I DRUGA GENERALIZACIJA

Pravilo odluke u prisustvu zone neizvjesnosti.

U nekim slučajevima, kada je potrebna visoka pouzdanost prepoznavanja (visoka cijena grešaka pri promašaju cilja i lažnih alarma), preporučljivo je uvesti zonu neizvjesnosti (zona odbijanja prepoznavanja). Pravilo odluke će biti sljedeće

at odbijanje priznanja.

Naravno, nepriznavanje je nepoželjan događaj. To ukazuje da dostupne informacije nisu dovoljne za donošenje odluke i da su potrebne dodatne informacije.

pirinač. 5. Statistička rješenja u prisustvu zone neizvjesnosti

Određivanje prosječnog rizika. Vrijednost prosječnog rizika u prisustvu zone odbijanja priznanja može se izraziti sljedećom jednakošću

gdje je C o trošak odbijanja priznanja.

Imajte na umu da C o > 0, inače zadatak gubi smisao („nagrada“ za neupoznavanje). Na isti način C 11 < 0, С 22 < 0, так как правильные решения не должны «штрафоваться».

Metoda minimalnog rizika u prisustvu zone neizvjesnosti. Odredimo granice područja odlučivanja na osnovu minimalnog prosječnog rizika.

Ako ne podstičete dobre odluke (C 11 = 0, C 22 = 0) i ne plaćaju za odbijanje priznanja (C 0 = 0), tada će područje neizvjesnosti zauzeti cijelo područje promjene parametara.

Prisustvo zone nesigurnosti omogućava da se osiguraju određeni nivoi greške odbijanjem prepoznavanja u „sumnjivim“ slučajevima

Statistička rješenja za više stanja.Slučajevi su razmatrani gore prilikom donošenja statističkih odluka d Razlikovati dva stanja (dihotomija). U principu, ovaj postupak omogućava razdvajanje n države, svaki put kombinujući rezultate za državu D 1 i D 2. Ovdje pod D 1 odnosi se na sve države koje ispunjavaju uslov „ne D 2 " Međutim, u nekim slučajevima je od interesa da se pitanje razmotri u direktnoj formulaciji: statistička rješenja za klasifikaciju n država.

Gore smo razmatrali slučajeve kada je stanje sistema (proizvoda) bilo okarakterisano jednim parametrom x i odgovarajućom (jednodimenzionalnom) distribucijom. Stanje sistema karakteriziraju dijagnostički parametri x 1 x 2, ..., x n ili vektor x:

x= (x 1 x 2,...,x n).

M Metoda minimalnog rizika.

Metode minimalnog rizika i njegovi posebni slučajevi (metoda minimalnog broja pogrešnih odluka, metoda maksimalne vjerovatnoće) najlakše se generalizuju na višedimenzionalne sisteme. U slučajevima kada je metoda statističko rješenje potrebno je odrediti granice područja odlučivanja, računska strana problema postaje značajno komplikovanija (NaymanPearson i minimax metode).

Zadaća: § sinopsis.

Učvršćivanje materijala:

Odgovori na pitanja:

1. Šta je lažna uzbuna?
2. Šta znači nedostatak cilja (defekt)?
3. Dajte objašnjenjerizik dobavljača i rizik kupca.
4. Navedite formulu za metodu minimalnog broja pogrešnih odluka. Definišite neopreznu odluku.
5. Za koje je slučajeve namijenjena minimax metoda?
6. NeymanPearsonova metoda. Objasnite njen princip.
7. U koje svrhe se koristi zona neizvjesnosti?

književnost:

Amrenov S. A. “Metode za praćenje i dijagnostiku komunikacionih sistema i mreža” BILJEŠKE S PREDAVANJA -: Astana, Kazahstanski državni agrotehnički univerzitet, 2005.

I.G. Baklanov Testiranje i dijagnostika komunikacionih sistema. - M.: Eko-trendovi, 2001.

Birger I. A. Tehnička dijagnostika M.: “Mašinstvo”, 1978.240, str, ilustr.

ARIPOV M.N., DZHURAEV R.KH., DZHABBAROV S.YU.“TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA DIGITALNIH SISTEMA” - Taškent, TEIS, 2005.

Platonov Yu. M., Utkin Yu. G.Dijagnostika, popravka i prevencija personalnih računara. -M.: Hotline- Telekom, 2003.-312 str.: ilustr.

M.E.Bushueva, V.V.BelyakovDijagnostika složenih tehničkih sistema Zbornik radova 1. sastanka na NATO projektu SfP-973799 Poluprovodnici . Nižnji Novgorod, 2001

Malyshenko Yu.V. TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA I dio Bilješke sa predavanja

Platonov Yu. M., Utkin Yu. G.Dijagnostika smrzavanja i kvara računara/Serija “Technomir”. Rostov na Donu: “Feniks”, 2001. 320 str.

STRANA \* SPAJANJE FORMAT 2

Ostali slični radovi koji bi vas mogli zanimati.vshm>
21092.		Ekonomske metode donošenja poslovnih odluka na primjeru Norma-2005 LLP	127,94 KB
	Upravljačke odluke: suština zahtjeva i razvojni mehanizam. Menadžer sprovodi svoje upravljačke aktivnosti kroz odluke. Ostvarenje cilja istraživanja zahtijevalo je rješavanje sljedećih problema: teorijska opravdanost ekonomskih metoda odlučivanja u sistemu poduzetništva; ispitivanje strukturiranja i internog menadžmenta na osnovu analize eksternog i internog okruženja preduzeća koje se proučava; analiza upotrebe informacija o ekonomskim rezultatima...
15259.		Metode korištene u analizi sintetičkih analoga papaverina i višekomponentnih doznih oblika na njihovoj osnovi 3.1. Kromatografske metode 3.2. Elektrohemijske metode 3.3. Fotometrijske metode Zaključak Lista l	233,66 KB
	Drotaverin hydrochloride. Drotaverin hidrohlorid je sintetički analog papaverin hidrohlorida i sa stanovišta hemijska struktura je derivat benzilizohinolina. Drotaverin hidrohlorid pripada ovoj grupi lijekovi ima antispazmodičnu aktivnost, antispazmodičko miotropno djelovanje i glavni je aktivni sastojak lijeka no-spa. Drotaverin hidrohlorid Farmakopejska monografija za drotaverin hidrohlorid predstavljena je u izdanju Farmakopeje.
2611.		PROVJERA STATISTIČKIH HIPOTEZA	128,56 KB
	Na primjer, hipoteza je jednostavna; i hipoteza: gdje je složena hipoteza jer se sastoji od beskonačnog broja jednostavnih hipoteza. Klasična metoda provjere hipoteza U skladu sa zadatkom i na osnovu podataka uzorka, hipoteza se formuliše i naziva se glavnom ili nultom. Istovremeno sa postavljenom hipotezom razmatra se i suprotna hipoteza, koja se naziva konkurentskom ili alternativnom. Pošto hipoteza o populaciji...
7827.		Testiranje statističkih hipoteza	14,29 KB
	Za testiranje hipoteze postoje dva načina prikupljanja podataka: posmatranje i eksperiment. Mislim da neće biti teško odrediti koji su podaci opservacije naučni. Treći korak: čuvanje rezultata Kao što sam već spomenuo u prvom predavanju, jedan od jezika kojima biologija govori je jezik baza podataka. Iz ovoga proizilazi kakva bi sama baza podataka trebala biti i koji zadatak ispunjava.
5969.		Statističko istraživanje i obrada statističkih podataka	766,04 KB
	Nastavni rad pokriva sljedeće teme: statističko posmatranje, statistički sažetak i grupisanje, oblici iskazivanja statističkih pokazatelja, posmatranje uzorka, statističko proučavanje odnosa društveno-ekonomskih pojava i dinamike društveno-ekonomskih pojava, ekonomski indeksi.
19036.			2.03 MB
13116.		Sistem za prikupljanje i obradu statističkih podataka “Meteorološka osmatranja”	2.04 MB
	Rad sa bazama podataka i DBMS-ovima omogućava vam da mnogo bolje organizujete rad zaposlenih. Lakoća rada i pouzdano skladištenje podataka omogućavaju vam da gotovo potpuno napustite papirno računovodstvo. Rad sa izvještajnim i statističkim informacijama značajno je ubrzan proračunom podataka.
2175.		Analiza prostora odluka	317,39 KB
	Za 9. tip UML dijagrama, dijagrame slučaja upotrebe, pogledajte U ovom kursu nećemo detaljno analizirati UML dijagrame, već ćemo se ograničiti na pregled njihovih glavnih elemenata neophodnih za opšte razumijevanje značenja onoga što je prikazano u takvim dijagramima. UML dijagrami su podijeljeni u dvije grupe: statički i dinamički dijagrami. Statički dijagrami Statički dijagrami predstavljaju ili entitete i odnose između njih koji su stalno prisutni u sistemu, ili zbirne informacije o entitetima i odnosima, ili entitete i odnose koji postoje u nekom...
1828.		Kriteriji za odlučivanje	116,95 KB
	Kriterij odlučivanja je funkcija koja izražava preferencije donosioca odluke (DM) i određuje pravilo po kojem se bira prihvatljiva ili optimalna opcija odluke.
10569.		Klasifikacija upravljačkih odluka	266,22 KB
	Klasifikacija upravljačkih odluka. Razvoj rješenja za upravljanje. Osobine upravljačkih odluka Uobičajene i upravljačke odluke. Uobičajene odluke su odluke koje ljudi donose u svakodnevnom životu.