एक नैदानिक ​​मानदंड के लिए और अनिश्चितता के क्षेत्र की उपस्थिति में निर्णय लेने के लिए सांख्यिकीय निर्णयों की अवधारणा दें। विभिन्न स्थितियों में निर्णय लेने की प्रक्रिया की व्याख्या कीजिए। निर्णय लेने की सीमाओं और पहली और दूसरी तरह की त्रुटियों की संभावनाओं के बीच क्या संबंध है। मानी जाने वाली विधियां सांख्यिकीय हैं ...

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व्याख्यान 7

विषय। सांख्यिकीय निर्णय के तरीके

लक्ष्य। एक नैदानिक ​​मानदंड के लिए और अनिश्चितता के क्षेत्र की उपस्थिति में निर्णय लेने के लिए सांख्यिकीय निर्णयों की अवधारणा दें।

शैक्षिक। विभिन्न स्थितियों में निर्णय लेने की प्रक्रिया की व्याख्या कीजिए।

विकसित होना। तार्किक सोच और प्राकृतिक-वैज्ञानिक विश्वदृष्टि विकसित करें।

शिक्षात्मक ... दूरसंचार उद्योग में वैज्ञानिक प्रगति और खोजों में रुचि को बढ़ावा देना।

अंतःविषय कनेक्शन:

सहायक: सूचना विज्ञान, गणित, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी और एमटी, प्रोग्रामिंग सिस्टम।

बशर्ते: इंटर्नशिप

पद्धति संबंधी समर्थन और उपकरण:

पाठ के लिए पद्धतिगत विकास।

शैक्षणिक योजना।

प्रशिक्षण कार्यक्रम

कार्य कार्यक्रम।

सुरक्षा ब्रीफिंग।

तकनीकी शिक्षण सहायक सामग्री: पर्सनल कंप्यूटर।

नौकरियों का प्रावधान:

कार्यपुस्तिकाएं

व्याख्यान का क्रम।

आयोजन का समय।

गृहकार्य का विश्लेषण और सत्यापन

प्रश्नों के उत्तर दें:

1. आपको क्या निर्धारित करने की अनुमति देता हैबेयस का सूत्र?
2. बायेसियन विधि की मूल बातें क्या हैं?सूत्र दीजिए। इस सूत्र में सम्मिलित सभी राशियों के सटीक अर्थ की परिभाषा दीजिए।
3. जिसका अर्थ है किसुविधाओं के कुछ जटिल कार्यान्वयनकश्मीर * is निर्धारक?
4. गठन के सिद्धांत की व्याख्या करेंनैदानिक ​​मैट्रिक्स।
5. क्या करता है स्वीकृति का निर्णायक नियम?
6. अनुक्रमिक विश्लेषण की विधि को परिभाषित कीजिए।
7. निर्णय लेने की सीमाओं और पहली और दूसरी तरह की त्रुटियों की संभावनाओं के बीच क्या संबंध है?

व्याख्यान योजना

मानी जाने वाली विधियाँ सांख्यिकीय हैं। सांख्यिकीय निर्णय विधियों में, निर्णय नियम को कुछ इष्टतमता स्थितियों के आधार पर चुना जाता है, उदाहरण के लिए, न्यूनतम जोखिम की स्थिति से। सांख्यिकीय परिकल्पनाओं (न्यूमैन और पियर्सन का काम) के परीक्षण के तरीकों के रूप में गणितीय आंकड़ों में उत्पन्न, विचाराधीन तरीकों ने रडार (हस्तक्षेप की पृष्ठभूमि के खिलाफ सिग्नल का पता लगाने), रेडियो इंजीनियरिंग, सामान्य संचार सिद्धांत और अन्य क्षेत्रों में व्यापक आवेदन पाया है। तकनीकी निदान समस्याओं में सांख्यिकीय निर्णय विधियों का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

एक नैदानिक ​​पैरामीटर के लिए सांख्यिकीय समाधान

यदि सिस्टम की स्थिति को एक पैरामीटर द्वारा चिह्नित किया जाता है, तो सिस्टम में एक-आयामी सुविधा स्थान होता है। विभाजन को दो वर्गों में विभाजित किया गया है (विभेदक निदान या द्विभाजन)(द्वैत, अनुक्रमिक विभाजन दो भागों में जो एक दूसरे से जुड़े नहीं हैं।) ).

अंजीर। 1 सेवा योग्य डी . के लिए नैदानिक ​​​​पैरामीटर x की संभाव्यता घनत्व का सांख्यिकीय वितरण 1 और दोषपूर्ण डी 2 राज्य

यह आवश्यक है कि सेवा योग्य क्षेत्रडी 1 और दोषपूर्ण डी 2 राज्य प्रतिच्छेद करते हैं और इसलिए x . का मान चुनना मौलिक रूप से असंभव है 0, जिस पर नहीं था गलत निर्णय होंगे।कार्य x . का चयन करना है 0 एक अर्थ में इष्टतम था, उदाहरण के लिए, इसने कम से कम गलत निर्णय दिए।

झूठा अलार्म और छूटा हुआ लक्ष्य (दोष)।ये पहले सामने आए शब्द स्पष्ट रूप से रडार तकनीक से जुड़े हुए हैं, लेकिन नैदानिक ​​​​कार्यों में इनकी आसानी से व्याख्या की जाती है।

झूठा अलार्म कहलाता हैमामला जब एक दोष की उपस्थिति के बारे में निर्णय लिया जाता है, लेकिन वास्तव में सिस्टम अच्छे कार्य क्रम में है (बजायडी 1 को डी 2 द्वारा स्वीकार किया जाता है)।

लापता लक्ष्य (दोष)- एक अच्छी स्थिति के बारे में निर्णय लेना, जबकि सिस्टम में एक दोष है (बजायडी 2 स्वीकार किया जाता है डी 1)।

नियंत्रण सिद्धांत में, इन त्रुटियों को कहा जाता हैआपूर्तिकर्ता और ग्राहक जोखिम... जाहिर है, इन दो प्रकार की त्रुटियों के अलग-अलग परिणाम या अलग-अलग पूर्णांक हो सकते हैं।

एक झूठे अलार्म की संभावना दो घटनाओं के उत्पाद की संभावना के बराबर है: एक स्वस्थ राज्य की उपस्थिति और मूल्य x> x 0 .

औसत जोखिम। गलत निर्णय लेने की संभावना एक झूठे अलार्म की संभावनाओं और जोखिम के एक दोष (गणितीय अपेक्षा) को याद करने का योग है।

बेशक, एक त्रुटि की लागत सशर्त है, लेकिन इसे एक झूठे अलार्म के अपेक्षित परिणामों और एक दोष के लापता होने को ध्यान में रखना चाहिए। विश्वसनीयता की समस्याओं में, एक दोष के गायब होने की लागत आमतौर पर एक झूठे अलार्म की लागत से काफी अधिक होती है।

न्यूनतम जोखिम विधि... गलत निर्णय लेने की संभावना को अधिकतम संभावना पर गलत निर्णयों के औसत जोखिम के चरम बिंदु को कम करने के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात। घटना के घटित होने के न्यूनतम जोखिम की गणनापर सबसे समान घटनाओं के बारे में जानकारी की उपलब्धता।

चावल। 2. गलत निर्णयों के औसत जोखिम के चरम बिंदु

चावल। 3. दो-कूबड़ वाले वितरण के लिए चरम बिंदु

दो राज्यों में x के वितरण की प्रायिकता घनत्व के अनुपात को प्रायिकता अनुपात कहा जाता है।

याद रखें कि निदानडी 1 एक अच्छी स्थिति से मेल खाती है,डी 2 - वस्तु की दोषपूर्ण स्थिति; साथ 21 - झूठी अलार्म कीमत, 12 - लक्ष्य गुम होने की कीमत (पहला सूचकांक स्वीकृत स्थिति है, दूसरा मान्य है); साथ 11 < 0, С 22 < 0 — цены правильных решений (условные выигрыши). В большинстве практических задач условные выигрыши (поощрения) для правильных решений не вводятся.

संभावना अनुपात नहीं, बल्कि इस अनुपात के लघुगणक पर विचार करना अक्सर सुविधाजनक होता है। यह परिणाम नहीं बदलता है, क्योंकि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन इसके तर्क के साथ एकान्त रूप से बढ़ता है। संभाव्यता अनुपात के लघुगणक का उपयोग करके सामान्य और कुछ अन्य वितरणों की गणना कुछ सरल हो जाती है। अन्य बातों से न्यूनतम जोखिम की स्थिति प्राप्त की जा सकती है जो भविष्य में महत्वपूर्ण साबित होगी।

गलत निर्णयों की न्यूनतम संख्या की विधि.

निर्णय नियम के लिए गलत निर्णय की संभावना

विश्वसनीयता की समस्याओं में, माना गया तरीका अक्सर "लापरवाह निर्णय" देता है, क्योंकि गलत निर्णयों के परिणाम एक दूसरे से काफी भिन्न होते हैं। आमतौर पर, किसी दोष के गुम होने की लागत झूठे अलार्म की लागत से काफी अधिक होती है। यदि संकेतित लागत लगभग समान हैं (सीमित परिणामों वाले दोषों के लिए, कुछ नियंत्रण कार्यों के लिए, आदि), तो विधि का आवेदन काफी उचित है।

मिनिमैक्स विधि डिज़ाइन की गई हैऐसी स्थिति के लिए जहां निदान की संभावना के बारे में कोई प्रारंभिक सांख्यिकीय जानकारी नहीं हैडी 1 और डी 2 ... "सबसे खराब स्थिति" को माना जाता है, अर्थात, P . का सबसे कम अनुकूल मान 1 और पी 2 सबसे बड़ा मूल्य (अधिकतम) जोखिम के लिए अग्रणी।

यह एकतरफा वितरण के लिए दिखाया जा सकता है कि जोखिम का परिमाण न्यूनतम हो जाता है (अर्थात, "प्रतिकूल" मूल्य के कारण अधिकतम मूल्यों के बीच न्यूनतमअनुकरणीय ) ध्यान दें कि पर 1 = 0 और पी 1 = 1 गलत निर्णय लेने का कोई जोखिम नहीं है, क्योंकि स्थिति में कोई अनिश्चितता नहीं है। पी पर 1 = 0 (सभी उत्पाद दोषपूर्ण हैं) x 0 → -oo और सभी वस्तुओं को वास्तव में दोषपूर्ण माना जाता है; पी पर 1 = 1 और पी 2 = 0 x 0 → + oo और मौजूदा स्थिति के अनुसार, सभी वस्तुओं को सेवा योग्य के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

मध्यवर्ती मूल्यों के लिए 0< अनुकरणीय < 1 риск возрастает и при पी 1 = पी 1 * अधिकतम हो जाता है। मान x . को चुनने के लिए विचार की गई विधि का उपयोग किया जाता है 0 ताकि कम से कम अनुकूल मूल्यअनुकरणीय गलत निर्णयों से जुड़े नुकसान न्यूनतम होंगे।

चावल ... 4. न्यूनतम विधि द्वारा नैदानिक ​​​​पैरामीटर के सीमा मूल्य का निर्धारण

न्यूमैन-पियर्सन विधि... जैसा कि पहले ही संकेत दिया गया है, त्रुटियों की लागत का अनुमान अक्सर अज्ञात होता है और उनका विश्वसनीय निर्धारण बड़ी कठिनाइयों से जुड़ा होता है। साथ ही, यह स्पष्ट है कि सभी मेंमैं तुम्हारे साथ दूसरे शब्दों में, यह वांछनीय है, त्रुटियों में से एक के एक निश्चित (अनुमेय) स्तर पर, दूसरे के मूल्य को कम करने के लिए। यहां समस्या के केंद्र को स्वीकार्य स्तर के उचित विकल्प पर स्थानांतरित कर दिया गया हैके साथ गलतियाँ पिछला अनुभव या अंतर्ज्ञान।

न्यूमैन-पियर्सन विधि गलत अलार्म संभावना के दिए गए स्वीकार्य स्तर के लिए लक्ष्य के गुम होने की संभावना को कम करती है।इस प्रकार, झूठे अलार्म की संभावना है

जहां ए झूठी अलार्म संभावना का निर्दिष्ट अनुमेय स्तर है; आर 1 - अच्छी स्थिति की संभावना।

ध्यान दें कि आमतौर परयह स्थिति एक झूठे अलार्म की सशर्त संभावना से संबंधित है (कारक P 1 लापता)। तकनीकी निदान के कार्यों में, P . का मान 1 और पी 2 ज्यादातर मामलों में आंकड़ों से जाना जाता है।

तालिका 1 उदाहरण - सांख्यिकीय निर्णयों के तरीकों द्वारा गणना के परिणाम

पी / पी नं।	तरीका		सीमा मूल्य	झूठी अलार्म संभावना	एक दोष छूटने की प्रायिकता	औसत जोखिम
	न्यूनतम जोखिम विधि		7,46	0,0984	0,0065	0,229
	न्यूनतम त्रुटि विधि		9,79	0,0074	0,0229	0,467
	मिनिमैक्स विधि	मूल विकल्प	5,71	0,3235	0,0018	0,360
				विकल्प 2	7,80	0,0727	0,0081	0,234
	न्यूमैन-पियर्सन विधि		7,44	0,1000	0,0064	0,230
	अधिकतम संभावना विधि		8,14	0,0524	0,0098	0,249

तुलना से पता चलता है कि त्रुटियों की न्यूनतम संख्या की विधि अस्वीकार्य समाधान देती है, क्योंकि त्रुटियों की लागत काफी भिन्न होती है। इस पद्धति के कट-ऑफ मूल्य के परिणामस्वरूप एक दोष छूटने की एक महत्वपूर्ण संभावना होती है। मूल संस्करण में मिनिमैक्स विधि के लिए जांच किए गए उपकरणों (लगभग 32%) के एक बहुत बड़े डीकमिशनिंग की आवश्यकता होती है, क्योंकि यह कम से कम अनुकूल मामले (दोषपूर्ण स्थिति पी की संभावना) से आगे बढ़ता है। 2 = 0.39)। विधि के आवेदन को उचित ठहराया जा सकता है यदि एक खराब स्थिति की संभावना का कोई अप्रत्यक्ष अनुमान भी नहीं है। इस उदाहरण में, न्यूनतम जोखिम पद्धति का उपयोग करके संतोषजनक परिणाम प्राप्त किए जाते हैं।

1. अनिश्चितता क्षेत्र और अन्य सामान्यीकरण की उपस्थिति में सांख्यिकीय समाधान

अनिश्चितता के क्षेत्र की उपस्थिति में निर्णय नियम।

कुछ मामलों में, जब उच्च मान्यता विश्वसनीयता की आवश्यकता होती है (लक्ष्य चूक त्रुटियों और झूठे अलार्म की उच्च लागत), अनिश्चितता के क्षेत्र (पहचानने से इनकार करने का क्षेत्र) शुरू करने की सलाह दी जाती है। निर्णय नियम इस प्रकार होगा

पर पहचानने से इंकार।

बेशक, पहचानने में विफलता एक अवांछनीय घटना है। यह प्रमाणित करता है कि उपलब्ध जानकारी निर्णय लेने के लिए अपर्याप्त है और अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता है।

चावल। 5. अनिश्चितता के क्षेत्र की उपस्थिति में सांख्यिकीय निर्णय

औसत जोखिम का निर्धारण... मान्यता से इनकार के क्षेत्र की उपस्थिति में औसत जोखिम का मूल्य निम्नलिखित समानता द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

जहां सी ओ - पहचानने से इनकार की कीमत।

ध्यान दें कि सी ओ > 0, अन्यथा समस्या अपना अर्थ खो देती है (पहचानने से इनकार करने के लिए "इनाम")। इसी प्रकार, सी 11 < 0, С 22 < 0, так как правильные решения не должны «штрафоваться».

अनिश्चितता के क्षेत्र की उपस्थिति में न्यूनतम जोखिम विधि... आइए न्यूनतम औसत जोखिम के आधार पर निर्णय लेने वाले क्षेत्र की सीमाओं को परिभाषित करें।

यदि आप सही निर्णयों को प्रोत्साहित नहीं करते हैं (सी 11 = 0, सी 22 = 0) और मान्यता से इनकार करने के लिए भुगतान न करें (सी 0 = 0), तो अनिश्चितता का क्षेत्र पैरामीटर की भिन्नता के पूरे क्षेत्र पर कब्जा कर लेगा।

अनिश्चितता के क्षेत्र की उपस्थिति "संदिग्ध" मामलों में मान्यता से इनकार के कारण त्रुटियों के निर्दिष्ट स्तरों को सुनिश्चित करना संभव बनाती है।

कई राज्यों के लिए सांख्यिकीय समाधान।ऊपर उन मामलों पर विचार किया गया जब सांख्यिकीय निर्णय किए गए थेडी दो राज्यों (द्विभाजन) के बीच अंतर करना। सिद्धांत रूप में, ऐसी प्रक्रिया में विभाजित करना संभव हो जाता हैएन राज्यों, हर बार राज्य के लिए परिणामों का संयोजनडी 1 और डी 2। यहां डी 1 . के तहत किसी भी राज्य को समझा जाता है कि "नहीं" की स्थिति के अनुरूप हैडी 2 ". हालांकि, कुछ मामलों में, इस मुद्दे पर प्रत्यक्ष सेटिंग में विचार करना दिलचस्प है - वर्गीकरण के लिए सांख्यिकीय समाधानएन राज्यों।

ऊपर, हमने उन मामलों पर विचार किया जब सिस्टम (उत्पाद) की स्थिति को एक पैरामीटर x और संबंधित (एक-आयामी) वितरण की विशेषता थी। सिस्टम की स्थिति नैदानिक ​​​​मापदंडों x . द्वारा विशेषता है 1 x 2, ..., x n या सदिश x:

एक्स = (एक्स 1 एक्स 2, ..., एक्स एन)।

एम न्यूनतम जोखिम की विधि।

न्यूनतम जोखिम के तरीके और इसके विशेष मामले (गलत निर्णयों की न्यूनतम संख्या की विधि, अधिकतम संभावना की विधि) बहुआयामी प्रणालियों के लिए सबसे सरल रूप से सामान्यीकृत हैं। ऐसे मामलों में जब सांख्यिकीय समाधान पद्धति को निर्णय लेने वाले क्षेत्र की सीमाओं के निर्धारण की आवश्यकता होती है, समस्या का कम्प्यूटेशनल पक्ष काफी जटिल होता है (न्यूमैन-पियर्सन और मिनिमैक्स विधियां)।

गृहकार्य: सारांश।

सामग्री की सुरक्षा:

प्रश्नों के उत्तर दें:

1. झूठा अलार्म किसे कहते हैं?
2. एक लक्ष्य (दोष) चूकने का क्या अर्थ है?
3. स्पष्टीकरण देंआपूर्तिकर्ता जोखिम और ग्राहक जोखिम।
4. त्रुटिपूर्ण निर्णयों की न्यूनतम संख्या की विधि का सूत्र दीजिए। अविवेकपूर्ण निर्णय की परिभाषा दीजिए।
5. किन मामलों के लिए मिनिमैक्स विधि का इरादा है?
6. न्यूमैन-पियर्सन विधि। इसके सिद्धांत की व्याख्या कीजिए।
7. अनिश्चितता का क्षेत्र किन उद्देश्यों के लिए लागू किया जाता है?

साहित्य:

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प्लैटोनोव यू.एम., उत्किन यू.जी.पर्सनल कंप्यूटर का निदान, मरम्मत और रोकथाम। -एम।: हॉट लाइन - टेलीकॉम, 2003.-312 एस: बीमार।

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परिचय

1. निर्णय लेने में संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी

1.1 प्रायिकता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी का उपयोग कैसे किया जाता है

1.2 संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी के अनुप्रयोग के उदाहरण

1.3 मूल्यांकन के उद्देश्य

1.4 "गणितीय सांख्यिकी" क्या है

1.5 संक्षेप में गणितीय सांख्यिकी के इतिहास के बारे में

1.6 संभाव्य-सांख्यिकीय तरीके और अनुकूलन

2. संभाव्य-सांख्यिकीय निर्णय लेने की विशिष्ट व्यावहारिक समस्याएं और उनके समाधान के तरीके

2.1 सांख्यिकी और अनुप्रयुक्त सांख्यिकी

2.2 तकनीकी प्रक्रियाओं और उत्पाद की गुणवत्ता की सटीकता और स्थिरता के सांख्यिकीय विश्लेषण के कार्य

2.3 एक-आयामी सांख्यिकी की समस्याएं (यादृच्छिक चर के आंकड़े)

2.4 बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण

2.5 स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं और समय श्रृंखला के आंकड़े

2.6 गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं के आंकड़े

3. आर्थिक समस्याओं को हल करने में निर्णय लेने की संभाव्य और सांख्यिकीय विधियों का अनुप्रयोग

निष्कर्ष

संदर्भ

परिचय

संभाव्य और सांख्यिकीय निर्णय लेने के तरीकों का उपयोग तब किया जाता है जब किए गए निर्णयों की प्रभावशीलता उन कारकों पर निर्भर करती है जो यादृच्छिक चर होते हैं जिनके लिए संभाव्यता वितरण कानून और अन्य सांख्यिकीय विशेषताओं को जाना जाता है। इसके अलावा, प्रत्येक निर्णय कई संभावित परिणामों में से एक को जन्म दे सकता है, प्रत्येक परिणाम में घटना की एक निश्चित संभावना होती है, जिसकी गणना की जा सकती है। संभाव्य विशेषताओं का उपयोग करके समस्या की स्थिति को दर्शाने वाले संकेतकों का भी वर्णन किया गया है। ऐसे निर्णय लेने वाले कार्यों के साथ, निर्णय लेने वाला हमेशा गलत परिणाम प्राप्त करने का जोखिम उठाता है, जिसके द्वारा वह निर्देशित होता है, यादृच्छिक कारकों की औसत सांख्यिकीय विशेषताओं के आधार पर इष्टतम समाधान का चयन करता है, अर्थात निर्णय जोखिम के तहत किया जाता है शर्तेँ।

व्यवहार में, संभाव्य और सांख्यिकीय विधियों का उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब डेटा के नमूने से निकाले गए निष्कर्ष पूरी आबादी को स्थानांतरित कर दिए जाते हैं (उदाहरण के लिए, एक नमूने से उत्पादों के पूरे बैच में)। हालांकि, प्रत्येक विशिष्ट स्थिति में, पहले पर्याप्त रूप से विश्वसनीय संभाव्य और सांख्यिकीय डेटा प्राप्त करने की मौलिक संभावना का आकलन करना चाहिए।

निर्णय लेते समय संभाव्यता और गणितीय आंकड़ों के सिद्धांत के विचारों और परिणामों का उपयोग करते समय, आधार एक गणितीय मॉडल होता है, जिसमें संभाव्यता के सिद्धांत के संदर्भ में उद्देश्य संबंध व्यक्त किए जाते हैं। संभावनाओं का उपयोग मुख्य रूप से यादृच्छिकता का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिसे निर्णय लेते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए। यह अवांछित अवसरों (जोखिमों) और आकर्षक अवसरों ("भाग्यशाली अवसर") दोनों को संदर्भित करता है।

संभाव्य-सांख्यिकीय निर्णय लेने के तरीकों का सार नमूना विशेषताओं का उपयोग करके अनुमानों के आकलन और परीक्षण के आधार पर संभाव्य मॉडल का उपयोग करना है।

सैद्धांतिक मॉडल के आधार पर निर्णय लेने के लिए नमूना विशेषताओं का उपयोग करने का तर्क दो समानांतर श्रृंखलाओं के एक साथ उपयोग को मानता है - सिद्धांत से संबंधित (संभाव्य मॉडल) और अभ्यास से संबंधित (अवलोकन परिणामों का नमूना)। उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक संभावना नमूने से मिली आवृत्ति से मेल खाती है। गणितीय अपेक्षा (सैद्धांतिक श्रृंखला) नमूना अंकगणितीय माध्य (व्यावहारिक श्रृंखला) से मेल खाती है। आमतौर पर, नमूना विशेषताएँ सैद्धांतिक विशेषताओं का अनुमान होती हैं।

इन विधियों का उपयोग करने के लाभों में घटनाओं के विकास और उनकी संभावनाओं के लिए विभिन्न परिदृश्यों को ध्यान में रखने की क्षमता शामिल है। इन विधियों का नुकसान यह है कि गणना में प्रयुक्त परिदृश्यों की संभावनाओं के मूल्यों को आमतौर पर व्यवहार में प्राप्त करना बहुत मुश्किल होता है।

एक विशिष्ट संभाव्य-सांख्यिकीय निर्णय लेने की विधि के आवेदन में तीन चरण होते हैं:

आर्थिक, प्रबंधकीय, तकनीकी वास्तविकता से एक अमूर्त गणितीय और सांख्यिकीय योजना में संक्रमण, अर्थात। एक नियंत्रण प्रणाली, तकनीकी प्रक्रिया, निर्णय लेने की प्रक्रियाओं के संभाव्य मॉडल का निर्माण, विशेष रूप से, सांख्यिकीय नियंत्रण के परिणामों के आधार पर, आदि;

एक वास्तविक घटना के एक संभाव्य मॉडल का निर्माण माना जाना चाहिए यदि विचाराधीन मात्रा और उनके बीच संबंधों को संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। संभाव्य मॉडल की पर्याप्तता की पुष्टि की जाती है, विशेष रूप से, परिकल्पनाओं के परीक्षण के लिए सांख्यिकीय विधियों की सहायता से।

हल की जा रही समस्याओं के प्रकार के अनुसार गणितीय सांख्यिकी को आमतौर पर तीन खंडों में विभाजित किया जाता है: डेटा विवरण, अनुमान और परिकल्पना परीक्षण। संसाधित सांख्यिकीय डेटा के प्रकार से, गणितीय आँकड़ों को चार क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है:

एक उदाहरण जब संभाव्य-सांख्यिकीय मॉडल का उपयोग करने की सलाह दी जाती है।

किसी उत्पाद की गुणवत्ता को नियंत्रित करते समय, यह तय करने के लिए एक नमूना लिया जाता है कि उत्पादों का उत्पादित बैच स्थापित आवश्यकताओं को पूरा करता है या नहीं। नमूने के परिणामों के आधार पर, पूरे बैच के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है। इस मामले में, नमूने के चयन में व्यक्तिपरकता से बचना बहुत महत्वपूर्ण है, अर्थात यह आवश्यक है कि नियंत्रित लॉट में उत्पादन की प्रत्येक इकाई के नमूने में चुने जाने की समान संभावना हो। ऐसी स्थिति में बहुत से चुनाव करना पर्याप्त उद्देश्य नहीं है। इसलिए, उत्पादन स्थितियों में, नमूने में उत्पादन की इकाइयों का चयन आमतौर पर बहुत से नहीं, बल्कि यादृच्छिक संख्याओं की विशेष तालिकाओं द्वारा या कंप्यूटर यादृच्छिक संख्या सेंसर की सहायता से किया जाता है।

गणितीय आँकड़ों के तरीकों के आधार पर तकनीकी प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय विनियमन के साथ, प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय नियंत्रण के लिए नियम और योजनाएँ विकसित की जाती हैं, जिसका उद्देश्य तकनीकी प्रक्रियाओं में व्यवधानों का समय पर पता लगाना और उन्हें समायोजित करने और उत्पादों की रिहाई को रोकने के उपाय करना है। स्थापित आवश्यकताओं को पूरा नहीं करते हैं। इन उपायों का उद्देश्य उत्पादन लागत को कम करना और घटिया उत्पादों की आपूर्ति से होने वाले नुकसान को कम करना है। सांख्यिकीय स्वीकृति नियंत्रण में, गणितीय आँकड़ों के तरीकों के आधार पर, उत्पादों के बैचों से नमूनों का विश्लेषण करके गुणवत्ता नियंत्रण योजनाएँ विकसित की जाती हैं। कठिनाई संभाव्य और सांख्यिकीय निर्णय लेने वाले मॉडल को सही ढंग से बनाने में सक्षम होने में है, जिसके आधार पर उपरोक्त प्रश्नों का उत्तर देना संभव है। गणितीय आँकड़ों में, इसके लिए संभाव्य मॉडल और परिकल्पना के परीक्षण के तरीके विकसित किए गए हैं।

इसके अलावा, कई प्रबंधकीय, उत्पादन, आर्थिक और राष्ट्रीय आर्थिक स्थितियों में, एक अलग प्रकार की समस्याएं उत्पन्न होती हैं - संभाव्यता वितरण की विशेषताओं और मापदंडों का आकलन करने की समस्या।

या, तकनीकी प्रक्रियाओं की सटीकता और स्थिरता के सांख्यिकीय विश्लेषण में, इस तरह के गुणवत्ता संकेतकों का मूल्यांकन नियंत्रित पैरामीटर के औसत मूल्य और विचाराधीन प्रक्रिया में इसके फैलाव की डिग्री के रूप में करना आवश्यक है। संभाव्यता के सिद्धांत के अनुसार, यह सलाह दी जाती है कि इसकी गणितीय अपेक्षा को यादृच्छिक चर के माध्य मान के रूप में, और विचरण, मानक विचलन, या भिन्नता के गुणांक को प्रसार की सांख्यिकीय विशेषता के रूप में उपयोग किया जाए। यह सवाल उठाता है: नमूना डेटा से इन सांख्यिकीय विशेषताओं का मूल्यांकन कैसे करें और यह किस सटीकता के साथ किया जा सकता है? साहित्य में ऐसे कई उदाहरण हैं। वे सभी दिखाते हैं कि सांख्यिकीय उत्पाद गुणवत्ता प्रबंधन के क्षेत्र में निर्णय लेने में उत्पादन प्रबंधन में संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

आवेदन के विशिष्ट क्षेत्रों में, व्यापक उपयोग के संभाव्य-सांख्यिकीय तरीकों और विशिष्ट दोनों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पाद गुणवत्ता प्रबंधन के सांख्यिकीय तरीकों के लिए समर्पित उत्पादन प्रबंधन के अनुभाग में, लागू गणितीय आंकड़े (प्रयोगों की योजना सहित) का उपयोग किया जाता है। इसके तरीकों का उपयोग करते हुए, तकनीकी प्रक्रियाओं की सटीकता और स्थिरता का सांख्यिकीय विश्लेषण और गुणवत्ता का सांख्यिकीय मूल्यांकन किया जाता है। विशिष्ट तरीकों में उत्पाद की गुणवत्ता के सांख्यिकीय स्वीकृति नियंत्रण, तकनीकी प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय विनियमन, मूल्यांकन और विश्वसनीयता के नियंत्रण के तरीके शामिल हैं।
और आदि।

उत्पादन प्रबंधन में, विशेष रूप से, उत्पाद की गुणवत्ता का अनुकूलन करते समय और मानक आवश्यकताओं के अनुपालन को सुनिश्चित करते समय, उत्पाद जीवन चक्र के प्रारंभिक चरण में सांख्यिकीय विधियों को लागू करना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, अर्थात। प्रयोगात्मक डिजाइन विकास (उत्पादों के लिए आशाजनक आवश्यकताओं का विकास, प्रारंभिक डिजाइन, प्रयोगात्मक डिजाइन विकास के लिए तकनीकी विशिष्टताओं का विकास) के अनुसंधान की तैयारी के चरण में। यह उत्पाद जीवन चक्र के प्रारंभिक चरण में उपलब्ध सीमित जानकारी और भविष्य के लिए तकनीकी क्षमताओं और आर्थिक स्थिति की भविष्यवाणी करने की आवश्यकता के कारण है।

सबसे आम संभाव्य सांख्यिकीय विधियाँ प्रतिगमन विश्लेषण, कारक विश्लेषण, विचरण का विश्लेषण, सांख्यिकीय जोखिम मूल्यांकन विधियाँ, परिदृश्य विधि आदि हैं। गैर-संख्यात्मक प्रकृति के सांख्यिकीय आंकड़ों के विश्लेषण के लिए समर्पित सांख्यिकीय विधियों का क्षेत्र तेजी से महत्वपूर्ण होता जा रहा है। गुणात्मक और विविध विशेषताओं के लिए माप परिणाम। गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं के आंकड़ों के मुख्य अनुप्रयोगों में से एक सांख्यिकीय निर्णयों और मतदान समस्याओं के सिद्धांत से संबंधित विशेषज्ञ निर्णयों का सिद्धांत और व्यवहार है।

सांख्यिकीय निर्णयों के सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके समस्याओं को हल करने में एक व्यक्ति की भूमिका समस्या को तैयार करना है, अर्थात वास्तविक समस्या को संबंधित मानक एक तक कम करना, सांख्यिकीय आंकड़ों के आधार पर घटनाओं की संभावनाओं को निर्धारित करना, और यह भी प्राप्त इष्टतम समाधान को मंजूरी देने के लिए।

1. निर्णय लेने में संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी

1.1 प्रायिकता सिद्धांत का उपयोग कैसे किया जाता हैऔर गणितीय सांख्यिकी

ये विषय संभाव्य और सांख्यिकीय निर्णय लेने के तरीकों का आधार हैं। उनके गणितीय तंत्र का उपयोग करने के लिए, निर्णय लेने की समस्याओं को संभाव्य-सांख्यिकीय मॉडल के रूप में व्यक्त करना आवश्यक है। एक विशिष्ट संभाव्य-सांख्यिकीय निर्णय लेने की विधि के आवेदन में तीन चरण होते हैं:

आर्थिक, प्रबंधकीय, तकनीकी वास्तविकता से एक अमूर्त गणितीय और सांख्यिकीय योजना में संक्रमण, अर्थात। एक नियंत्रण प्रणाली के एक संभाव्य मॉडल का निर्माण, तकनीकी प्रक्रिया, निर्णय लेने की प्रक्रिया, विशेष रूप से, सांख्यिकीय नियंत्रण के परिणामों के आधार पर, आदि।

एक संभाव्य मॉडल के ढांचे के भीतर विशुद्ध रूप से गणितीय साधनों द्वारा गणना करना और निष्कर्ष प्राप्त करना;

वास्तविक स्थिति के संबंध में गणितीय और सांख्यिकीय निष्कर्षों की व्याख्या और एक उपयुक्त निर्णय लेना (उदाहरण के लिए, स्थापित आवश्यकताओं के साथ उत्पाद की गुणवत्ता की अनुरूपता या गैर-अनुरूपता पर, तकनीकी प्रक्रिया को समायोजित करने की आवश्यकता, आदि), विशेष रूप से, निष्कर्ष (एक बैच में दोषपूर्ण उत्पाद इकाइयों के अनुपात पर, तकनीकी प्रक्रिया के नियंत्रित मापदंडों के वितरण कानूनों के विशिष्ट रूप पर, आदि)।

गणितीय सांख्यिकी संभाव्यता के सिद्धांत की अवधारणाओं, विधियों और परिणामों का उपयोग करती है। आइए आर्थिक, प्रबंधकीय, तकनीकी और अन्य स्थितियों में संभाव्य निर्णय लेने वाले मॉडल के निर्माण के मुख्य मुद्दों पर विचार करें। निर्णय लेने के संभाव्य-सांख्यिकीय तरीकों पर नियामक-तकनीकी और शिक्षाप्रद-पद्धति संबंधी दस्तावेजों के सक्रिय और सही उपयोग के लिए, प्रारंभिक ज्ञान की आवश्यकता होती है। इसलिए, आपको यह जानने की जरूरत है कि किसी विशेष दस्तावेज़ को किन परिस्थितियों में लागू किया जाना चाहिए, इसके चयन और आवेदन के लिए कौन सी प्रारंभिक जानकारी आवश्यक है, डेटा प्रोसेसिंग के परिणामों के आधार पर क्या निर्णय लिए जाने चाहिए, आदि।

1.2 संभाव्यता सिद्धांत के अनुप्रयोग के उदाहरणऔर गणितीय सांख्यिकी

आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें जब संभाव्य-सांख्यिकीय मॉडल प्रबंधकीय, उत्पादन, आर्थिक और राष्ट्रीय आर्थिक समस्याओं को हल करने के लिए एक अच्छा उपकरण हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एएन टॉल्स्टॉय के उपन्यास में, "वॉकिंग थ्रू द एगोनी" (वॉल्यूम 1), यह कहता है: "कार्यशाला शादी का तेईस प्रतिशत देती है, और आप इस आंकड़े पर टिके रहते हैं," स्ट्रूकोव ने कहा इवान इलिच।"

सवाल उठता है कि फैक्ट्री प्रबंधकों की बातचीत में इन शब्दों को कैसे समझा जाए, क्योंकि उत्पादन की एक इकाई 23% दोषपूर्ण नहीं हो सकती है। यह या तो अच्छा या दोषपूर्ण हो सकता है। शायद, स्ट्रुकोव का मतलब था कि एक बड़े बैच में लगभग 23% दोषपूर्ण आइटम होते हैं। फिर प्रश्न उठता है कि "लगभग" का क्या अर्थ है? उत्पादन की 100 परीक्षित इकाइयों में से 30 खराब होने दें, या 1,000-300 में से, या 100,000-30,000, आदि में से, क्या स्ट्रुकोव पर झूठ बोलने का आरोप लगाया जाना चाहिए?

या एक और उदाहरण। अधिक मात्रा में उपयोग किया जाने वाला सिक्का "सममित" होना चाहिए, अर्थात। इसे फेंकते समय, औसतन, आधे मामलों में, हथियारों का कोट बाहर गिरना चाहिए, और आधे मामलों में - जाली (पूंछ, संख्या)। लेकिन "औसत" का क्या अर्थ है? यदि आप प्रत्येक श्रृंखला में 10 बार उछालने की कई श्रृंखलाएँ करते हैं, तो आप अक्सर ऐसी श्रृंखला का सामना करेंगे जिसमें प्रतीक के साथ सिक्का 4 बार गिरता है। एक सममित सिक्के के लिए, यह श्रृंखला के 20.5% में होगा। और अगर प्रति 100,000 उछाल पर हथियारों के 40,000 कोट हैं, तो क्या सिक्के को सममित माना जा सकता है? निर्णय लेने की प्रक्रिया संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी के सिद्धांत पर आधारित है।

विचाराधीन उदाहरण शायद पर्याप्त गंभीर न लगे। हालाँकि, ऐसा नहीं है। औद्योगिक तकनीकी और आर्थिक प्रयोगों के संगठन में बहुत से ड्राइंग का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, विभिन्न तकनीकी कारकों (संरक्षण पर्यावरण के प्रभाव, के तरीकों के आधार पर बीयरिंगों के गुणवत्ता संकेतक (घर्षण क्षण) को मापने के परिणामों को संसाधित करते समय) माप से पहले बीयरिंग तैयार करना, माप के दौरान असर भार का प्रभाव, आदि)। पी।)। मान लीजिए कि विभिन्न संरक्षण तेलों में उनके भंडारण के परिणामों के आधार पर बीयरिंग की गुणवत्ता की तुलना करना आवश्यक है, अर्थात। रचना ए और बी के तेलों में। इस तरह के प्रयोग की योजना बनाते समय, यह सवाल उठता है कि रचना ए के तेल में कौन से बीयरिंग रखे जाने चाहिए, और कौन से - रचना बी के तेल में, लेकिन इस तरह से व्यक्तिपरकता से बचने और सुनिश्चित करने के लिए निर्णय की वस्तुनिष्ठता।

इस प्रश्न का उत्तर बहुत से चित्र बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। इसी तरह का उदाहरण किसी भी उत्पाद के गुणवत्ता नियंत्रण के साथ दिया जा सकता है। यह तय करने के लिए कि उत्पादों का एक नियंत्रित बैच स्थापित आवश्यकताओं को पूरा करता है या नहीं, इसका एक नमूना लिया जाता है। नमूने के परिणामों के आधार पर, पूरे बैच के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है। इस मामले में, नमूने के चयन में व्यक्तिपरकता से बचना बहुत महत्वपूर्ण है, अर्थात यह आवश्यक है कि नियंत्रित लॉट में उत्पादन की प्रत्येक इकाई के नमूने में चुने जाने की समान संभावना हो। उत्पादन स्थितियों में, नमूने में उत्पादन की इकाइयों का चयन आमतौर पर बहुत से नहीं, बल्कि यादृच्छिक संख्याओं की विशेष तालिकाओं द्वारा या कंप्यूटर यादृच्छिक संख्या सेंसर की सहायता से किया जाता है।

उत्पादन, पारिश्रमिक, निविदाएं और प्रतियोगिता आयोजित करते समय, रिक्त पदों के लिए उम्मीदवारों का चयन आदि के लिए विभिन्न योजनाओं की तुलना करते समय तुलना की निष्पक्षता सुनिश्चित करने की समान समस्याएं उत्पन्न होती हैं। ड्रॉ या इसी तरह की प्रक्रियाओं की हर जगह जरूरत होती है। आइए ओलंपिक प्रणाली के अनुसार टूर्नामेंट आयोजित करते समय सबसे मजबूत और दूसरी सबसे मजबूत टीम की पहचान करने के उदाहरण का उपयोग करके समझाएं (हारने वाले को हटा दिया जाता है)। मजबूत टीम को हमेशा कमजोर को जीतने दें। साफ है कि सबसे मजबूत टीम ही चैंपियन बनेगी। दूसरी सबसे मजबूत टीम फाइनल में तभी पहुंच पाएगी जब फाइनल से पहले भविष्य के चैंपियन के साथ उसका कोई खेल न हो। अगर इस तरह के खेल की योजना बनाई जाती है, तो दूसरी सबसे मजबूत टीम फाइनल में नहीं पहुंच पाएगी। टूर्नामेंट की योजना बनाने वाला कोई भी व्यक्ति या तो टूर्नामेंट से दूसरी सबसे मजबूत टीम को समय से पहले "नॉक आउट" कर सकता है, उसे नेता के साथ पहली बैठक में एक साथ ला सकता है, या इसे दूसरा स्थान प्रदान कर सकता है, फाइनल तक कमजोर टीमों के साथ बैठकें सुनिश्चित कर सकता है। . व्यक्तिपरकता से बचने के लिए, बहुत से चित्र बनाएं। 8-टीम टूर्नामेंट के लिए, फाइनल में दो सबसे मजबूत टीमों के मिलने की संभावना 4/7 है। तदनुसार, 3/7 की संभावना के साथ, दूसरी सबसे मजबूत टीम टूर्नामेंट को समय से पहले छोड़ देगी।

उत्पाद इकाइयों के किसी भी माप (कैलिपर, माइक्रोमीटर, एमीटर, आदि का उपयोग करके) में त्रुटियां हैं। यह पता लगाने के लिए कि क्या व्यवस्थित त्रुटियां हैं, उत्पादन की एक इकाई के कई माप करना आवश्यक है, जिसकी विशेषताओं को जाना जाता है (उदाहरण के लिए, एक मानक नमूना)। यह याद रखना चाहिए कि व्यवस्थित त्रुटि के अलावा, एक यादृच्छिक त्रुटि भी होती है।

इसलिए, यह सवाल उठता है कि माप परिणामों से कैसे पता लगाया जाए कि कोई व्यवस्थित त्रुटि है या नहीं। यदि हम केवल यह नोट करें कि अगले माप के दौरान प्राप्त त्रुटि सकारात्मक है या नकारात्मक, तो इस समस्या को पिछले एक तक कम किया जा सकता है। दरअसल, आइए हम माप की तुलना एक सिक्के को उछालने से करें, सकारात्मक त्रुटि - हथियारों के कोट के गिरने के साथ, नकारात्मक - झंझरी (व्यावहारिक रूप से पर्याप्त संख्या में स्केल डिवीजनों के साथ शून्य त्रुटि कभी नहीं होती है)। फिर एक व्यवस्थित त्रुटि की अनुपस्थिति की जाँच करना सिक्के की समरूपता की जाँच करने के बराबर है।

इस तर्क का उद्देश्य एक व्यवस्थित त्रुटि की अनुपस्थिति की जाँच करने की समस्या को एक सिक्के की समरूपता की जाँच करने की समस्या को कम करना है। उपरोक्त तर्क गणितीय आँकड़ों में तथाकथित "संकेत मानदंड" की ओर जाता है।

गणितीय आँकड़ों के तरीकों के आधार पर तकनीकी प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय विनियमन के साथ, प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय नियंत्रण के लिए नियम और योजनाएँ विकसित की जाती हैं, जिसका उद्देश्य तकनीकी प्रक्रियाओं में व्यवधानों का समय पर पता लगाना और उन्हें समायोजित करने और उत्पादों की रिहाई को रोकने के उपाय करना है। स्थापित आवश्यकताओं को पूरा नहीं करते हैं। इन उपायों का उद्देश्य उत्पादन लागत को कम करना और घटिया उत्पादों की आपूर्ति से होने वाले नुकसान को कम करना है। सांख्यिकीय स्वीकृति नियंत्रण में, गणितीय आँकड़ों के तरीकों के आधार पर, उत्पादों के बैचों से नमूनों का विश्लेषण करके गुणवत्ता नियंत्रण योजनाएँ विकसित की जाती हैं। कठिनाई संभाव्य और सांख्यिकीय निर्णय लेने वाले मॉडल को सही ढंग से बनाने में सक्षम होने में है, जिसके आधार पर उपरोक्त प्रश्नों का उत्तर देना संभव है। गणितीय आंकड़ों में, इसके लिए संभाव्य मॉडल और परीक्षण परिकल्पना के तरीके विकसित किए गए हैं, विशेष रूप से, परिकल्पना है कि उत्पादन की दोषपूर्ण इकाइयों का अनुपात एक निश्चित संख्या p0 के बराबर है, उदाहरण के लिए, p0 = 0.23 (स्ट्रुकोव के शब्दों को याद रखें) टॉल्स्टॉय का उपन्यास)।

1.3 मूल्यांकन के उद्देश्य

कई प्रबंधकीय, औद्योगिक, आर्थिक और राष्ट्रीय आर्थिक स्थितियों में, एक अलग प्रकार की समस्याएं उत्पन्न होती हैं - संभाव्यता वितरण की विशेषताओं और मापदंडों का आकलन करने की समस्या।

आइए एक उदाहरण देखें। मान लीजिए कि निरीक्षण के लिए एन लाइट बल्ब का एक बैच प्राप्त हुआ था। इस बैच से n प्रकाश बल्बों का एक नमूना यादृच्छिक रूप से चुना गया था। कई स्वाभाविक प्रश्न उठते हैं। कैसे, नमूने के तत्वों के परीक्षण के परिणामों के आधार पर, बिजली के लैंप की औसत सेवा जीवन का निर्धारण करने के लिए और किस सटीकता के साथ इस विशेषता का अनुमान लगाया जा सकता है? यदि आप एक बड़ा नमूना लेते हैं तो सटीकता कैसे बदलती है? कितने घंटे T की गारंटी दी जा सकती है कि कम से कम 90% बिजली के लैंप T और अधिक घंटे तक चलेंगे?

मान लीजिए कि n लैंप की मात्रा के साथ एक नमूने का परीक्षण करते समय, X लैंप दोषपूर्ण निकला। फिर निम्नलिखित प्रश्न उठते हैं। एक बैच में दोषपूर्ण लैंप की संख्या डी के लिए, दोषपूर्ण डी / एन, आदि के स्तर के लिए क्या सीमाएं निर्दिष्ट की जा सकती हैं?

या, तकनीकी प्रक्रियाओं की सटीकता और स्थिरता के सांख्यिकीय विश्लेषण में, इस तरह के गुणवत्ता संकेतकों का मूल्यांकन नियंत्रित पैरामीटर के औसत मूल्य और विचाराधीन प्रक्रिया में इसके फैलाव की डिग्री के रूप में करना आवश्यक है। संभाव्यता के सिद्धांत के अनुसार, यह सलाह दी जाती है कि इसकी गणितीय अपेक्षा को यादृच्छिक चर के माध्य मान के रूप में, और भिन्नता, मानक विचलन, या भिन्नता के गुणांक को प्रसार की सांख्यिकीय विशेषता के रूप में उपयोग किया जाए। यह सवाल उठाता है: नमूना डेटा से इन सांख्यिकीय विशेषताओं का मूल्यांकन कैसे करें और यह किस सटीकता के साथ किया जा सकता है? इसी तरह के कई उदाहरण हैं। यहां यह दिखाना महत्वपूर्ण था कि उत्पाद की गुणवत्ता के सांख्यिकीय प्रबंधन के क्षेत्र में निर्णय लेते समय उत्पादन प्रबंधन में संभाव्यता और गणितीय आंकड़ों के सिद्धांत का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

1.4 "गणितीय सांख्यिकी" क्या है

गणितीय आँकड़ों को "गणित के एक खंड के रूप में समझा जाता है जो सांख्यिकीय डेटा एकत्र करने, व्यवस्थित करने, प्रसंस्करण और व्याख्या करने के गणितीय तरीकों के साथ-साथ वैज्ञानिक या व्यावहारिक निष्कर्षों के लिए उनके उपयोग के लिए समर्पित है। गणितीय आँकड़ों के नियम और प्रक्रियाएँ संभाव्यता के सिद्धांत पर आधारित हैं, जिससे उपलब्ध सांख्यिकीय सामग्री के आधार पर प्रत्येक समस्या में प्राप्त निष्कर्षों की सटीकता और विश्वसनीयता का आकलन करना संभव हो जाता है। ” इस मामले में, सांख्यिकीय डेटा को कुछ अधिक या कम व्यापक सेट में वस्तुओं की संख्या के बारे में जानकारी कहा जाता है जिनमें कुछ विशेषताएं होती हैं।

हल की जा रही समस्याओं के प्रकार के अनुसार, गणितीय आँकड़ों को आमतौर पर तीन खंडों में विभाजित किया जाता है: डेटा विवरण, अनुमान और परिकल्पना परीक्षण।

संसाधित सांख्यिकीय डेटा के प्रकार से, गणितीय आँकड़ों को चार क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है:

एक-आयामी आंकड़े (यादृच्छिक चर के आंकड़े), जिसमें अवलोकन परिणाम वास्तविक संख्या द्वारा वर्णित किया जाता है;

बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण, जहां किसी वस्तु के अवलोकन के परिणाम को कई संख्याओं (वेक्टर) द्वारा वर्णित किया जाता है;

यादृच्छिक प्रक्रियाओं और समय श्रृंखला के आंकड़े, जहां अवलोकन परिणाम एक कार्य है;

एक गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं के आंकड़े, जिसमें अवलोकन परिणाम एक गैर-संख्यात्मक प्रकृति का है, उदाहरण के लिए, यह एक सेट (ज्यामितीय आकृति), एक क्रम है, या गुणात्मक विशेषता द्वारा माप के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जाता है .

ऐतिहासिक रूप से, पहली बार दिखाई देने वाले गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं के आंकड़ों के कुछ क्षेत्र थे (विशेष रूप से, विवाह के अनुपात का अनुमान लगाने और इसके बारे में परिकल्पनाओं का परीक्षण करने की समस्या) और एक-आयामी आंकड़े। गणितीय उपकरण उनके लिए सरल है, इसलिए, उनके उदाहरण से, गणितीय आँकड़ों के मूल विचारों को आमतौर पर प्रदर्शित किया जाता है।

केवल वे डेटा प्रोसेसिंग विधियाँ, अर्थात्। गणितीय सांख्यिकी प्रासंगिक वास्तविक परिघटनाओं और प्रक्रियाओं के संभाव्य मॉडल पर आधारित साक्ष्य हैं। हम उपभोक्ता व्यवहार के मॉडल, जोखिमों की घटना, तकनीकी उपकरणों के कामकाज, प्रयोगात्मक परिणाम प्राप्त करने, बीमारी के पाठ्यक्रम आदि के बारे में बात कर रहे हैं। एक वास्तविक घटना के एक संभाव्य मॉडल का निर्माण माना जाना चाहिए यदि विचाराधीन मात्रा और उनके बीच संबंधों को संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। वास्तविकता के संभाव्य मॉडल का अनुपालन, अर्थात। इसकी पर्याप्तता की पुष्टि की जाती है, विशेष रूप से, परिकल्पनाओं के परीक्षण के लिए सांख्यिकीय विधियों की सहायता से।

असंभव डेटा प्रोसेसिंग विधियां खोजपूर्ण हैं, उनका उपयोग केवल प्रारंभिक डेटा विश्लेषण के लिए किया जा सकता है, क्योंकि वे सीमित सांख्यिकीय सामग्री के आधार पर प्राप्त निष्कर्षों की सटीकता और विश्वसनीयता का आकलन करना संभव नहीं बनाते हैं।

किसी घटना या प्रक्रिया के संभाव्य मॉडल का निर्माण और पुष्टि करने के लिए जहां कहीं भी संभव हो, संभाव्य और सांख्यिकीय तरीके लागू होते हैं। उनका उपयोग अनिवार्य है जब डेटा के नमूने से निकाले गए निष्कर्ष पूरी आबादी को स्थानांतरित कर दिए जाते हैं (उदाहरण के लिए, नमूने से उत्पादों के पूरे बैच में)।

आवेदन के विशिष्ट क्षेत्रों में, व्यापक उपयोग के संभाव्य-सांख्यिकीय तरीकों और विशिष्ट दोनों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पाद गुणवत्ता प्रबंधन के सांख्यिकीय तरीकों के लिए समर्पित उत्पादन प्रबंधन के अनुभाग में, लागू गणितीय आंकड़े (प्रयोगों की योजना सहित) का उपयोग किया जाता है। इसके तरीकों का उपयोग करते हुए, तकनीकी प्रक्रियाओं की सटीकता और स्थिरता का सांख्यिकीय विश्लेषण और गुणवत्ता का सांख्यिकीय मूल्यांकन किया जाता है। विशिष्ट तरीकों में उत्पाद की गुणवत्ता के सांख्यिकीय स्वीकृति नियंत्रण, तकनीकी प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय विनियमन, विश्वसनीयता के मूल्यांकन और नियंत्रण आदि के तरीके शामिल हैं।

विश्वसनीयता सिद्धांत और कतार सिद्धांत जैसे व्यावहारिक संभाव्य और सांख्यिकीय विषयों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उनमें से पहले की सामग्री नाम से स्पष्ट है, दूसरा अध्ययन प्रणाली है जैसे कि एक टेलीफोन एक्सचेंज, जो यादृच्छिक समय पर कॉल प्राप्त करता है - उनके टेलीफोन पर नंबर डायल करने वाले ग्राहकों की आवश्यकताएं। इन दावों की सेवा की अवधि, अर्थात्। बातचीत की अवधि भी यादृच्छिक चर के साथ तैयार की जाती है। इन विषयों के विकास में एक महान योगदान यूएसएसआर एकेडमी ऑफ साइंसेज के संबंधित सदस्य ए.वाईए द्वारा दिया गया था। खिनचिन (1894-1959), यूक्रेनी एसएसआर के विज्ञान अकादमी के शिक्षाविद बी.वी. गेडेनको (1912-1995) और अन्य घरेलू वैज्ञानिक।

1.5 संक्षेप में गणितीय सांख्यिकी के इतिहास के बारे में

एक विज्ञान के रूप में गणितीय सांख्यिकी की शुरुआत प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) के कार्यों से होती है, जिन्होंने संभाव्यता सिद्धांत के आधार पर 1795 में उनके द्वारा बनाई गई सबसे छोटी वर्ग विधि की जांच और पुष्टि की और खगोलीय प्रक्रिया के लिए इस्तेमाल किया। डेटा (मामूली ग्रह सेरेस की कक्षा को स्पष्ट करने के लिए)। उनके नाम को अक्सर सबसे लोकप्रिय संभाव्यता वितरणों में से एक कहा जाता है - सामान्य, और यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में अध्ययन का मुख्य उद्देश्य गॉसियन प्रक्रियाएं हैं।

XIX सदी के अंत में। - बीसवीं सदी की शुरुआत। गणितीय आँकड़ों में एक बड़ा योगदान अंग्रेजी शोधकर्ताओं, मुख्य रूप से के. पियर्सन (1857-1936) और आर.ए. फिशर (1890-1962) द्वारा किया गया था। विशेष रूप से, पियर्सन ने सांख्यिकीय परिकल्पनाओं के परीक्षण के लिए "ची-स्क्वायर" परीक्षण विकसित किया, और फिशर - विचरण का विश्लेषण, प्रयोगात्मक डिजाइन का सिद्धांत, पैरामीटर अनुमान की अधिकतम संभावना की विधि।

बीसवीं सदी के 30 के दशक में। पोल जेरज़ी न्यूमैन (1894-1977) और अंग्रेज ई. पियर्सन ने सांख्यिकीय परिकल्पनाओं के परीक्षण का एक सामान्य सिद्धांत विकसित किया, और सोवियत गणितज्ञ शिक्षाविद ए.एन. कोलमोगोरोव (1903-1987) और यूएसएसआर एकेडमी ऑफ साइंसेज के संबंधित सदस्य एन.वी. स्मिरनोव (1900-1966) ने गैर-पैरामीट्रिक आँकड़ों की नींव रखी। बीसवीं सदी के चालीसवें दशक में। रोमानियाई ए. वाल्ड (1902-1950) ने अनुक्रमिक सांख्यिकीय विश्लेषण के एक सिद्धांत का निर्माण किया।

वर्तमान समय में गणितीय सांख्यिकी का तेजी से विकास हो रहा है। इसलिए, पिछले 40 वर्षों में, अनुसंधान के चार मौलिक रूप से नए क्षेत्रों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

प्रयोगों की योजना बनाने के लिए गणितीय विधियों का विकास और कार्यान्वयन;

अनुप्रयुक्त गणितीय आँकड़ों में एक स्वतंत्र दिशा के रूप में गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं के आँकड़ों का विकास;

प्रयुक्त संभाव्य मॉडल से छोटे विचलन के संबंध में स्थिर सांख्यिकीय विधियों का विकास;

डेटा के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए डिज़ाइन किए गए कंप्यूटर सॉफ़्टवेयर पैकेजों के निर्माण पर कार्य का व्यापक विकास।

1.6 संभाव्य-सांख्यिकीय तरीके और अनुकूलन

अनुकूलन का विचार आधुनिक अनुप्रयुक्त गणितीय आँकड़ों और अन्य सांख्यिकीय विधियों में व्याप्त है। अर्थात्, प्रयोगों की योजना बनाने के तरीके, सांख्यिकीय स्वीकृति नियंत्रण, तकनीकी प्रक्रियाओं का सांख्यिकीय विनियमन, आदि लागू गणितीय आँकड़े।

उत्पादन प्रबंधन में, विशेष रूप से, उत्पाद की गुणवत्ता और मानकों की आवश्यकताओं का अनुकूलन करते समय, उत्पाद जीवन चक्र के प्रारंभिक चरण में सांख्यिकीय विधियों को लागू करना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, अर्थात। प्रयोगात्मक डिजाइन विकास (उत्पादों के लिए आशाजनक आवश्यकताओं का विकास, प्रारंभिक डिजाइन, प्रयोगात्मक डिजाइन विकास के लिए तकनीकी विशिष्टताओं का विकास) के अनुसंधान की तैयारी के चरण में। यह उत्पाद जीवन चक्र के प्रारंभिक चरण में उपलब्ध सीमित जानकारी और भविष्य के लिए तकनीकी क्षमताओं और आर्थिक स्थिति की भविष्यवाणी करने की आवश्यकता के कारण है। अनुकूलन समस्या को हल करने के सभी चरणों में सांख्यिकीय विधियों को लागू किया जाना चाहिए - चर को स्केल करते समय, उत्पादों और प्रणालियों के कामकाज के लिए गणितीय मॉडल विकसित करना, तकनीकी और आर्थिक प्रयोग करना आदि।

आँकड़ों के सभी क्षेत्रों का उपयोग अनुकूलन समस्याओं में किया जाता है, जिसमें उत्पाद की गुणवत्ता का अनुकूलन और मानकों की आवश्यकताएं शामिल हैं। अर्थात्, यादृच्छिक चर के आँकड़े, बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण, यादृच्छिक प्रक्रियाओं के आँकड़े और समय श्रृंखला, गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं के आँकड़े। विशिष्ट डेटा के विश्लेषण के लिए एक सांख्यिकीय पद्धति का चुनाव सिफारिशों के अनुसार करने की सलाह दी जाती है।

2. संभाव्यता-एसटी . के विशिष्ट व्यावहारिक कार्यअतिवादी निर्णय लेनाऔर उन्हें हल करने के तरीके

2.1 सांख्यिकी और अनुप्रयुक्त सांख्यिकी

अनुप्रयुक्त आँकड़ों को वास्तविक सांख्यिकीय डेटा को संसाधित करने के तरीकों के साथ-साथ संबंधित गणितीय और सॉफ़्टवेयर के लिए समर्पित गणितीय आँकड़ों के हिस्से के रूप में समझा जाता है। इस प्रकार, विशुद्ध रूप से गणितीय समस्याओं को लागू आँकड़ों में शामिल नहीं किया जाता है।

सांख्यिकीय डेटा को अध्ययन के तहत वस्तुओं के नियंत्रित मापदंडों (विशेषताओं) के संख्यात्मक या गैर-संख्यात्मक मूल्यों के रूप में समझा जाता है, जो एक निश्चित के अवलोकन (माप, विश्लेषण, परीक्षण, प्रयोग, आदि) के परिणामस्वरूप प्राप्त होते हैं। अध्ययन में शामिल प्रत्येक इकाई के लिए सुविधाओं की संख्या। प्रयोग योजना के गणितीय सिद्धांत के तरीकों के आधार पर एक विशिष्ट लागू समस्या के निर्माण के आधार पर सांख्यिकीय डेटा और नमूना आकार प्राप्त करने के तरीके स्थापित किए जाते हैं।

i-वें नमूना इकाई के अध्ययन किए गए फीचर X (या अध्ययन की गई विशेषताओं X का सेट) का अवलोकन परिणाम xi सर्वेक्षण की गई इकाई संख्या i (यहां i = 1, 2, ..) के मात्रात्मक और / या गुणात्मक गुणों को दर्शाता है। ।, n, जहां n नमूना आकार है)।

अवलोकनों के परिणाम x1, x2, ..., xn, जहां xi i-वें नमूना इकाई के अवलोकन का परिणाम है, या कई नमूनों के अवलोकन के परिणाम, कार्य के अनुरूप लागू आंकड़ों के तरीकों का उपयोग करके संसाधित किए जाते हैं उपलब्ध। एक नियम के रूप में, विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग किया जाता है, अर्थात्। संख्यात्मक गणनाओं के आधार पर विधियां (गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं को संख्याओं का उपयोग करके वर्णित किया जाता है)। कुछ मामलों में, ग्राफिकल विधियों (दृश्य विश्लेषण) का उपयोग करने की अनुमति है।

2.2 तकनीकी प्रक्रियाओं और उत्पाद की गुणवत्ता की सटीकता और स्थिरता के सांख्यिकीय विश्लेषण के कार्य

तकनीकी प्रक्रियाओं और उत्पाद की गुणवत्ता की सटीकता और स्थिरता का विश्लेषण करने के लिए, विशेष रूप से सांख्यिकीय विधियों का उपयोग किया जाता है। लक्ष्य ऐसे समाधान तैयार करना है जो तकनीकी इकाइयों के कुशल कामकाज को सुनिश्चित करते हैं और उत्पादों की गुणवत्ता और प्रतिस्पर्धा में सुधार करते हैं। जब भी सीमित संख्या में अवलोकनों के आधार पर प्रक्रिया उपकरण की सटीकता और स्थिरता में सुधार या गिरावट के कारणों को स्थापित करना आवश्यक हो तो सांख्यिकीय विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए। तकनीकी प्रक्रिया की सटीकता को तकनीकी प्रक्रिया की संपत्ति के रूप में समझा जाता है, जो निर्मित उत्पादों के मापदंडों के वास्तविक और नाममात्र मूल्यों की निकटता को निर्धारित करता है। एक तकनीकी प्रक्रिया की स्थिरता को एक तकनीकी प्रक्रिया की संपत्ति के रूप में समझा जाता है जो बाहरी हस्तक्षेप के बिना एक निश्चित समय अंतराल पर इसके मापदंडों के लिए संभाव्यता वितरण की स्थिरता निर्धारित करता है।

उत्पादों के विकास, उत्पादन और संचालन (खपत) के चरणों में तकनीकी प्रक्रियाओं और उत्पाद की गुणवत्ता की सटीकता और स्थिरता का विश्लेषण करने के लिए सांख्यिकीय विधियों का उपयोग करने के उद्देश्य, विशेष रूप से हैं:

* तकनीकी प्रक्रिया, उपकरण या उत्पाद की गुणवत्ता की सटीकता और स्थिरता के वास्तविक संकेतकों का निर्धारण;

* नियामक और तकनीकी दस्तावेज की आवश्यकताओं के लिए उत्पाद की गुणवत्ता की अनुरूपता स्थापित करना;

* तकनीकी अनुशासन के अनुपालन का सत्यापन;

* यादृच्छिक और व्यवस्थित कारकों का अध्ययन जो दोषों की उपस्थिति को जन्म दे सकता है;

* उत्पादन और प्रौद्योगिकी के भंडार की पहचान;

* तकनीकी मानकों और उत्पाद सहनशीलता की पुष्टि;

* उत्पादों और मानकों के लिए आवश्यकताओं की पुष्टि करते समय प्रोटोटाइप के परीक्षण परिणामों का मूल्यांकन;

* तकनीकी उपकरणों और माप और परीक्षण उपकरणों की पसंद की पुष्टि;

* विभिन्न उत्पाद नमूनों की तुलना;

* निरंतर नियंत्रण को सांख्यिकीय के साथ बदलने का औचित्य;

* उत्पाद गुणवत्ता प्रबंधन आदि के सांख्यिकीय तरीकों को शुरू करने की संभावना की पहचान।

ऊपर सूचीबद्ध लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए, डेटा का वर्णन करने, परिकल्पना का मूल्यांकन करने और परीक्षण करने के लिए विभिन्न विधियों का उपयोग किया जाता है। समस्या कथनों के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं।

2.3 एक-आयामी सांख्यिकी की समस्याएं (यादृच्छिक चर के आंकड़े)

गणितीय अपेक्षाओं की तुलना उन मामलों में की जाती है जहां निर्मित उत्पाद के गुणवत्ता संकेतकों और संदर्भ नमूने के बीच पत्राचार स्थापित करना आवश्यक होता है। यह परिकल्पना के परीक्षण का कार्य है:

एच0: एम (एक्स) = एम0,

जहाँ m0 संदर्भ नमूने के अनुरूप मान है; X एक यादृच्छिक चर है जो प्रेक्षणों के परिणामों का अनुकरण करता है। स्थिति के संभाव्य मॉडल और वैकल्पिक परिकल्पना के निर्माण के आधार पर, गणितीय अपेक्षाओं की तुलना या तो पैरामीट्रिक या गैर-पैरामीट्रिक विधियों द्वारा की जाती है।

विचरण की तुलना तब की जाती है जब नाममात्र से गुणवत्ता संकेतक के फैलाव के बीच अंतर स्थापित करना आवश्यक होता है। ऐसा करने के लिए, परिकल्पना का परीक्षण करें:

प्राचल अनुमान समस्याएँ परिकल्पना परीक्षण समस्याओं से कम महत्वपूर्ण नहीं हैं। वे, स्थिति के प्रयुक्त संभाव्य मॉडल के आधार पर, परिकल्पना के परीक्षण की समस्याओं की तरह, पैरामीट्रिक और गैर-पैरामीट्रिक में विभाजित हैं।

पैरामीट्रिक अनुमान समस्याओं में, एक संभाव्य मॉडल अपनाया जाता है, जिसके अनुसार अवलोकनों के परिणाम x1, x2,…, xn को वितरण फ़ंक्शन F (x; u) के साथ n स्वतंत्र यादृच्छिक चर की प्राप्ति के रूप में माना जाता है। यहाँ और एक अज्ञात पैरामीटर है जो पैरामीटर स्थान में पड़ा है और प्रयुक्त संभाव्य मॉडल द्वारा दिया गया है। अनुमान कार्य पैरामीटर के लिए बिंदु अनुमान और विश्वास सीमा (या विश्वास क्षेत्र) निर्धारित करना है।

पैरामीटर और या तो एक संख्या या निश्चित परिमित आयाम का एक वेक्टर है। तो, एक सामान्य वितरण के लिए u = (m, y2) एक द्वि-आयामी वेक्टर है, एक द्विपद के लिए u = p - एक संख्या, एक गामा वितरण के लिए
और = (ए, बी, सी) एक त्रि-आयामी वेक्टर है, आदि।

आधुनिक गणितीय आँकड़ों में, अनुमान और आत्मविश्वास की सीमा निर्धारित करने के लिए कई सामान्य तरीके विकसित किए गए हैं - क्षणों की विधि, अधिकतम संभावना की विधि, एक-चरण अनुमान की विधि, स्थिर (मजबूत) अनुमानों की विधि, विधि निष्पक्ष अनुमान, आदि।

आइए उनमें से पहले तीन पर एक त्वरित नज़र डालें।

क्षणों की विधि उनके वितरण कार्यों के मापदंडों के संदर्भ में विचार किए गए यादृच्छिक चर के क्षणों के लिए अभिव्यक्तियों के उपयोग पर आधारित है। क्षणों की विधि का अनुमान सैद्धान्तिक क्षणों के स्थान पर सैद्धान्तिक आघूर्णों के स्थान पर आघूर्णों के रूप में प्राचलों को व्यक्त करने वाले कार्यों में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।

अधिकतम संभावना विधि में, मुख्य रूप से आरए फिशर द्वारा विकसित, पैरामीटर के अनुमान के रूप में और मान u * लें, जिसके लिए तथाकथित संभावना फ़ंक्शन अधिकतम है

एफ (एक्स 1, यू) एफ (एक्स 2, यू) ... एफ (एक्सएन, यू),

जहाँ x1, x2,…, xn - प्रेक्षण परिणाम; f (x, u) - उनका वितरण घनत्व, पैरामीटर के आधार पर और, जिसका अनुमान लगाया जाना चाहिए।

अधिकतम संभावना अनुमान आमतौर पर कुशल (या स्पर्शोन्मुख रूप से कुशल) होते हैं और क्षण अनुमानों की विधि की तुलना में कम विचरण करते हैं। कुछ मामलों में, उनके लिए सूत्र स्पष्ट रूप से लिखे गए हैं (सामान्य वितरण, बिना किसी बदलाव के घातीय वितरण)। हालांकि, अधिक बार उन्हें खोजने के लिए, ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों (वेइबुल-गनेडेन्को वितरण, गामा) की एक प्रणाली को संख्यात्मक रूप से हल करना आवश्यक है। ऐसे मामलों में, अधिकतम संभावना अनुमानों का नहीं, बल्कि अन्य प्रकार के अनुमानों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है, मुख्य रूप से एक-चरणीय अनुमान।

गैर-पैरामीट्रिक अनुमान समस्याओं में, एक संभाव्य मॉडल अपनाया जाता है, जिसमें अवलोकनों के परिणाम x1, x2, ..., xn को एक सामान्य रूप के वितरण फ़ंक्शन F (x) के साथ n स्वतंत्र यादृच्छिक चर की प्राप्ति के रूप में माना जाता है। F (x) केवल कुछ शर्तों को पूरा करने के लिए आवश्यक है जैसे निरंतरता, गणितीय अपेक्षा और भिन्नता का अस्तित्व, आदि। ऐसी शर्तें एक निश्चित पैरामीट्रिक परिवार से संबंधित होने की शर्त जितनी सख्त नहीं हैं।

एक गैर-पैरामीट्रिक सेटिंग में, या तो एक यादृच्छिक चर (गणितीय अपेक्षा, विचरण, भिन्नता का गुणांक) की विशेषताओं का अनुमान लगाया जाता है, या इसके वितरण कार्य, घनत्व, आदि का अनुमान लगाया जाता है। इसलिए, बड़ी संख्या के नियम के आधार पर, नमूना अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षा M (X) (किसी भी वितरण फ़ंक्शन F (x) के अवलोकन परिणामों के लिए, जिसके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद है) का एक सुसंगत अनुमान है। केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग करते हुए, स्पर्शोन्मुख विश्वास सीमा निर्धारित की जाती है

(एम (एक्स)) एच =, (एम (एक्स)) बी =।

जहां आर आत्मविश्वास की संभावना है, मानक सामान्य वितरण एन (0; 1) के क्रम की मात्रा शून्य गणितीय अपेक्षा और इकाई भिन्नता के साथ है, नमूना अंकगणितीय माध्य है, एस नमूना मानक विचलन है। शब्द "एसिम्प्टोटिक कॉन्फिडेंस लिमिट्स" का अर्थ है कि संभावनाएं

पी ((एम (एक्स)) एच< M(X)}, P{(M(X))B >एम (एक्स)),

पी ((एम (एक्स)) एच< M(X) < (M(X))B}

करने के लिए, और r, क्रमशः, n> के लिए?, लेकिन, आम तौर पर बोलते हुए, परिमित n के लिए इन मानों के बराबर नहीं हैं। व्यवहार में, स्पर्शोन्मुख आत्मविश्वास सीमा 10 के क्रम के n के लिए पर्याप्त सटीकता प्रदान करती है।

गैर-पैरामीट्रिक अनुमान का दूसरा उदाहरण वितरण फ़ंक्शन अनुमान है। ग्लिवेंको के प्रमेय के अनुसार, अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन Fn (x) वितरण फ़ंक्शन F (x) के लिए एक सुसंगत अनुमान है। यदि F (x) एक सतत फलन है, तो, कोलमोगोरोव प्रमेय के आधार पर, वितरण फलन F (x) के लिए विश्वास सीमा इस रूप में दी गई है

(एफ (एक्स)) = अधिकतम, (एफ (एक्स)) बी = मिनट,

जहां k (r, n) नमूना आकार n के लिए कोलमोगोरोव आंकड़े के वितरण के क्रम r की मात्रा है (याद रखें कि इस आंकड़े का वितरण F (x) पर निर्भर नहीं करता है)।

पैरामीट्रिक मामले में अनुमान और विश्वास सीमा निर्धारित करने के नियम वितरण के पैरामीट्रिक परिवार एफ (एक्स; और) पर आधारित हैं। वास्तविक डेटा को संसाधित करते समय, प्रश्न उठता है - क्या ये डेटा स्वीकृत संभाव्य मॉडल के अनुरूप हैं? वे। सांख्यिकीय परिकल्पना है कि अवलोकन के परिणामों का परिवार (F (x; u), u) से कुछ u = u0 के लिए वितरण फलन होता है? इस तरह की परिकल्पनाओं को अच्छाई-की-फिट परिकल्पना कहा जाता है, और उनके परीक्षण के मानदंड को अच्छाई-की-फिट मानदंड कहा जाता है।

यदि पैरामीटर u = u0 का सही मान ज्ञात है, वितरण फलन F (x; u0) निरंतर है, तो आँकड़ों पर आधारित कोलमोगोरोव परीक्षण

जहाँ Fn (x) एक आनुभविक बंटन फलन है।

यदि पैरामीटर u0 का सही मान अज्ञात है, उदाहरण के लिए, परिकल्पना का परीक्षण करते समय कि अवलोकन परिणामों का वितरण सामान्य है (अर्थात, यह जाँचते समय कि क्या यह वितरण सामान्य वितरण के परिवार से संबंधित है), तो कभी-कभी आँकड़ों का उपयोग किया जाता है

यह कोलमोगोरोव आँकड़ों Dn से भिन्न है कि पैरामीटर u0 के वास्तविक मान के बजाय, इसका अनुमान u * प्रतिस्थापित किया जाता है।

आँकड़ों का वितरण Dn (u *) आँकड़ों Dn के वितरण से बहुत अलग है। एक उदाहरण के रूप में, सामान्यता के लिए जाँच पर विचार करें जब u = (m, y2) और u * = (, s2)। इस मामले के लिए, आँकड़ों के वितरण की मात्राएँ Dn और Dn (और *) तालिका 1 में दी गई हैं। इस प्रकार, मात्राएँ लगभग 1.5 गुना भिन्न होती हैं।

तालिका 1 - सामान्यता की जाँच करते समय आँकड़ों की मात्रा Dn और Dn (और *)

सांख्यिकीय डेटा के प्राथमिक प्रसंस्करण में, एक महत्वपूर्ण कार्य सकल त्रुटियों और भूलों के परिणामस्वरूप प्राप्त अवलोकन परिणामों को बाहर करना है। उदाहरण के लिए, नवजात शिशुओं के वजन (किलोग्राम में) के आंकड़ों को 3,500, 2,750, 4,200 के साथ देखते समय, संख्या 35.00 दिखाई दे सकती है। यह स्पष्ट है कि यह एक गलती है, और गलत प्रविष्टि के साथ एक गलत संख्या प्राप्त हुई थी - अल्पविराम को एक अंक से स्थानांतरित कर दिया जाता है, परिणामस्वरूप, अवलोकन परिणाम गलती से 10 गुना बढ़ जाता है।

तेजी से विशिष्ट अवलोकन परिणामों को बाहर करने के लिए सांख्यिकीय तरीके इस धारणा पर आधारित हैं कि ऐसे अवलोकन परिणामों में वितरण है जो अध्ययन किए गए लोगों से बहुत अलग हैं, और इसलिए उन्हें नमूने से बाहर रखा जाना चाहिए।

सबसे सरल संभाव्य मॉडल इस प्रकार है। शून्य परिकल्पना के तहत, अवलोकन परिणामों को वितरण फ़ंक्शन F (x) के साथ स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर X1, X2, Xn की प्राप्ति के रूप में माना जाता है। वैकल्पिक परिकल्पना में, X1, X2, Xn-1 शून्य परिकल्पना के समान हैं, और Xn एक सकल त्रुटि से मेल खाता है और इसका वितरण फ़ंक्शन G (x) = F (x - c) है, जहां c बड़ा है। फिर, 1 के करीब की संभावना के साथ (अधिक सटीक रूप से, नमूना आकार बढ़ने पर 1 की ओर झुकाव),

एक्सएन = अधिकतम (एक्स 1, एक्स 2, एक्सएन) = एक्समैक्स,

वे। डेटा का वर्णन करते समय एक्समैक्स को एक संभावित गलती के रूप में माना जाना चाहिए। महत्वपूर्ण क्षेत्र का रूप है

डब्ल्यू = (एक्स: एक्स> डी)।

महत्वपूर्ण मान d = d (b, n) को महत्व स्तर b और स्थिति से नमूना आकार n के आधार पर चुना जाता है

पी (एक्समैक्स> डी | एच0) = बी (1)

शर्त (1) बड़े n और छोटे b के लिए निम्नलिखित के बराबर है:

यदि प्रेक्षण परिणामों का वितरण फलन F (x) ज्ञात हो, तो क्रांतिक मान d संबंध (2) से ज्ञात होता है। यदि एफ (एक्स) को पैरामीटर तक जाना जाता है, उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि एफ (एक्स) एक सामान्य वितरण कार्य है, तो विचाराधीन परिकल्पना के परीक्षण के नियम भी विकसित किए जाते हैं।

हालांकि, अवलोकन परिणामों के वितरण समारोह के रूप को अक्सर बिल्कुल सटीक रूप से नहीं जाना जाता है और मापदंडों की सटीकता के साथ नहीं, बल्कि केवल एक निश्चित त्रुटि के साथ जाना जाता है। तब संबंध (2) व्यावहारिक रूप से बेकार हो जाता है, क्योंकि एफ (एक्स) के निर्धारण में एक छोटी सी त्रुटि, जैसा कि दिखाया जा सकता है, शर्त (2) से डी के महत्वपूर्ण मूल्य को निर्धारित करने में एक बड़ी त्रुटि की ओर जाता है, और एक निश्चित डी के लिए , मानदंड का महत्व स्तर नाममात्र से काफी भिन्न हो सकता है ...

इसलिए, ऐसी स्थिति में जहां एफ (एक्स) के बारे में पूरी जानकारी नहीं है, लेकिन गणितीय अपेक्षा एम (एक्स) और विचरण у2 = डी (एक्स) के अवलोकन परिणाम एक्स 1, एक्स 2, एक्सएन ज्ञात हैं, कोई गैर-पैरामीट्रिक का उपयोग कर सकता है चेबीशेव असमानता पर आधारित अस्वीकृति नियम। इस असमानता का उपयोग करते हुए, हम महत्वपूर्ण मान d = d (b, n) इस प्रकार पाते हैं कि

तो संबंध (3) संतुष्ट होगा यदि

चेबीशेव असमानता द्वारा

इसलिए, (4) संतुष्ट होने के लिए, सूत्रों (4) और (5) के दाहिने हाथ की बराबरी करना पर्याप्त है, अर्थात। स्थिति से d निर्धारित करें

सूत्र (6) द्वारा परिकलित d के क्रांतिक मान पर आधारित अस्वीकृति नियम वितरण फलन F (x) के बारे में न्यूनतम जानकारी का उपयोग करता है और इसलिए केवल उन अवलोकनों के परिणामों को शामिल नहीं करता है जो मुख्य द्रव्यमान से बहुत दूर हैं। दूसरे शब्दों में, संबंध (1) द्वारा दिया गया d1 मान आमतौर पर संबंध (6) द्वारा दिए गए d2 मान से बहुत कम होता है।

2.4 बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण

बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण का उपयोग निम्नलिखित समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है:

* संकेतों के बीच संबंध का अध्ययन;

* वैक्टर द्वारा दी गई वस्तुओं या विशेषताओं का वर्गीकरण;

* फीचर स्पेस के आयाम में कमी।

इस मामले में, टिप्पणियों का परिणाम वस्तु पर मापी गई मात्रात्मक और कभी-कभी गुणात्मक विशेषताओं की एक निश्चित संख्या के मूल्यों का एक वेक्टर है। एक मात्रात्मक विशेषता एक देखी गई इकाई की एक विशेषता है जिसे सीधे एक संख्या और माप की एक इकाई द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। मात्रात्मक विशेषता गुणात्मक विशेषता के विपरीत है - दो या दो से अधिक सशर्त श्रेणियों में से एक को असाइनमेंट द्वारा निर्धारित देखी गई इकाई की विशेषता (यदि ठीक दो श्रेणियां हैं, तो सुविधा को वैकल्पिक कहा जाता है)। गुणात्मक विशेषताओं का सांख्यिकीय विश्लेषण गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं के आंकड़ों का हिस्सा है। मात्रात्मक विशेषताओं को अंतराल, अनुपात, अंतर और निरपेक्ष के पैमानों में मापी गई विशेषताओं में विभाजित किया गया है।

और गुणात्मक - नामों के पैमाने और क्रमिक पैमाने में मापे गए संकेतों पर। डेटा प्रोसेसिंग विधियों को उन पैमानों के अनुरूप होना चाहिए जिनमें विचाराधीन विशेषताओं को मापा जाता है।

संकेतों के बीच संबंध के अध्ययन का उद्देश्य संकेतों के बीच संबंध के अस्तित्व को साबित करना और इस संबंध का अध्ययन करना है. सहसंबंध विश्लेषण का उपयोग दो यादृच्छिक चर X और Y के बीच संबंध के अस्तित्व को साबित करने के लिए किया जाता है। यदि एक्स और वाई का संयुक्त वितरण सामान्य है, तो सांख्यिकीय निष्कर्ष नमूना रैखिक सहसंबंध गुणांक पर आधारित होते हैं, अन्य मामलों में, केंडल और स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध गुणांक का उपयोग किया जाता है, और गुणात्मक विशेषताओं के लिए, ची-स्क्वायर परीक्षण का उपयोग किया जाता है। .

रिग्रेशन विश्लेषण का उपयोग मात्रात्मक गुण वाई की मात्रात्मक विशेषताओं x (1), x (2), ..., x (k) पर कार्यात्मक निर्भरता का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। इस संबंध को प्रतिगमन या संक्षेप में प्रतिगमन कहा जाता है। प्रतिगमन विश्लेषण का सबसे सरल संभाव्य मॉडल (के = 1 के मामले में) प्रारंभिक जानकारी के रूप में अवलोकन परिणामों के जोड़े (xi, yi), i = 1, 2, ..., n का एक सेट का उपयोग करता है, और इसका रूप है

yi = axi + b + ei, i = 1, 2, ..., n,

जहां ईआई अवलोकन त्रुटियां हैं। कभी-कभी यह माना जाता है कि ei समान सामान्य वितरण N (0, y2) के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं। चूंकि अवलोकन त्रुटियों का वितरण आमतौर पर सामान्य से अलग होता है, इसलिए गैर-पैरामीट्रिक सेटिंग में प्रतिगमन मॉडल पर विचार करने की सलाह दी जाती है, अर्थात। ईई के मनमाने वितरण के लिए।

प्रतिगमन विश्लेषण का मुख्य कार्य अज्ञात मापदंडों a और b का अनुमान लगाना है, जो x पर y की रैखिक निर्भरता को निर्दिष्ट करते हैं। इस समस्या को हल करने के लिए के. गॉस द्वारा 1794 में विकसित अल्पतम वर्गों की विधि का उपयोग किया जाता है, अर्थात्। वर्गों के योग को कम करने की स्थिति से मॉडल ए और बी के अज्ञात मापदंडों के लिए अनुमान खोजें

चर ए और बी में।

मात्रात्मक चर पर गुणात्मक विशेषताओं के प्रभाव का अध्ययन करने के लिए विचरण का विश्लेषण किया जाता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि k मशीनों पर उत्पादित उत्पाद इकाइयों की गुणवत्ता के मात्रात्मक संकेतक के माप परिणामों के k नमूने हैं, अर्थात। संख्याओं का एक सेट (x1 (j), x2 (j),…, xn (j)), जहां j मशीन नंबर है, j = 1, 2,…, k, और n नमूना आकार है। विचरण के विश्लेषण के व्यापक सूत्रीकरण में, यह माना जाता है कि माप के परिणाम स्वतंत्र होते हैं और प्रत्येक नमूने में समान विचरण के साथ एक सामान्य वितरण N (m (j), y2) होता है।

उत्पाद की गुणवत्ता की एकरूपता की जाँच करना, अर्थात। उत्पाद की गुणवत्ता पर मशीन संख्या के प्रभाव की अनुपस्थिति, परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए कम हो जाती है

एच0: एम (1) = एम (2) =… = एम (के)।

विचरण के विश्लेषण ने ऐसी परिकल्पनाओं के परीक्षण के लिए तरीके विकसित किए हैं।

परिकल्पना H0 का परीक्षण वैकल्पिक परिकल्पना H1 के विरुद्ध किया जाता है, जिसके अनुसार निर्दिष्ट समानता में से कम से कम एक संतुष्ट नहीं होता है। इस परिकल्पना का परीक्षण आरए फिशर द्वारा इंगित निम्नलिखित "फैलाव अपघटन" पर आधारित है:

जहां s2 पूल किए गए नमूने में नमूना विचरण है, अर्थात।

इस प्रकार, सूत्र (7) के दायीं ओर का पहला पद इंट्राग्रुप विचरण को दर्शाता है। अंत में, अंतरसमूह विचरण है,

सूत्र के प्रकार (7) के विचरण के अपघटन से जुड़े लागू आंकड़ों के क्षेत्र को विचरण का विश्लेषण कहा जाता है। विचरण समस्या के विश्लेषण के एक उदाहरण के रूप में, उपरोक्त परिकल्पना H0 को इस धारणा के तहत परीक्षण करने पर विचार करें कि माप परिणाम स्वतंत्र हैं और प्रत्येक नमूने में समान विचरण के साथ एक सामान्य वितरण N (m (j), y2) है। यदि H0 मान्य है, तो y2 से विभाजित सूत्र (7) के दाहिने हाथ के पहले पद में k (n-1) स्वतंत्रता की डिग्री के साथ एक ची-वर्ग वितरण है, और दूसरा पद, y2 से विभाजित है, एक ची-वर्ग वितरण भी है, लेकिन (k-1) स्वतंत्रता की डिग्री के साथ, और पहली और दूसरी शर्तें यादृच्छिक चर के रूप में स्वतंत्र हैं। इसलिए, यादृच्छिक चर

अंश की स्वतंत्रता की (k-1) डिग्री और हर की स्वतंत्रता की k (n-1) डिग्री के साथ एक फिशर वितरण है। परिकल्पना Н0 स्वीकार की जाती है यदि F< F1-б, и отвергается в противном случае, где F1-б - квантиль порядка 1-б распределения Фишера с указанными числами степеней свободы. Такой выбор критической области определяется тем, что при Н1 величина F безгранично увеличивается при росте объема выборок n. Значения F1-б берут из соответствующих таблиц.

विचरण के विश्लेषण की शास्त्रीय समस्याओं को हल करने के लिए गैर-पैरामीट्रिक विधियों का विकास किया गया है, विशेष रूप से, परिकल्पना H0 के परीक्षण के लिए।

अगले प्रकार की बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण समस्याएं वर्गीकरण समस्याएं हैं। वे तीन मूलभूत रूप से भिन्न प्रकारों में विभाजित हैं - विभेदक विश्लेषण, क्लस्टर विश्लेषण, समूहीकरण समस्याएं।

विवेचक विश्लेषण का कार्य किसी प्रेक्षित वस्तु को पहले वर्णित वर्गों में से किसी एक को निर्दिष्ट करने के लिए एक नियम खोजना है। इस मामले में, वस्तुओं को वैक्टर का उपयोग करके गणितीय मॉडल में वर्णित किया जाता है, जिसके निर्देशांक प्रत्येक वस्तु के लिए कई विशेषताओं के अवलोकन के परिणाम होते हैं। कक्षाओं को या तो सीधे गणितीय शब्दों में या प्रशिक्षण नमूनों का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। एक प्रशिक्षण नमूना एक नमूना है, जिसके प्रत्येक तत्व के लिए यह इंगित किया जाता है कि यह किस वर्ग का है।

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टर्म पेपर जोड़ा गया 01/11/2015


इष्टतम निर्णय लेने का गणितीय सिद्धांत। सारणीबद्ध सिंप्लेक्स विधि। दोहरी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का संकलन और समाधान। परिवहन समस्या का गणितीय मॉडल। उद्यम में उत्पादन की व्यवहार्यता का विश्लेषण।

परीक्षण, जोड़ा गया 06/13/2012


सामान्य, नमूना जनसंख्या। संभाव्यता और सांख्यिकीय विश्लेषण की पद्धतिगत नींव। MathCad गणितीय आँकड़ों की समस्याओं को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया कार्य करता है। एमएस एक्सेल में समस्याओं को हल करना, सूत्रों का उपयोग करना और "डेटा विश्लेषण" मेनू का उपयोग करना।

टर्म पेपर जोड़ा गया 01/20/2014


उत्पादन योजना के लिए लागत की राशि की गणना। जोड़ी प्रतिगमन के रैखिक समीकरण के गुणांक। परिणामों की ग्राफिक व्याख्या के लक्षण। आर्थिक प्रक्रियाओं का विकास। समय श्रृंखला के अर्थमितीय मॉडलिंग की विशेषताएं।

परीक्षण, 02/22/2011 जोड़ा गया


समय श्रृंखला के अर्थमितीय विश्लेषण के मुख्य तत्व। विश्लेषण कार्य और उनका प्रारंभिक प्रसंस्करण। समय श्रृंखला मूल्यों के लघु और मध्यम अवधि के पूर्वानुमान की समस्याओं को हल करना। प्रवृत्ति समीकरण के मापदंडों को खोजने के तरीके। कम से कम वर्ग विधि।

परीक्षण, जोड़ा गया 06/03/2009


यादृच्छिक घटनाओं, मात्राओं और कार्यों के बारे में प्राथमिक अवधारणाएँ। यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं। वितरण की विषमता के प्रकार। यादृच्छिक चर के वितरण का सांख्यिकीय अनुमान। संरचनात्मक और पैरामीट्रिक पहचान की समस्याओं को हल करना।

निर्णय लेने में संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों के दृष्टिकोण, विचार और परिणाम कैसे उपयोग किए जाते हैं?

आधार एक वास्तविक घटना या प्रक्रिया का एक संभाव्य मॉडल है, अर्थात। एक गणितीय मॉडल जिसमें संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में उद्देश्य संबंध व्यक्त किए जाते हैं। संभावनाओं का उपयोग मुख्य रूप से उन अनिश्चितताओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिन पर निर्णय लेते समय विचार करने की आवश्यकता होती है। यह अवांछित अवसरों (जोखिमों) और आकर्षक अवसरों ("भाग्यशाली अवसर") दोनों को संदर्भित करता है। कभी-कभी यादृच्छिकता को जानबूझकर एक स्थिति में पेश किया जाता है, उदाहरण के लिए, बहुत सारे चित्र बनाकर, यादृच्छिक रूप से नियंत्रित करने के लिए इकाइयों का चयन, लॉटरी या उपभोक्ता सर्वेक्षण आयोजित करना।

संभाव्यता सिद्धांत कुछ संभावनाओं को दूसरों की गणना करने की अनुमति देता है जो शोधकर्ता के लिए रुचि रखते हैं। उदाहरण के लिए, हथियारों के एक कोट के गिरने की प्रायिकता के आधार पर, आप इस प्रायिकता की गणना कर सकते हैं कि 10 सिक्के उछालने पर कम से कम 3 कोट हथियार गिर जाएंगे। इस तरह की गणना एक संभाव्य मॉडल पर आधारित होती है, जिसके अनुसार स्वतंत्र परीक्षणों की एक योजना द्वारा सिक्के के उछाल का वर्णन किया जाता है, इसके अलावा, प्रतीक और जाली बाहर गिरना समान रूप से संभव है, और इसलिए इनमें से प्रत्येक घटना की संभावना Ѕ है। एक अधिक जटिल मॉडल वह है जिसमें एक सिक्का उछालने के बजाय, आउटपुट की एक इकाई की गुणवत्ता की जांच करने पर विचार किया जाता है। संबंधित संभाव्य मॉडल इस धारणा पर आधारित है कि उत्पादन की विभिन्न वस्तुओं के गुणवत्ता नियंत्रण को एक स्वतंत्र परीक्षण योजना द्वारा वर्णित किया गया है। सिक्का उछालने वाले मॉडल के विपरीत, एक नया पैरामीटर पेश किया जाना चाहिए - संभावना पी कि उत्पादन की एक इकाई दोषपूर्ण है। मॉडल का पूरी तरह से वर्णन किया जाएगा यदि यह मान लिया जाए कि सभी वस्तुओं के खराब होने की संभावना समान है। यदि बाद की धारणा गलत है, तो मॉडल मापदंडों की संख्या बढ़ जाती है। उदाहरण के लिए, आप मान सकते हैं कि प्रत्येक वस्तु के खराब होने की अपनी संभावना है।

आइए हम सभी उत्पाद इकाइयों के लिए एक सामान्य दोष संभावना p के साथ एक गुणवत्ता नियंत्रण मॉडल पर चर्चा करें। मॉडल का विश्लेषण करते समय "संख्या तक पहुँचने" के लिए, p को कुछ विशिष्ट मान से बदलना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, संभाव्य मॉडल से परे जाना और गुणवत्ता नियंत्रण के दौरान प्राप्त आंकड़ों की ओर मुड़ना आवश्यक है।

गणितीय सांख्यिकी संभाव्यता के सिद्धांत के संबंध में व्युत्क्रम समस्या को हल करती है। इसका उद्देश्य उन संभावनाओं के बारे में निष्कर्ष निकालना है जो अवलोकनों (माप, विश्लेषण, परीक्षण, प्रयोग) के परिणामों के आधार पर संभाव्य मॉडल के अंतर्गत आती हैं। उदाहरण के लिए, निरीक्षण के दौरान दोषपूर्ण उत्पादों की घटना की आवृत्ति के आधार पर, दोषपूर्णता की संभावना के बारे में निष्कर्ष निकाला जा सकता है (ऊपर बर्नौली की प्रमेय देखें)।

चेबीशेव की असमानता के आधार पर, दोषपूर्ण उत्पादों की घटना की आवृत्ति के पत्राचार के बारे में परिकल्पना के लिए निष्कर्ष निकाला गया था कि दोषपूर्णता की संभावना एक निश्चित मूल्य पर होती है।

इस प्रकार, गणितीय आँकड़ों का अनुप्रयोग किसी घटना या प्रक्रिया के संभाव्य मॉडल पर आधारित होता है। अवधारणाओं की दो समानांतर श्रृंखलाओं का उपयोग किया जाता है - सिद्धांत से संबंधित (संभाव्य मॉडल) और अभ्यास से संबंधित (अवलोकन परिणामों का नमूना)। उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक संभावना नमूने से मिली आवृत्ति से मेल खाती है। गणितीय अपेक्षा (सैद्धांतिक श्रृंखला) नमूना अंकगणितीय माध्य (व्यावहारिक श्रृंखला) से मेल खाती है। आमतौर पर, नमूना विशेषताएँ सैद्धांतिक अनुमान हैं। इसी समय, सैद्धांतिक श्रृंखला से संबंधित मूल्य "शोधकर्ताओं के सिर में हैं", विचारों की दुनिया (प्राचीन यूनानी दार्शनिक प्लेटो के अनुसार) को संदर्भित करते हैं, और प्रत्यक्ष माप के लिए दुर्गम हैं। शोधकर्ताओं के पास केवल नमूना डेटा होता है, जिसकी मदद से वे सैद्धांतिक संभाव्य मॉडल के गुणों को स्थापित करने का प्रयास करते हैं जो उनकी रुचि रखते हैं।

संभाव्य मॉडल की आवश्यकता क्यों है? तथ्य यह है कि केवल इसकी मदद से किसी विशेष नमूने के विश्लेषण के परिणामों से स्थापित गुणों को अन्य नमूनों के साथ-साथ संपूर्ण तथाकथित सामान्य आबादी में स्थानांतरित करना संभव है। ब्याज की इकाइयों की एक बड़ी लेकिन सीमित आबादी का जिक्र करते समय "सामान्य जनसंख्या" शब्द का प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, रूस के सभी निवासियों या मास्को में तत्काल कॉफी के सभी उपभोक्ताओं के कुल के बारे में। मार्केटिंग या ओपिनियन पोल का उद्देश्य सैकड़ों या हजारों लोगों के नमूने से कई मिलियन लोगों की आबादी में बयान स्थानांतरित करना है। गुणवत्ता नियंत्रण में, उत्पादों का एक बैच सामान्य जनसंख्या के रूप में कार्य करता है।

एक नमूने से निष्कर्ष को एक बड़ी आबादी में स्थानांतरित करने के लिए, इस बड़ी आबादी की विशेषताओं के साथ नमूना विशेषताओं के संबंध के बारे में एक या दूसरी धारणा आवश्यक है। ये धारणाएं एक उपयुक्त संभाव्य मॉडल पर आधारित हैं।

बेशक, किसी विशेष संभाव्य मॉडल का उपयोग किए बिना नमूना डेटा को संसाधित करना संभव है। उदाहरण के लिए, आप नमूना अंकगणितीय माध्य की गणना कर सकते हैं, कुछ शर्तों की पूर्ति की आवृत्ति की गणना कर सकते हैं, आदि। हालाँकि, गणना के परिणाम केवल एक विशिष्ट नमूने से संबंधित होंगे, उनकी मदद से प्राप्त निष्कर्षों का किसी अन्य आबादी को हस्तांतरण गलत है। इस गतिविधि को कभी-कभी "डेटा माइनिंग" के रूप में जाना जाता है। संभाव्य-सांख्यिकीय विधियों की तुलना में, डेटा विश्लेषण का सीमित संज्ञानात्मक मूल्य है।

इसलिए, नमूना विशेषताओं का उपयोग करके परिकल्पनाओं के मूल्यांकन और परीक्षण के आधार पर संभाव्य मॉडल का उपयोग संभाव्य-सांख्यिकीय निर्णय लेने के तरीकों का सार है।

हम इस बात पर जोर देते हैं कि सैद्धांतिक मॉडल के आधार पर निर्णय लेने के लिए नमूना विशेषताओं का उपयोग करने का तर्क दो समानांतर श्रृंखलाओं की अवधारणाओं के एक साथ उपयोग को मानता है, जिनमें से एक संभाव्य मॉडल से मेल खाता है, और दूसरा नमूना डेटा के लिए है। दुर्भाग्य से, कई साहित्यिक स्रोतों में, आमतौर पर पुराने या एक नुस्खा भावना में लिखे गए, चयनात्मक और सैद्धांतिक विशेषताओं के बीच कोई अंतर नहीं किया जाता है, जो पाठकों को भ्रम और सांख्यिकीय विधियों के व्यावहारिक उपयोग में त्रुटियों की ओर ले जाता है।

2. निर्णय लेने के सिद्धांत में अनिश्चितताओं का विवरण

2.2. निर्णय सिद्धांत में अनिश्चितताओं का वर्णन करने के लिए संभाव्य-सांख्यिकीय तरीके

2.2.1. निर्णय लेने में संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी

संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी का उपयोग कैसे किया जाता है?ये विषय संभाव्य और सांख्यिकीय निर्णय लेने के तरीकों का आधार हैं। उनके गणितीय तंत्र का उपयोग करने के लिए, निर्णय लेने की समस्याओं को संभाव्य-सांख्यिकीय मॉडल के रूप में व्यक्त करना आवश्यक है। एक विशिष्ट संभाव्य-सांख्यिकीय निर्णय लेने की विधि के आवेदन में तीन चरण होते हैं:

आर्थिक, प्रबंधकीय, तकनीकी वास्तविकता से एक अमूर्त गणितीय और सांख्यिकीय योजना में संक्रमण, अर्थात। एक नियंत्रण प्रणाली के एक संभाव्य मॉडल का निर्माण, तकनीकी प्रक्रिया, निर्णय लेने की प्रक्रिया, विशेष रूप से, सांख्यिकीय नियंत्रण के परिणामों के आधार पर, आदि।

एक संभाव्य मॉडल के ढांचे के भीतर विशुद्ध रूप से गणितीय साधनों द्वारा गणना करना और निष्कर्ष प्राप्त करना;

वास्तविक स्थिति के संबंध में गणितीय और सांख्यिकीय निष्कर्षों की व्याख्या और एक उपयुक्त निर्णय लेना (उदाहरण के लिए, स्थापित आवश्यकताओं के साथ उत्पाद की गुणवत्ता की अनुरूपता या गैर-अनुरूपता पर, तकनीकी प्रक्रिया को समायोजित करने की आवश्यकता, आदि), विशेष रूप से, निष्कर्ष (एक बैच में दोषपूर्ण उत्पाद इकाइयों के अनुपात पर, तकनीकी प्रक्रिया के नियंत्रित मापदंडों के वितरण कानूनों के विशिष्ट रूप पर, आदि)।

गणितीय सांख्यिकी संभाव्यता के सिद्धांत की अवधारणाओं, विधियों और परिणामों का उपयोग करती है। आइए आर्थिक, प्रबंधकीय, तकनीकी और अन्य स्थितियों में संभाव्य निर्णय लेने वाले मॉडल के निर्माण के मुख्य मुद्दों पर विचार करें। निर्णय लेने के संभाव्य-सांख्यिकीय तरीकों पर नियामक-तकनीकी और शिक्षाप्रद-पद्धति संबंधी दस्तावेजों के सक्रिय और सही उपयोग के लिए, प्रारंभिक ज्ञान की आवश्यकता होती है। इसलिए, आपको यह जानने की जरूरत है कि किसी विशेष दस्तावेज़ को किन परिस्थितियों में लागू किया जाना चाहिए, इसके चयन और आवेदन के लिए कौन सी प्रारंभिक जानकारी आवश्यक है, डेटा प्रोसेसिंग के परिणामों के आधार पर क्या निर्णय लिए जाने चाहिए, आदि।

आवेदन उदाहरण संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी।आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें जब संभाव्य-सांख्यिकीय मॉडल प्रबंधकीय, उत्पादन, आर्थिक और राष्ट्रीय आर्थिक समस्याओं को हल करने के लिए एक अच्छा उपकरण हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एएन टॉल्स्टॉय के उपन्यास में, "वॉकिंग थ्रू द एगोनी" (वॉल्यूम 1), यह कहता है: "कार्यशाला शादी का तेईस प्रतिशत देती है, और आप इस आंकड़े पर टिके रहते हैं," स्ट्रूकोव ने कहा इवान इलिच।"

सवाल उठता है कि फैक्ट्री प्रबंधकों की बातचीत में इन शब्दों को कैसे समझा जाए, क्योंकि उत्पादन की एक इकाई 23% दोषपूर्ण नहीं हो सकती है। यह या तो अच्छा या दोषपूर्ण हो सकता है। शायद, स्ट्रुकोव का मतलब था कि एक बड़े बैच में लगभग 23% दोषपूर्ण आइटम होते हैं। फिर प्रश्न उठता है कि "लगभग" का क्या अर्थ है? उत्पादन की 100 परीक्षित इकाइयों में से 30 खराब होने दें, या 1,000-300 में से, या 100,000-30,000, आदि में से, क्या स्ट्रुकोव पर झूठ बोलने का आरोप लगाया जाना चाहिए?

या एक और उदाहरण। अधिक मात्रा में उपयोग किया जाने वाला सिक्का "सममित" होना चाहिए, अर्थात। इसे फेंकते समय, औसतन, आधे मामलों में, हथियारों का कोट बाहर गिरना चाहिए, और आधे मामलों में - जाली (पूंछ, संख्या)। लेकिन "औसत" का क्या अर्थ है? यदि आप प्रत्येक श्रृंखला में 10 बार उछालने की कई श्रृंखलाएँ करते हैं, तो आप अक्सर ऐसी श्रृंखला का सामना करेंगे जिसमें प्रतीक के साथ सिक्का 4 बार गिरता है। एक सममित सिक्के के लिए, यह श्रृंखला के 20.5% में होगा। और अगर प्रति 100,000 उछाल पर हथियारों के 40,000 कोट हैं, तो क्या सिक्के को सममित माना जा सकता है? निर्णय लेने की प्रक्रिया संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी के सिद्धांत पर आधारित है।

विचाराधीन उदाहरण शायद पर्याप्त गंभीर न लगे। हालाँकि, ऐसा नहीं है। औद्योगिक तकनीकी और आर्थिक प्रयोगों के संगठन में बहुत से ड्राइंग का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, विभिन्न तकनीकी कारकों (संरक्षण पर्यावरण के प्रभाव, के तरीकों के आधार पर बीयरिंगों के गुणवत्ता संकेतक (घर्षण क्षण) को मापने के परिणामों को संसाधित करते समय) माप से पहले बीयरिंग तैयार करना, माप के दौरान असर भार का प्रभाव, आदि)। पी।)। मान लीजिए कि विभिन्न संरक्षण तेलों में उनके भंडारण के परिणामों के आधार पर बीयरिंग की गुणवत्ता की तुलना करना आवश्यक है, अर्थात। तेल संरचना में एतथा वी... इस तरह के प्रयोग की योजना बनाते समय, यह सवाल उठता है कि रचना के तेल में कौन से बीयरिंग रखे जाने चाहिए ए, और कौन से - तेल संरचना में वी, लेकिन ताकि व्यक्तिपरकता से बचा जा सके और निर्णय की निष्पक्षता सुनिश्चित की जा सके।

इस प्रश्न का उत्तर बहुत से चित्र बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। इसी तरह का उदाहरण किसी भी उत्पाद के गुणवत्ता नियंत्रण के साथ दिया जा सकता है। यह तय करने के लिए कि उत्पादों का एक नियंत्रित बैच स्थापित आवश्यकताओं को पूरा करता है या नहीं, इसका एक नमूना लिया जाता है। नमूने के परिणामों के आधार पर, पूरे बैच के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है। इस मामले में, नमूने के चयन में व्यक्तिपरकता से बचना बहुत महत्वपूर्ण है, अर्थात यह आवश्यक है कि नियंत्रित लॉट में उत्पादन की प्रत्येक इकाई के नमूने में चुने जाने की समान संभावना हो। उत्पादन स्थितियों में, नमूने में उत्पादन की इकाइयों का चयन आमतौर पर बहुत से नहीं, बल्कि यादृच्छिक संख्याओं की विशेष तालिकाओं द्वारा या कंप्यूटर यादृच्छिक संख्या सेंसर की सहायता से किया जाता है।

उत्पादन, पारिश्रमिक, निविदाएं और प्रतियोगिता आयोजित करते समय, रिक्त पदों के लिए उम्मीदवारों का चयन आदि के लिए विभिन्न योजनाओं की तुलना करते समय तुलना की निष्पक्षता सुनिश्चित करने की समान समस्याएं उत्पन्न होती हैं। ड्रॉ या इसी तरह की प्रक्रियाओं की हर जगह जरूरत होती है। आइए ओलंपिक प्रणाली के अनुसार टूर्नामेंट आयोजित करते समय सबसे मजबूत और दूसरी सबसे मजबूत टीम की पहचान करने के उदाहरण का उपयोग करके समझाएं (हारने वाले को हटा दिया जाता है)। मजबूत टीम को हमेशा कमजोर को जीतने दें। साफ है कि सबसे मजबूत टीम ही चैंपियन बनेगी। दूसरी सबसे मजबूत टीम फाइनल में तभी पहुंच पाएगी जब फाइनल से पहले भविष्य के चैंपियन के साथ उसका कोई खेल न हो। अगर इस तरह के खेल की योजना बनाई जाती है, तो दूसरी सबसे मजबूत टीम फाइनल में नहीं पहुंच पाएगी। टूर्नामेंट की योजना बनाने वाला कोई भी व्यक्ति या तो टूर्नामेंट से दूसरी सबसे मजबूत टीम को समय से पहले "नॉक आउट" कर सकता है, उसे नेता के साथ पहली बैठक में एक साथ ला सकता है, या इसे दूसरा स्थान प्रदान कर सकता है, फाइनल तक कमजोर टीमों के साथ बैठकें सुनिश्चित कर सकता है। . व्यक्तिपरकता से बचने के लिए, बहुत से चित्र बनाएं। 8-टीम टूर्नामेंट के लिए, फाइनल में दो सबसे मजबूत टीमों के मिलने की संभावना 4/7 है। तदनुसार, 3/7 की संभावना के साथ, दूसरी सबसे मजबूत टीम टूर्नामेंट को समय से पहले छोड़ देगी।

उत्पाद इकाइयों के किसी भी माप (कैलिपर, माइक्रोमीटर, एमीटर, आदि का उपयोग करके) में त्रुटियां हैं। यह पता लगाने के लिए कि क्या व्यवस्थित त्रुटियां हैं, उत्पादन की एक इकाई के कई माप करना आवश्यक है, जिसकी विशेषताओं को जाना जाता है (उदाहरण के लिए, एक मानक नमूना)। यह याद रखना चाहिए कि व्यवस्थित त्रुटि के अलावा, एक यादृच्छिक त्रुटि भी होती है।

इसलिए, यह सवाल उठता है कि माप परिणामों से कैसे पता लगाया जाए कि कोई व्यवस्थित त्रुटि है या नहीं। यदि हम केवल यह नोट करें कि अगले माप के दौरान प्राप्त त्रुटि सकारात्मक है या नकारात्मक, तो इस समस्या को पिछले एक तक कम किया जा सकता है। दरअसल, आइए हम माप की तुलना एक सिक्के को उछालने से करें, सकारात्मक त्रुटि - हथियारों के कोट के गिरने के साथ, नकारात्मक - झंझरी (व्यावहारिक रूप से पर्याप्त संख्या में स्केल डिवीजनों के साथ शून्य त्रुटि कभी नहीं होती है)। फिर एक व्यवस्थित त्रुटि की अनुपस्थिति की जाँच करना सिक्के की समरूपता की जाँच करने के बराबर है।

इस तर्क का उद्देश्य एक व्यवस्थित त्रुटि की अनुपस्थिति की जाँच करने की समस्या को एक सिक्के की समरूपता की जाँच करने की समस्या को कम करना है। उपरोक्त तर्क गणितीय आँकड़ों में तथाकथित "संकेत मानदंड" की ओर जाता है।

गणितीय आँकड़ों के तरीकों के आधार पर तकनीकी प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय विनियमन के साथ, प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय नियंत्रण के लिए नियम और योजनाएँ विकसित की जाती हैं, जिसका उद्देश्य तकनीकी प्रक्रियाओं में व्यवधानों का समय पर पता लगाना और उन्हें समायोजित करने और उत्पादों की रिहाई को रोकने के उपाय करना है। स्थापित आवश्यकताओं को पूरा नहीं करते हैं। इन उपायों का उद्देश्य उत्पादन लागत को कम करना और घटिया उत्पादों की आपूर्ति से होने वाले नुकसान को कम करना है। सांख्यिकीय स्वीकृति नियंत्रण में, गणितीय आँकड़ों के तरीकों के आधार पर, उत्पादों के बैचों से नमूनों का विश्लेषण करके गुणवत्ता नियंत्रण योजनाएँ विकसित की जाती हैं। कठिनाई संभाव्य और सांख्यिकीय निर्णय लेने वाले मॉडल को सही ढंग से बनाने में सक्षम होने में है, जिसके आधार पर उपरोक्त प्रश्नों का उत्तर देना संभव है। गणितीय आंकड़ों में, इसके लिए संभाव्य मॉडल और परीक्षण परिकल्पना के तरीके विकसित किए गए हैं, विशेष रूप से, परिकल्पना है कि उत्पादन की दोषपूर्ण इकाइयों का अनुपात एक निश्चित संख्या के बराबर है। पी 0, उदाहरण के लिए, पी 0= 0.23 (ए.एन. टॉल्स्टॉय के उपन्यास से स्ट्रुकोव के शब्दों को याद रखें)।

मूल्यांकन कार्य।कई प्रबंधकीय, औद्योगिक, आर्थिक और राष्ट्रीय आर्थिक स्थितियों में, एक अलग प्रकार की समस्याएं उत्पन्न होती हैं - संभाव्यता वितरण की विशेषताओं और मापदंडों का आकलन करने की समस्या।

आइए एक उदाहरण देखें। बैच को से आने दो एनप्रकाश बल्ब। इस बैच से, आकार का एक नमूना बेतरतीब ढंग से चुना गया था एनप्रकाश बल्ब। कई स्वाभाविक प्रश्न उठते हैं। कैसे, नमूने के तत्वों के परीक्षण के परिणामों के आधार पर, बिजली के लैंप की औसत सेवा जीवन का निर्धारण करने के लिए और किस सटीकता के साथ इस विशेषता का अनुमान लगाया जा सकता है? यदि आप एक बड़ा नमूना लेते हैं तो सटीकता कैसे बदलती है? कितने घंटे टीइस बात की गारंटी दी जा सकती है कि कम से कम 90% बल्ब चलेंगे टीऔर अधिक घंटे?

मान लीजिए कि आकार के नमूने का परीक्षण करते समय एनप्रकाश बल्ब दोषपूर्ण पाए गए एक्सप्रकाश बल्ब। फिर निम्नलिखित प्रश्न उठते हैं। संख्या के लिए किन सीमाओं को निर्दिष्ट किया जा सकता है डीएक बैच में दोषपूर्ण प्रकाश बल्ब, खराबी के स्तर के लिए डी/ एनआदि।?

या, तकनीकी प्रक्रियाओं की सटीकता और स्थिरता के सांख्यिकीय विश्लेषण में, इस तरह के गुणवत्ता संकेतकों का मूल्यांकन नियंत्रित पैरामीटर के औसत मूल्य और विचाराधीन प्रक्रिया में इसके फैलाव की डिग्री के रूप में करना आवश्यक है। संभाव्यता के सिद्धांत के अनुसार, यह सलाह दी जाती है कि इसकी गणितीय अपेक्षा को यादृच्छिक चर के माध्य मान के रूप में, और विचरण, मानक विचलन, या भिन्नता के गुणांक को प्रसार की सांख्यिकीय विशेषता के रूप में उपयोग किया जाए। यह सवाल उठाता है: नमूना डेटा से इन सांख्यिकीय विशेषताओं का मूल्यांकन कैसे करें और यह किस सटीकता के साथ किया जा सकता है? इसी तरह के कई उदाहरण हैं। यहां यह दिखाना महत्वपूर्ण था कि उत्पाद की गुणवत्ता के सांख्यिकीय प्रबंधन के क्षेत्र में निर्णय लेते समय उत्पादन प्रबंधन में संभाव्यता और गणितीय आंकड़ों के सिद्धांत का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

"गणितीय सांख्यिकी" क्या है?गणितीय आँकड़ों को "गणित के एक खंड के रूप में समझा जाता है जो सांख्यिकीय डेटा एकत्र करने, व्यवस्थित करने, प्रसंस्करण और व्याख्या करने के गणितीय तरीकों के साथ-साथ वैज्ञानिक या व्यावहारिक निष्कर्षों के लिए उनके उपयोग के लिए समर्पित है। गणितीय आँकड़ों के नियम और प्रक्रियाएँ संभाव्यता के सिद्धांत पर आधारित हैं, जिससे उपलब्ध सांख्यिकीय सामग्री के आधार पर प्रत्येक समस्या में प्राप्त निष्कर्षों की सटीकता और विश्वसनीयता का आकलन करना संभव हो जाता है। ” इस मामले में, सांख्यिकीय डेटा को कुछ अधिक या कम व्यापक सेट में वस्तुओं की संख्या के बारे में जानकारी कहा जाता है जिनमें कुछ विशेषताएं होती हैं।

हल की जा रही समस्याओं के प्रकार के अनुसार, गणितीय आँकड़ों को आमतौर पर तीन खंडों में विभाजित किया जाता है: डेटा विवरण, अनुमान और परिकल्पना परीक्षण।

संसाधित सांख्यिकीय डेटा के प्रकार से, गणितीय आँकड़ों को चार क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है:

एक-आयामी आंकड़े (यादृच्छिक चर के आंकड़े), जिसमें अवलोकन परिणाम वास्तविक संख्या द्वारा वर्णित किया जाता है;

बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण, जहां किसी वस्तु के अवलोकन के परिणाम को कई संख्याओं (वेक्टर) द्वारा वर्णित किया जाता है;

यादृच्छिक प्रक्रियाओं और समय श्रृंखला के आंकड़े, जहां अवलोकन परिणाम एक कार्य है;

एक गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं के आंकड़े, जिसमें अवलोकन परिणाम एक गैर-संख्यात्मक प्रकृति का है, उदाहरण के लिए, यह एक सेट (ज्यामितीय आकृति), एक क्रम है, या गुणात्मक विशेषता द्वारा माप के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जाता है .

ऐतिहासिक रूप से, पहली बार दिखाई देने वाले गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं के आंकड़ों के कुछ क्षेत्र थे (विशेष रूप से, विवाह के अनुपात का अनुमान लगाने और इसके बारे में परिकल्पनाओं का परीक्षण करने की समस्या) और एक-आयामी आंकड़े। गणितीय उपकरण उनके लिए सरल है, इसलिए, उनके उदाहरण से, गणितीय आँकड़ों के मूल विचारों को आमतौर पर प्रदर्शित किया जाता है।

केवल वे डेटा प्रोसेसिंग विधियाँ, अर्थात्। गणितीय सांख्यिकी प्रासंगिक वास्तविक परिघटनाओं और प्रक्रियाओं के संभाव्य मॉडल पर आधारित साक्ष्य हैं। हम उपभोक्ता व्यवहार के मॉडल, जोखिमों की घटना, तकनीकी उपकरणों के कामकाज, प्रयोगात्मक परिणाम प्राप्त करने, बीमारी के पाठ्यक्रम आदि के बारे में बात कर रहे हैं। एक वास्तविक घटना के एक संभाव्य मॉडल का निर्माण माना जाना चाहिए यदि विचाराधीन मात्रा और उनके बीच संबंधों को संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। वास्तविकता के संभाव्य मॉडल का अनुपालन, अर्थात। इसकी पर्याप्तता की पुष्टि की जाती है, विशेष रूप से, परिकल्पनाओं के परीक्षण के लिए सांख्यिकीय विधियों की सहायता से।

असंभव डेटा प्रोसेसिंग विधियां खोजपूर्ण हैं, उनका उपयोग केवल प्रारंभिक डेटा विश्लेषण के लिए किया जा सकता है, क्योंकि वे सीमित सांख्यिकीय सामग्री के आधार पर प्राप्त निष्कर्षों की सटीकता और विश्वसनीयता का आकलन करना संभव नहीं बनाते हैं।

किसी घटना या प्रक्रिया के संभाव्य मॉडल का निर्माण और पुष्टि करने के लिए जहां कहीं भी संभव हो, संभाव्य और सांख्यिकीय तरीके लागू होते हैं। उनका उपयोग अनिवार्य है जब डेटा के नमूने से निकाले गए निष्कर्ष पूरी आबादी को स्थानांतरित कर दिए जाते हैं (उदाहरण के लिए, नमूने से उत्पादों के पूरे बैच में)।

आवेदन के विशिष्ट क्षेत्रों में, व्यापक उपयोग के संभाव्य-सांख्यिकीय तरीकों और विशिष्ट दोनों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पाद गुणवत्ता प्रबंधन के सांख्यिकीय तरीकों के लिए समर्पित उत्पादन प्रबंधन के अनुभाग में, लागू गणितीय आंकड़े (प्रयोगों की योजना सहित) का उपयोग किया जाता है। इसके तरीकों का उपयोग करते हुए, तकनीकी प्रक्रियाओं की सटीकता और स्थिरता का सांख्यिकीय विश्लेषण और गुणवत्ता का सांख्यिकीय मूल्यांकन किया जाता है। विशिष्ट तरीकों में उत्पाद की गुणवत्ता के सांख्यिकीय स्वीकृति नियंत्रण, तकनीकी प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय विनियमन, विश्वसनीयता के मूल्यांकन और नियंत्रण आदि के तरीके शामिल हैं।

विश्वसनीयता सिद्धांत और कतार सिद्धांत जैसे व्यावहारिक संभाव्य और सांख्यिकीय विषयों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उनमें से पहले की सामग्री नाम से स्पष्ट है, दूसरा अध्ययन प्रणाली है जैसे कि एक टेलीफोन एक्सचेंज, जो यादृच्छिक समय पर कॉल प्राप्त करता है - उनके टेलीफोन पर नंबर डायल करने वाले ग्राहकों की आवश्यकताएं। इन दावों की सेवा की अवधि, अर्थात्। बातचीत की अवधि भी यादृच्छिक चर के साथ तैयार की जाती है। इन विषयों के विकास में एक महान योगदान यूएसएसआर एकेडमी ऑफ साइंसेज के संबंधित सदस्य ए.वाईए द्वारा दिया गया था। खिनचिन (1894-1959), यूक्रेनी एसएसआर के विज्ञान अकादमी के शिक्षाविद बी.वी. गेडेनको (1912-1995) और अन्य घरेलू वैज्ञानिक।

संक्षेप में गणितीय सांख्यिकी के इतिहास के बारे में।एक विज्ञान के रूप में गणितीय सांख्यिकी की शुरुआत प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) के कार्यों से होती है, जिन्होंने संभाव्यता सिद्धांत के आधार पर 1795 में उनके द्वारा बनाई गई सबसे छोटी वर्ग विधि की जांच और पुष्टि की और खगोलीय प्रक्रिया के लिए इस्तेमाल किया। डेटा (मामूली ग्रह सेरेस की कक्षा को स्पष्ट करने के लिए)। उनके नाम को अक्सर सबसे लोकप्रिय संभाव्यता वितरणों में से एक कहा जाता है - सामान्य, और यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में अध्ययन का मुख्य उद्देश्य गॉसियन प्रक्रियाएं हैं।

XIX सदी के अंत में। - बीसवीं सदी की शुरुआत। गणितीय आँकड़ों में एक बड़ा योगदान अंग्रेजी शोधकर्ताओं, मुख्य रूप से के. पियर्सन (1857-1936) और आर.ए. फिशर (1890-1962) द्वारा किया गया था। विशेष रूप से, पियर्सन ने सांख्यिकीय परिकल्पनाओं के परीक्षण के लिए "ची-स्क्वायर" परीक्षण विकसित किया, और फिशर - विचरण का विश्लेषण, प्रयोगात्मक डिजाइन का सिद्धांत, पैरामीटर अनुमान की अधिकतम संभावना की विधि।

बीसवीं सदी के 30 के दशक में। पोल जेरज़ी न्यूमैन (1894-1977) और अंग्रेज ई. पियर्सन ने सांख्यिकीय परिकल्पनाओं के परीक्षण का एक सामान्य सिद्धांत विकसित किया, और सोवियत गणितज्ञ शिक्षाविद ए.एन. कोलमोगोरोव (1903-1987) और यूएसएसआर एकेडमी ऑफ साइंसेज के संबंधित सदस्य एन.वी. स्मिरनोव (1900-1966) ने गैर-पैरामीट्रिक आँकड़ों की नींव रखी। बीसवीं सदी के चालीसवें दशक में। रोमानियाई ए. वाल्ड (1902-1950) ने अनुक्रमिक सांख्यिकीय विश्लेषण के एक सिद्धांत का निर्माण किया।

वर्तमान समय में गणितीय सांख्यिकी का तेजी से विकास हो रहा है। इसलिए, पिछले 40 वर्षों में, अनुसंधान के चार मौलिक रूप से नए क्षेत्रों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

प्रयोगों की योजना बनाने के लिए गणितीय विधियों का विकास और कार्यान्वयन;

अनुप्रयुक्त गणितीय आँकड़ों में एक स्वतंत्र दिशा के रूप में गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं के आँकड़ों का विकास;

प्रयुक्त संभाव्य मॉडल से छोटे विचलन के संबंध में स्थिर सांख्यिकीय विधियों का विकास;

डेटा के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए डिज़ाइन किए गए कंप्यूटर सॉफ़्टवेयर पैकेजों के निर्माण पर कार्य का व्यापक विकास।

संभाव्य-सांख्यिकीय तरीके और अनुकूलन।अनुकूलन का विचार आधुनिक अनुप्रयुक्त गणितीय आँकड़ों और अन्य सांख्यिकीय विधियों में व्याप्त है। अर्थात्, प्रयोगों की योजना बनाने के तरीके, सांख्यिकीय स्वीकृति नियंत्रण, तकनीकी प्रक्रियाओं का सांख्यिकीय विनियमन, आदि लागू गणितीय आँकड़े।

उत्पादन प्रबंधन में, विशेष रूप से, उत्पाद की गुणवत्ता और मानकों की आवश्यकताओं का अनुकूलन करते समय, उत्पाद जीवन चक्र के प्रारंभिक चरण में सांख्यिकीय विधियों को लागू करना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, अर्थात। प्रयोगात्मक डिजाइन विकास (उत्पादों के लिए आशाजनक आवश्यकताओं का विकास, प्रारंभिक डिजाइन, प्रयोगात्मक डिजाइन विकास के लिए तकनीकी विशिष्टताओं का विकास) के अनुसंधान की तैयारी के चरण में। यह उत्पाद जीवन चक्र के प्रारंभिक चरण में उपलब्ध सीमित जानकारी और भविष्य के लिए तकनीकी क्षमताओं और आर्थिक स्थिति की भविष्यवाणी करने की आवश्यकता के कारण है। अनुकूलन समस्या को हल करने के सभी चरणों में सांख्यिकीय विधियों को लागू किया जाना चाहिए - चर को स्केल करते समय, उत्पादों और प्रणालियों के कामकाज के लिए गणितीय मॉडल विकसित करना, तकनीकी और आर्थिक प्रयोग करना आदि।

आँकड़ों के सभी क्षेत्रों का उपयोग अनुकूलन समस्याओं में किया जाता है, जिसमें उत्पाद की गुणवत्ता का अनुकूलन और मानकों की आवश्यकताएं शामिल हैं। अर्थात्, यादृच्छिक चर के आँकड़े, बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण, यादृच्छिक प्रक्रियाओं के आँकड़े और समय श्रृंखला, गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं के आँकड़े। विशिष्ट डेटा के विश्लेषण के लिए एक सांख्यिकीय पद्धति का चुनाव सिफारिशों के अनुसार करने की सलाह दी जाती है।

पहले का

प्रबंधन निर्णय लेने के तरीके

प्रशिक्षण की दिशा

080200.62 "प्रबंधन"

शिक्षा के सभी रूपों के लिए समान है

स्नातक की योग्यता (डिग्री)

अविवाहित

चेल्याबिंस्क

प्रबंधकीय निर्णय लेने के तरीके: शैक्षणिक अनुशासन का कार्य कार्यक्रम (मॉड्यूल) / यू.वी. प्रतिज्ञा की। - चेल्याबिंस्क: चाउ वीपीओ "साउथ यूराल इंस्टीट्यूट ऑफ मैनेजमेंट एंड इकोनॉमिक्स", 2014. - 78 पी।

प्रबंधन निर्णय लेने के तरीके: 080200.62 "प्रबंधन" की दिशा में अनुशासन (मॉड्यूल) का कार्य कार्यक्रम सभी प्रकार की शिक्षा के लिए समान है। कार्यक्रम को उच्च व्यावसायिक शिक्षा के संघीय राज्य शैक्षिक मानक की आवश्यकताओं के अनुसार तैयार किया गया है, प्रशिक्षण की दिशा और प्रोफ़ाइल में सिफारिशों और PREPP को ध्यान में रखते हुए।

कार्यक्रम को दिनांक 18.08.2014 को शैक्षिक और पद्धति परिषद की बैठक मिनट संख्या 1 में अनुमोदित किया गया था।

दिनांक 18.08.2014 को एकेडमिक काउंसिल की बैठक मिनट नंबर 1 में कार्यक्रम को मंजूरी दी गई।

आलोचक: लिसेंको यू.वी. - अर्थशास्त्र के डॉक्टर, प्रोफेसर, प्रमुख। उच्च व्यावसायिक शिक्षा के संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान के चेल्याबिंस्क संस्थान (शाखा) के अर्थशास्त्र और उद्यम प्रबंधन विभाग "PRUE का नाम G.V. प्लेखानोव "

क्रास्नोयार्तसेवा ईजी - निजी शैक्षिक संस्थान के निदेशक "दक्षिण यूराल चैंबर ऑफ कॉमर्स एंड इंडस्ट्री के व्यावसायिक शिक्षा केंद्र"

© चाउ वीपीओ "साउथ यूराल इंस्टीट्यूट ऑफ मैनेजमेंट एंड इकोनॉमिक्स", 2014 . का पब्लिशिंग हाउस

मैं परिचय …………………………………………………………………… 4

II विषयगत योजना ………………………………………………… …… 8

IV प्रगति के वर्तमान नियंत्रण के लिए मूल्यांकन उपकरण, छात्रों के स्वतंत्र कार्य के लिए अनुशासन और शैक्षिक और पद्धति संबंधी समर्थन में महारत हासिल करने के परिणामों के आधार पर मध्यवर्ती प्रमाणीकरण ............ ……………………………………………………………………… …………………………………………… .38

वी शैक्षिक-पद्धतिगत और अनुशासन के सूचनात्मक समर्थन ……………… 76

VI अनुशासन की सामग्री और तकनीकी सहायता ………………………… 78

I. प्रस्तावना

अनुशासन (मॉड्यूल) का कार्य कार्यक्रम "प्रबंधन निर्णय लेने के तरीके" को 080200.62 "प्रबंधन" की दिशा में उच्च व्यावसायिक शिक्षा के संघीय राज्य मानक को लागू करने के लिए डिज़ाइन किया गया है और यह सभी प्रकार की शिक्षा के लिए समान है।

1 अनुशासन का उद्देश्य और उद्देश्य

इस अनुशासन का अध्ययन करने का उद्देश्य है:

प्रबंधन निर्णयों के विकास, अपनाने और कार्यान्वयन के लिए गणितीय, सांख्यिकीय और मात्रात्मक तरीकों के बारे में सैद्धांतिक ज्ञान का गठन;

आर्थिक वस्तुओं के अनुसंधान और विश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने वाले ज्ञान को गहरा करना, सैद्धांतिक रूप से आधारित आर्थिक और प्रबंधकीय निर्णयों का विकास;

सिद्धांत और सर्वोत्तम समाधान खोजने के तरीकों के क्षेत्र में ज्ञान को गहरा करना, निश्चितता की स्थिति में और अनिश्चितता और जोखिम की स्थिति में;

समस्या का सबसे अच्छा समाधान खोजने के लिए आर्थिक विश्लेषण करने के लिए चयन और निर्णय लेने के तरीकों और प्रक्रियाओं के प्रभावी अनुप्रयोग के लिए व्यावहारिक कौशल का गठन।

2 प्रवेश आवश्यकताओं और ओबीईपी स्नातक की डिग्री की संरचना में अनुशासन का स्थान

अनुशासन "प्रबंधन निर्णय लेने के तरीके" गणितीय और प्राकृतिक विज्ञान चक्र (B2.B3) के मूल भाग को संदर्भित करता है।

अनुशासन निम्नलिखित शैक्षणिक विषयों के अध्ययन में प्राप्त छात्र के ज्ञान, कौशल और दक्षताओं पर आधारित है: "गणित", "नवाचार प्रबंधन"।

अनुशासन "प्रबंधन निर्णय लेने के तरीके" के अध्ययन के दौरान प्राप्त ज्ञान और कौशल का उपयोग पेशेवर चक्र के मूल भाग के विषयों के अध्ययन में किया जा सकता है: "विपणन अनुसंधान", "अर्थशास्त्र में तरीके और मॉडल"।

3 अनुशासन में महारत हासिल करने के परिणामों के लिए आवश्यकताएँ "प्रबंधन निर्णय लेने के तरीके"

अनुशासन के अध्ययन की प्रक्रिया का उद्देश्य तालिका में प्रस्तुत निम्नलिखित दक्षताओं का निर्माण करना है।

तालिका - अनुशासन के अध्ययन के परिणामस्वरूप गठित दक्षताओं की संरचना

योग्यता कोड	योग्यता का नाम	योग्यता के लक्षण
ठीक-15	मात्रात्मक विश्लेषण और मॉडलिंग, सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक अनुसंधान के अपने तरीके;	जानना/समझना: करने में सक्षम हों: अपना:
ओके-16	आधुनिक समाज और आर्थिक ज्ञान के विकास में सूचना और सूचना प्रौद्योगिकी की भूमिका और महत्व को समझना;	परिणामस्वरूप, छात्र को चाहिए: जानना/समझना: - बीजगणित और ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाएं और उपकरण, गणितीय विश्लेषण, संभाव्यता सिद्धांत, गणितीय और सामाजिक-आर्थिक सांख्यिकी; - निर्णय लेने के बुनियादी गणितीय मॉडल; करने में सक्षम हों: - प्रबंधकीय निर्णय लेने में प्रयुक्त विशिष्ट गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए; - संगठनात्मक और प्रबंधन मॉडल के निर्माण में गणितीय भाषा और गणितीय प्रतीकों का उपयोग करना; - अनुभवजन्य और प्रायोगिक डेटा को संसाधित करने के लिए; अपना: विशिष्ट संगठनात्मक और प्रबंधकीय समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय, सांख्यिकीय और मात्रात्मक तरीके।
ओके-17	सूचना प्रबंधन के साधन के रूप में कंप्यूटर के साथ काम करने के लिए बुनियादी तरीकों, विधियों और जानकारी प्राप्त करने, भंडारण, प्रसंस्करण जानकारी, कौशल के अधिकारी;	परिणामस्वरूप, छात्र को चाहिए: जानना/समझना: - बीजगणित और ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाएं और उपकरण, गणितीय विश्लेषण, संभाव्यता सिद्धांत, गणितीय और सामाजिक-आर्थिक सांख्यिकी; - निर्णय लेने के बुनियादी गणितीय मॉडल; करने में सक्षम हों: - प्रबंधकीय निर्णय लेने में प्रयुक्त विशिष्ट गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए; - संगठनात्मक और प्रबंधन मॉडल के निर्माण में गणितीय भाषा और गणितीय प्रतीकों का उपयोग करना; - अनुभवजन्य और प्रायोगिक डेटा को संसाधित करने के लिए; अपना: विशिष्ट संगठनात्मक और प्रबंधकीय समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय, सांख्यिकीय और मात्रात्मक तरीके।
ठीक-18	वैश्विक कंप्यूटर नेटवर्क और कॉर्पोरेट सूचना प्रणाली में सूचना के साथ काम करने की क्षमता।	परिणामस्वरूप, छात्र को चाहिए: जानना/समझना: - बीजगणित और ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाएं और उपकरण, गणितीय विश्लेषण, संभाव्यता सिद्धांत, गणितीय और सामाजिक-आर्थिक सांख्यिकी; - निर्णय लेने के बुनियादी गणितीय मॉडल; करने में सक्षम हों: - प्रबंधकीय निर्णय लेने में प्रयुक्त विशिष्ट गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए; - संगठनात्मक और प्रबंधन मॉडल के निर्माण में गणितीय भाषा और गणितीय प्रतीकों का उपयोग करना; - अनुभवजन्य और प्रायोगिक डेटा को संसाधित करने के लिए; अपना: विशिष्ट संगठनात्मक और प्रबंधकीय समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय, सांख्यिकीय और मात्रात्मक तरीके।

अनुशासन का अध्ययन करने के परिणामस्वरूप, छात्र को यह करना होगा:

जानना/समझना:

बीजगणित और ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाएं और उपकरण, गणितीय विश्लेषण, संभाव्यता सिद्धांत, गणितीय और सामाजिक-आर्थिक सांख्यिकी;

निर्णय लेने के बुनियादी गणितीय मॉडल;

करने में सक्षम हों:

प्रबंधन निर्णय लेने में उपयोग की जाने वाली विशिष्ट गणितीय समस्याओं को हल करना;

संगठनात्मक और प्रबंधन मॉडल बनाते समय गणितीय भाषा और गणितीय प्रतीकों का प्रयोग करें;

प्रक्रिया अनुभवजन्य और प्रयोगात्मक डेटा;

अपना:

विशिष्ट संगठनात्मक और प्रबंधकीय कार्यों को हल करने के लिए गणितीय, सांख्यिकीय और मात्रात्मक तरीके।

द्वितीय विषयगत योजना

सेट 2011

दिशा: "प्रबंधन"

प्रशिक्षण की अवधि: 4 वर्ष

शिक्षा का पूर्णकालिक रूप

	व्याख्यान, घंटा।	व्यावहारिक पाठ, घंटा।	प्रयोगशाला अध्ययन, घंटा।	सेमिनार		कोर्सवर्क, घंटा।	कुल, घंटा।
विषय 4.4 विशेषज्ञ निर्णय
विषय 5.2 PR . के गेम मॉडल
विषय 5.3 स्थितीय खेल
परीक्षा
कुल

प्रयोगशाला कार्यशाला

पी / पी नं।			श्रम तीव्रता (घंटे)
	विषय 1.3 प्रबंधन निर्णयों का लक्ष्य अभिविन्यास	प्रयोगशाला कार्य संख्या 1. इष्टतम समाधान खोजें। पीआर सपोर्ट सिस्टम में अनुकूलन का अनुप्रयोग
	विषय 2.2 मुख्य प्रकार के निर्णय सिद्धांत मॉडल
	विषय 3.3 वरीयताओं को मापने की विशेषताएं
	विषय 4.2 जोड़ीवार तुलना विधि
	विषय 4.4 विशेषज्ञ निर्णय
	विषय 5.2 PR . के गेम मॉडल
	विषय 5.4 संतुलन के रूप में इष्टतमता
	विषय 6.3 एक ही प्रयोग के साथ सांख्यिकीय खेल

2011 सेट करें

दिशा: "प्रबंधन"

प्रशिक्षण का रूप: पत्राचार

1 अनुशासन का दायरा और शैक्षिक कार्य के प्रकार

2 अनुभाग और अनुशासन के विषय और कक्षाओं के प्रकार

अनुशासन के अनुभागों और विषयों के नाम	व्याख्यान, घंटा।	व्यावहारिक पाठ, घंटा।	प्रयोगशाला अध्ययन, घंटा।	सेमिनार	स्वतंत्र कार्य, घंटा।	कोर्सवर्क, घंटा।	कुल, घंटा।
खंड 1 प्रबंधन प्रबंधन निर्णय लेने की प्रक्रिया के रूप में प्रबंधन
विषय 1.1 प्रबंधन निर्णयों के कार्य और गुण
विषय 1.2 प्रबंधन निर्णय लेने की प्रक्रिया
विषय 1.3 प्रबंधन निर्णयों का लक्ष्य अभिविन्यास
खंड 2 निर्णय सिद्धांत में मॉडल और मॉडलिंग
विषय 2.1 कार्रवाई विकल्पों का मॉडलिंग और विश्लेषण
विषय 2.2 मुख्य प्रकार के निर्णय सिद्धांत मॉडल
धारा 3 बहु-मापदंड वाले वातावरण में निर्णय लेना
विषय 3.1 गैर-मानदंड और मानदंड विधियां
विषय 3.2 बहु-मापदंड मॉडल
विषय 3.3 वरीयताओं को मापने की विशेषताएं
धारा 4 विशेषज्ञों की प्राथमिकताओं के आधार पर विकल्पों का आदेश
विषय 4.1 मापन, तुलना और संगति
विषय 4.2 जोड़ीवार तुलना विधि
विषय 4.3 समूह चयन के सिद्धांत
विषय 4.4 विशेषज्ञ निर्णय
धारा 5 अनिश्चितता और संघर्ष की स्थितियों में निर्णय लेना
विषय 5.1 अनिश्चितता और संघर्ष की स्थितियों में पीआर समस्या का गणितीय मॉडल
विषय 5.2 PR . के गेम मॉडल
विषय 5.3 स्थितीय खेल
विषय 5.4 संतुलन के रूप में इष्टतमता
धारा 6 जोखिम के तहत निर्णय लेना
विषय 6.1 सांख्यिकीय निर्णयों का सिद्धांत
विषय 6.2 जोखिम और अनिश्चितता की स्थितियों में इष्टतम समाधान खोजना
विषय 6.3 एक ही प्रयोग के साथ सांख्यिकीय खेल
धारा 7 अस्पष्ट परिस्थितियों में निर्णय लेना
विषय 7.1 पीआर . के संरचनागत मॉडल
विषय 7.2 पीआर . के वर्गीकरण मॉडल
परीक्षा
कुल

प्रयोगशाला कार्यशाला

पी / पी नं।	अनुशासन के मॉड्यूल (अनुभाग) की संख्या	प्रयोगशाला कार्य का नाम	श्रम तीव्रता (घंटे)
	विषय 2.2 मुख्य प्रकार के निर्णय सिद्धांत मॉडल	प्रयोगशाला कार्य संख्या 2। एक आर्थिक और गणितीय मॉडल के आधार पर निर्णय लेना, कतार सिद्धांत का एक मॉडल, एक सूची प्रबंधन मॉडल, एक रैखिक प्रोग्रामिंग मॉडल
	विषय 4.2 जोड़ीवार तुलना विधि	प्रयोगशाला कार्य संख्या 4. युग्मित तुलना की विधि। जोड़ीवार तुलनाओं के आधार पर विकल्पों का क्रम और विशेषज्ञों की प्राथमिकताओं को ध्यान में रखते हुए
	विषय 5.2 PR . के गेम मॉडल	प्रयोगशाला कार्य संख्या 6. खेल मैट्रिक्स का निर्माण। एक रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या के लिए एक विरोधी खेल को कम करना और उसका समाधान खोजना
	विषय 6.3 एक ही प्रयोग के साथ सांख्यिकीय खेल	प्रयोगशाला कार्य संख्या 8। प्रयोग के साथ खेल में रणनीतियों का चुनाव। पश्च संभावनाओं का उपयोग करना

दिशा: "प्रबंधन"

प्रशिक्षण की अवधि: 4 वर्ष

शिक्षा का पूर्णकालिक रूप

1 अनुशासन का दायरा और शैक्षिक कार्य के प्रकार

2 अनुभाग और अनुशासन के विषय और कक्षाओं के प्रकार

अनुशासन के अनुभागों और विषयों के नाम	व्याख्यान, घंटा।	व्यावहारिक पाठ, घंटा।	प्रयोगशाला अध्ययन, घंटा।	सेमिनार	स्वतंत्र कार्य, घंटा।	कोर्सवर्क, घंटा।	कुल, घंटा।
खंड 1 प्रबंधन प्रबंधन निर्णय लेने की प्रक्रिया के रूप में प्रबंधन
विषय 1.1 प्रबंधन निर्णयों के कार्य और गुण
विषय 1.2 प्रबंधन निर्णय लेने की प्रक्रिया
विषय 1.3 प्रबंधन निर्णयों का लक्ष्य अभिविन्यास
खंड 2 निर्णय सिद्धांत में मॉडल और मॉडलिंग
विषय 2.1 कार्रवाई विकल्पों का मॉडलिंग और विश्लेषण
विषय 2.2 मुख्य प्रकार के निर्णय सिद्धांत मॉडल
धारा 3 बहु-मापदंड वाले वातावरण में निर्णय लेना
विषय 3.1 गैर-मानदंड और मानदंड विधियां
विषय 3.2 बहु-मापदंड मॉडल
विषय 3.3 वरीयताओं को मापने की विशेषताएं
धारा 4 विशेषज्ञों की प्राथमिकताओं के आधार पर विकल्पों का आदेश
विषय 4.1 मापन, तुलना और संगति
विषय 4.2 जोड़ीवार तुलना विधि
विषय 4.3 समूह चयन के सिद्धांत
विषय 4.4 विशेषज्ञ निर्णय
धारा 5 अनिश्चितता और संघर्ष की स्थितियों में निर्णय लेना
विषय 5.1 अनिश्चितता और संघर्ष की स्थितियों में पीआर समस्या का गणितीय मॉडल
विषय 5.2 PR . के गेम मॉडल
विषय 5.3 स्थितीय खेल
विषय 5.4 संतुलन के रूप में इष्टतमता
धारा 6 जोखिम के तहत निर्णय लेना
विषय 6.1 सांख्यिकीय निर्णयों का सिद्धांत
विषय 6.2 जोखिम और अनिश्चितता की स्थितियों में इष्टतम समाधान खोजना
विषय 6.3 एक ही प्रयोग के साथ सांख्यिकीय खेल
धारा 7 अस्पष्ट परिस्थितियों में निर्णय लेना
विषय 7.1 पीआर . के संरचनागत मॉडल
विषय 7.2 पीआर . के वर्गीकरण मॉडल
परीक्षा
कुल

प्रयोगशाला कार्यशाला

पी / पी नं।	अनुशासन के मॉड्यूल (अनुभाग) की संख्या	प्रयोगशाला कार्य का नाम	श्रम तीव्रता (घंटे)
	विषय 1.3 प्रबंधन निर्णयों का लक्ष्य अभिविन्यास	प्रयोगशाला कार्य संख्या 1. इष्टतम समाधान खोजें। पीआर सपोर्ट सिस्टम में अनुकूलन का अनुप्रयोग
	विषय 2.2 मुख्य प्रकार के निर्णय सिद्धांत मॉडल	प्रयोगशाला कार्य संख्या 2। एक आर्थिक और गणितीय मॉडल के आधार पर निर्णय लेना, कतार सिद्धांत का एक मॉडल, एक सूची प्रबंधन मॉडल, एक रैखिक प्रोग्रामिंग मॉडल
	विषय 3.3 वरीयताओं को मापने की विशेषताएं	प्रयोगशाला कार्य संख्या 3. परेटो-इष्टतमता। ट्रेड-ऑफ़ आरेख बनाना
	विषय 4.2 जोड़ीवार तुलना विधि	प्रयोगशाला कार्य संख्या 4. युग्मित तुलना की विधि। जोड़ीवार तुलनाओं के आधार पर विकल्पों का क्रम और विशेषज्ञों की प्राथमिकताओं को ध्यान में रखते हुए
	विषय 4.4 विशेषज्ञ निर्णय	प्रयोगशाला कार्य संख्या 5. विशेषज्ञ अनुमानों का प्रसंस्करण। विशेषज्ञ आम सहमति आकलन
	विषय 5.2 PR . के गेम मॉडल	प्रयोगशाला कार्य संख्या 6. खेल मैट्रिक्स का निर्माण। एक रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या के लिए एक विरोधी खेल को कम करना और उसका समाधान खोजना
	विषय 5.4 संतुलन के रूप में इष्टतमता	प्रयोगशाला कार्य संख्या 7. बिमैट्रिक्स खेल। संतुलन के सिद्धांत का अनुप्रयोग
	विषय 6.3 एक ही प्रयोग के साथ सांख्यिकीय खेल	प्रयोगशाला कार्य संख्या 8। प्रयोग के साथ खेल में रणनीतियों का चुनाव। पश्च संभावनाओं का उपयोग करना

दिशा: "प्रबंधन"

प्रशिक्षण की अवधि: 4 वर्ष

प्रशिक्षण का रूप: पत्राचार

1 अनुशासन का दायरा और शैक्षिक कार्य के प्रकार

2 अनुभाग और अनुशासन के विषय और कक्षाओं के प्रकार

अनुशासन के अनुभागों और विषयों के नाम	व्याख्यान, घंटा।	व्यावहारिक पाठ, घंटा।	प्रयोगशाला अध्ययन, घंटा।	सेमिनार	स्वतंत्र कार्य, घंटा।	कोर्सवर्क, घंटा।	कुल, घंटा।
खंड 1 प्रबंधन प्रबंधन निर्णय लेने की प्रक्रिया के रूप में प्रबंधन
विषय 1.1 प्रबंधन निर्णयों के कार्य और गुण
विषय 1.2 प्रबंधन निर्णय लेने की प्रक्रिया
विषय 1.3 प्रबंधन निर्णयों का लक्ष्य अभिविन्यास
खंड 2 निर्णय सिद्धांत में मॉडल और मॉडलिंग
विषय 2.1 कार्रवाई विकल्पों का मॉडलिंग और विश्लेषण
विषय 2.2 मुख्य प्रकार के निर्णय सिद्धांत मॉडल
धारा 3 बहु-मापदंड वाले वातावरण में निर्णय लेना
विषय 3.1 गैर-मानदंड और मानदंड विधियां
विषय 3.2 बहु-मापदंड मॉडल
विषय 3.3 वरीयताओं को मापने की विशेषताएं
धारा 4 विशेषज्ञों की प्राथमिकताओं के आधार पर विकल्पों का आदेश
विषय 4.1 मापन, तुलना और संगति
विषय 4.2 जोड़ीवार तुलना विधि
विषय 4.3 समूह चयन के सिद्धांत
विषय 4.4 विशेषज्ञ निर्णय
धारा 5 अनिश्चितता और संघर्ष की स्थितियों में निर्णय लेना
विषय 5.1 अनिश्चितता और संघर्ष की स्थितियों में पीआर समस्या का गणितीय मॉडल
विषय 5.2 PR . के गेम मॉडल
विषय 5.3 स्थितीय खेल
विषय 5.4 संतुलन के रूप में इष्टतमता
धारा 6 जोखिम के तहत निर्णय लेना
विषय 6.1 सांख्यिकीय निर्णयों का सिद्धांत
विषय 6.2 जोखिम और अनिश्चितता की स्थितियों में इष्टतम समाधान खोजना
विषय 6.3 एक ही प्रयोग के साथ सांख्यिकीय खेल
धारा 7 अस्पष्ट परिस्थितियों में निर्णय लेना
विषय 7.1 पीआर . के संरचनागत मॉडल
विषय 7.2 पीआर . के वर्गीकरण मॉडल
परीक्षा
कुल

प्रयोगशाला कार्यशाला

पी / पी नं।	अनुशासन के मॉड्यूल (अनुभाग) की संख्या	प्रयोगशाला कार्य का नाम	श्रम तीव्रता (घंटे)
	विषय 2.2 मुख्य प्रकार के निर्णय सिद्धांत मॉडल	प्रयोगशाला कार्य संख्या 2। एक आर्थिक और गणितीय मॉडल के आधार पर निर्णय लेना, कतार सिद्धांत का एक मॉडल, एक सूची प्रबंधन मॉडल, एक रैखिक प्रोग्रामिंग मॉडल
	विषय 4.2 जोड़ीवार तुलना विधि	प्रयोगशाला कार्य संख्या 4. युग्मित तुलना की विधि। जोड़ीवार तुलनाओं के आधार पर विकल्पों का क्रम और विशेषज्ञों की प्राथमिकताओं को ध्यान में रखते हुए
	विषय 5.2 PR . के गेम मॉडल	प्रयोगशाला कार्य संख्या 6. खेल मैट्रिक्स का निर्माण। एक रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या के लिए एक विरोधी खेल को कम करना और उसका समाधान खोजना
	विषय 6.3 एक ही प्रयोग के साथ सांख्यिकीय खेल	प्रयोगशाला कार्य संख्या 8। प्रयोग के साथ खेल में रणनीतियों का चुनाव। पश्च संभावनाओं का उपयोग करना

दिशा: "प्रबंधन"

प्रशिक्षण की अवधि: 3.3 वर्ष

प्रशिक्षण का रूप: पत्राचार

1 अनुशासन का दायरा और शैक्षिक कार्य के प्रकार

2 अनुभाग और अनुशासन के विषय और कक्षाओं के प्रकार